Hitra mentalna aritmetika: metodika poučevanja. Hitro štetje (Perelman)

Ta članek je nastal po navdihu teme "Kako in kako hitro štejete v glavi na osnovni ravni?" in je namenjen širjenju tehnik S.A. Rachinsky za ustno štetje.
Rachinsky je bil čudovit učitelj, ki je poučeval v podeželskih šolah v 19. stoletju in pokazal lastne izkušnje da je mogoče razviti spretnost hitrega miselnega računanja. Za njegove študente ni bilo posebej težko izračunati takega primera v svojih glavah:

Uporaba okroglih številk

Ena najpogostejših tehnik miselnega štetja je, da lahko poljubno število predstavimo kot vsoto ali razliko števil, od katerih je eno ali več "okroglo":

Ker na 10 , 100 , 1000 itd. hitreje je množiti okrogla števila, v mislih morate vse reducirati na ta enostavne operacije, Kako 18 x 100 oz 36 x 10. V skladu s tem je lažje dodati tako, da "odcepite" okroglo številko in nato dodate "rep": 1800 + 200 + 190 .
Še en primer:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Poenostavimo množenje z deljenjem

Pri miselnem štetju je morda bolj priročno delovati z dividendo in deliteljem kot s celim številom (npr. 5 predstavljajo v obliki 10:2 , A 50 kot 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800 : 2 = 3400; 3400 : 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800 : 100 = 68.
Množenje ali deljenje z poteka na enak način. 25 , konec koncev 25 = 100:4 . na primer
600 : 25 = (600 : 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400 : 4 = 600.
Zdaj se ne zdi nemogoče pomnožiti v glavi 625 na 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

Kvadriranje dvomestnega števila

Izkazalo se je, da je za preprosto kvadriranje katere koli dvomestne številke dovolj, da se spomnimo kvadratov vseh števil iz 1 prej 25 . Na srečo, na kvadratke 10 poznamo že iz tabele množenja. Preostale kvadratke si lahko ogledate v spodnji tabeli:

Tehnika Rachinskega je naslednja. Da bi našli kvadrat katerega koli dvomestnega števila, potrebujete razliko med tem številom in 25 pomnožite z 100 in dobljenemu produktu dodamo kvadrat komplementa dano številko prej 50 ali kvadrat njegovega presežka nad 50 -Ju. na primer
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
Na splošno ( M- dvomestno število):

Poskusimo ta trik uporabiti pri kvadriranju trimestnega števila in ga najprej razdelimo na manjše člene:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Hmm, ne bi rekel, da je veliko lažje kot postaviti v steber, a morda se sčasoma navadiš na to.
In seveda bi morali začeti trenirati s kvadriranjem dvomestnih števil, od tam pa lahko pridete celo do razstavljanja v mislih.

Množenje dvomestnih števil

To zanimivo tehniko je izumil 12-letni študent Rachinsky in je ena od možnosti za dodajanje okroglemu številu.
Naj sta podani dve dvomestni števili, katerih vsota enot je 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.
Če sestavimo njihov izdelek, dobimo:

Na primer, izračunajmo 77 x 13. Vsota enot teh števil je enaka 10 , Ker 7 + 3 = 10 . Najprej postavimo manjše število pred večje: 77 x 13 = 13 x 77.
Da dobimo okrogla števila, vzamemo tri enote iz 13 in jih dodajte v 77 . Zdaj pa pomnožimo nova števila 80 x 10, rezultatu pa dodamo zmnožek izbranega 3 enote z razliko starega števila 77 in novo številko 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Ta tehnika ima poseben primer: vse je zelo poenostavljeno, če imata dva faktorja enako število desetic. V tem primeru se število desetic pomnoži s številom, ki mu sledi, dobljenemu rezultatu pa se doda zmnožek enot teh števil. Kako elegantna je ta tehnika, poglejmo na primeru.
48 x 42. Število desetic 4 , naslednja številka: 5 ; 4 x 5 = 20 . Produkt enot: 8 x 2 = 16 . Torej 48 x 42 = 2016.
99 x 91. Število desetic: 9 , naslednja številka: 10 ; 9 x 10 = 90 . Produkt enot: 9 x 1 = 09 . Torej 99 x 91 = 9009.
Ja, torej pomnožiti 95 x 95, samo štej 9 x 10 = 90 in 5 x 5 = 25 in odgovor je pripravljen:
95 x 95 = 9025.
Potem lahko prejšnji primer izračunamo nekoliko preprosteje:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = 10000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

Namesto zaključka

Zdi se, zakaj bi v 21. stoletju lahko šteli v glavi, ko lahko svojemu pametnemu telefonu preprosto daste glasovni ukaz? Če pa pomislite, kaj se bo zgodilo s človeštvom, če ne postavi le fizično delo, ampak tudi kakšen mentalni? Ali ni ponižujoče? Tudi če mentalne aritmetike ne smatrate za namen sam po sebi, je povsem primerna za urjenje uma.

Reference:
»1001 naloga za mentalno aritmetiko v šoli S.A. Račinski".

Mentalno štetje ima, tako kot vse ostalo, svoje trike in da bi se naučili šteti hitreje, morate te trike poznati in jih znati uporabiti v praksi.

Danes bomo storili prav to!

1. Kako hitro seštevati in odštevati števila

Poglejmo tri naključne primere:

1. 25 – 7 =
2. 34 – 8 =
3. 77 – 9 =

Kot 25 – 7 = (20 + 5) – (5- 2) = 20 – 2 = (10 + 10) – 2 = 10 + 8 = 18

Strinjajte se, da je takšne operacije težko izvesti v vaši glavi.

Vendar obstaja lažji način:

25 – 7 = 25 – 10 + 3, saj je -7 = -10 + 3

Veliko lažje je od števila odšteti 10 in dodati 3 kot delati zapletene izračune.

Vrnimo se k našim primerom:

1. 25 – 7 =
2. 34 – 8 =
3. 77 – 9 =

Optimizirajmo odštete številke:

1. Odštejte 7 = odštejte 10 dodajte 3
2. Odštejte 8 = odštejte 10 dodajte 2
3. Odštejte 9 = odštejte 10 dodajte 1

Skupaj dobimo:

1. 25 – 10 + 3 =
2. 34 – 10 + 2 =
3. 77 – 10 + 1 =

Zdaj je veliko bolj zanimivo in lažje!

Zdaj izračunajte spodnje primere na ta način:

1. 91 – 7 =
2. 23 – 6 =
3. 24 – 5 =
4. 46 – 8 =
5. 13 – 7 =
6. 64 – 6 =
7. 72 – 19 =
8. 83 – 56 =
9. 47 – 29 =

2. Kako hitro pomnožiti s 4, 8 in 16

Pri množenju razčlenjujemo tudi števila na preprostejša, npr.

Če se spomnite tabele množenja, potem je vse preprosto. In če ne?

Potem morate poenostaviti operacijo:

Prvo damo največje število, drugo pa razčlenimo na enostavnejša:

8 * 4 = 8 * 2 * 2 = ?

Podvojiti števila je veliko lažje kot jih početveriti ali osemkratiti.

Dobimo:

8 * 4 = 8 * 2 * 2 = 16 * 2 = 32

Primeri razgradnje števil na enostavnejša:

1. 4 = 2*2
2. 8 = 2*2 *2
3. 16 = 22 * 2 2

Vadite to metodo z uporabo naslednjih primerov:

1. 3 * 8 =
2. 6 * 4 =
3. 5 * 16 =
4. 7 * 8 =
5. 9 * 4 =
6. 8 * 16 =

3. Deljenje števila s 5

Vzemimo naslednje primere:

1. 780 / 5 = ?
2. 565 / 5 = ?
3. 235 / 5 = ?

Deljenje in množenje s številom 5 je vedno zelo preprosto in prijetno, saj je pet pol od deset.

In kako jih hitro rešiti?

1. 780 / 10 * 2 = 78 * 2 = 156
2. 565 /10 * 2 = 56,5 * 2 = 113
3. 235 / 10 * 2 = 23,5 *2 = 47

Za delo s to metodo rešite naslednje primere:

1. 300 / 5 =
2. 120 / 5 =
3. 495 / 5 =
4. 145 / 5 =
5. 990 / 5 =
6. 555 / 5 =
7. 350 / 5 =
8. 760 / 5 =
9. 865 / 5 =
10. 1270 / 5 =
11. 2425 / 5 =
12. 9425 / 5 =

4. Množenje z enomestno številko

Množenje je malo težje, vendar ne veliko, kako bi rešili naslednje primere?

1. 56 * 3 = ?
2. 122 * 7 = ?
3. 523 * 6 = ?

Brez posebnih števcev jih reševanje ni ravno prijetno, vendar jih lahko zahvaljujoč metodi »Deli in vladaj« preštejemo veliko hitreje:

1. 56 * 3 = (50 + 6)3 = 50 3 + 6*3 = ?
2. 122 * 7 = (100 + 20 + 2)7 = 100 7 + 207 + 2 7 = ?
3. 523 * 6 = (500 + 20 + 3)6 = 500 6 + 206 + 3 6 =?

Vse, kar moramo narediti, je, da pomnožimo enomestna števila, od katerih imajo nekatera ničle, in rezultate seštejemo.

Za delo skozi to tehniko rešite naslednje primere:

1. 123 * 4 =
2. 236 * 3 =
3. 154 * 4 =
4. 490 * 2 =
5. 145 * 5 =
6. 990 * 3 =
7. 555 * 5 =
8. 433 * 7 =
9. 132 * 9 =
10. 766 * 2 =
11. 865 * 5 =
12. 1270 * 4 =
13. 2425 * 3 =

Deljivost števila z 2, 3, 4, 5, 6 in 9

Preverite številke: 523, 221, 232

Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Na primer, vzemite število 732 in ga predstavite kot 7 + 3 + 2 = 12. 12 je deljivo s 3, kar pomeni, da je število 372 deljivo s 3.

Preverite, katera od naslednjih števil so deljiva s 3:

12, 24, 71, 63, 234, 124, 123, 444, 2422, 4243, 53253, 4234, 657, 9754

Število je deljivo s 4, če je število, sestavljeno iz zadnjih dveh števk, deljivo s 4.

Na primer 1729. Zadnji dve števki tvorita 20, ki je deljivo s 4.

Preverite, katera od naslednjih števil so deljiva s 4:

20, 24, 16, 34, 54, 45, 64, 124, 2024, 3056, 5432, 6872, 9865, 1242, 2354

Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja številka 0 ali 5.

Preverite, katera od naslednjih števil so deljiva s 5 (najlažja vaja):

3, 5, 10, 15, 21, 23, 56, 25, 40, 655, 720, 4032, 14340, 42343, 2340, 243240

Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in 3.

Preverite, katera od naslednjih števil so deljiva s 6:

22, 36, 72, 12, 34, 24, 16, 26, 122, 76, 86, 56, 46, 126, 124

Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Na primer, vzemite številko 6732 in jo predstavite kot 6 + 7 + 3 + 2 = 18. 18 je deljivo z 9, kar pomeni, da je število 6732 deljivo z 9.

Preverite, katera od naslednjih števil so deljiva z 9:

9, 16, 18, 21, 26, 29, 81, 63, 45, 27, 127, 99, 399, 699, 299, 49

Igra "Hitro dodajanje"

1. Pospešuje mentalno štetje
2. Usposablja pozornost
3. Razvija ustvarjalno mišljenje

Odličen simulator za razvoj hitrega štetja. Na zaslonu je podana tabela 4x4, nad njo pa so prikazane številke. Večina velika številka jih je treba zbrati v tabeli. Če želite to narediti, kliknite na dve številki, katerih vsota je enaka tej številki. Na primer, 15+10 = 25.

Igra "Hitro štetje"

Igra "hitro štetje" vam bo pomagala izboljšati svoje razmišljanje. Bistvo igre je, da boste morali na sliki, ki vam je predstavljena, izbrati odgovor "da" ali "ne" na vprašanje "ali je 5 enakih sadežev?" Sledite svojemu cilju in ta igra vam bo pri tem pomagala.

Igra "Ugani operacijo"

Igra "Ugani operacijo" razvija razmišljanje in spomin. Glavna točka igri, morate izbrati matematični znak, da bo enakost resnična. Na zaslonu so podani primeri, pozorno poglejte in postavite zahtevani znak »+« ali »-«, da bo enakost pravilna. Znaka “+” in “-” se nahajata na dnu slike, izberite želeni znak in kliknite na želeni gumb. Če ste odgovorili pravilno, dobite točke in nadaljujete z igro.

Igra "Poenostavitev"

Igra "Poenostavitev" razvija mišljenje in spomin. Glavno bistvo igre je hitro izvesti matematično operacijo. Na ekranu ob tabli je narisan učenec in podana je matematična operacija, pri kateri mora učenec izračunati ta primer in napisati odgovor. Spodaj so trije odgovori, preštejte in z miško kliknite številko, ki jo potrebujete. Če ste odgovorili pravilno, dobite točke in nadaljujete z igro.

Današnja naloga

Rešite vse primere in vadite vsaj 10 minut v igri Hitro seštevanje.

Zelo pomembno je, da opravite vse naloge v tej lekciji. Bolje kot boste opravili naloge, več koristi boste prejeli. Če se vam zdi, da nimate dovolj nalog, lahko sami ustvarite primere in jih rešite ter vadite matematične izobraževalne igre.

Lekcija po tečaju "Mal Calculus in 30 Days"

Naučite se hitro in pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadrirati števila in celo izvleči koren. Naučil te bom, kako uporabljati preproste tehnike za poenostavitev aritmetičnih operacij. Vsaka lekcija vsebuje nove tehnike, jasne primere in uporabne naloge.

Drugi razvojni tečaji

Denar in milijonarska miselnost

Zakaj so težave z denarjem? V tem tečaju bomo podrobno odgovorili na to vprašanje, se poglobili v problem in razmislili o našem odnosu do denarja s psihološkega, ekonomskega in čustvenega vidika. Na tečaju boste izvedeli, kaj morate storiti, da rešite vse svoje finančne težave, začnete varčevati denar in ga investirati v prihodnost.

Poznavanje psihologije denarja in dela z njim naredi človeka milijonarja. 80 % ljudi najame več posojil, ko se njihovi dohodki povečajo in postanejo še revnejši. Po drugi strani pa bodo milijonarji, ki so se sami ustvarili, znova zaslužili milijone čez 3-5 let, če bodo začeli iz nič. Tečaj vas nauči, kako pravilno razdeliti prihodke in zmanjšati stroške, vas motivira za študij in doseganje ciljev, nauči vas, kako vložiti denar in prepoznati prevaro.

Hitro branje v 30 dneh

Povečajte hitrost branja za 2-3 krat v 30 dneh. Od 150-200 do 300-600 besed na minuto ali od 400 do 800-1200 besed na minuto. Tečaj uporablja tradicionalne vaje za razvoj hitrega branja, tehnike, ki pospešujejo delovanje možganov, metode za progresivno povečevanje hitrosti branja, psihologijo hitrega branja in vprašanja tečajnikov. Primerno za otroke in odrasle, ki berejo do 5000 besed na minuto.

Razvoj spomina in pozornosti pri otroku 5-10 let

Tečaj obsega 30 lekcij s koristnimi nasveti in vajami za razvoj otrok. V vsaki lekciji koristen nasvet, več zanimivih vaj, naloga za lekcijo in dodaten bonus na koncu: izobraževalna mini igra našega partnerja. Trajanje tečaja: 30 dni. Tečaj ni koristen samo za otroke, ampak tudi za njihove starše.

Super spomin v 30 dneh

Potrebne informacije si zapomnite hitro in dolgo. Se sprašujete, kako odpreti vrata ali umiti lase? Prepričan sem, da ne, ker je to del našega življenja. Svetloba in preproste vajeČe želite trenirati svoj spomin, ga lahko naredite del svojega življenja in to počnite malo čez dan. Če jedo dnevna norma obroke naenkrat, lahko pa jeste po delih ves dan.

Skrivnosti možganske kondicije, urjenja spomina, pozornosti, mišljenja, štetja

Možgani, tako kot telo, potrebujejo kondicijo. Psihične vaje krepi telo, psihično razvija možgane. 30 dni koristne vaje in izobraževalne igre za razvoj spomina, koncentracije, inteligence in hitrega branja bodo okrepile možgane in jih spremenile v trd oreh.

bart v Preprosta matematika ali kako se naučiti hitro šteti v glavi.

Si ne morete predstavljati svojega življenja brez kalkulatorja? Zelo zaman, znanstveniki so dokazali, da so ljudje, ki redno štejejo v glavi, zavarovani pred senilnost in zgodnja demenca. Zato pogosto vadite in povedal vam bom nekaj preprostih trikov za preprosto in hitro mentalno računanje.

1. Pomnožite z 11
Vsi vemo, kako hitro pomnožiti število z 10, le na koncu je treba dodati ničlo, toda ali ste vedeli, da obstaja trik, s katerim dvomestno število preprosto pomnožite z 11?
Recimo, da moramo pomnožiti 63 z 11. Vzemite dvomestno število, ki ga je treba pomnožiti z 11, in si predstavljajte presledek med njegovima števkama:
6_3
Zdaj seštejte prvo in drugo številko te številke in jo postavite na to mesto:
6_(6+3)_3
In naš rezultat množenja je pripravljen:
63*11=693
Če je rezultat seštevanja prve in druge števke dvomestno število, vstavite samo drugo števko in prvi števki prvotnega števila dodajte eno:
79*11=
7_(7+9)_9
(7+1)_6_9
79*11=869

2. Hitro kvadriraj število, ki se konča s 5
Če morate kvadrirati dvomestno število, ki se konča s 5, lahko to naredite zelo preprosto v svoji glavi. Pomnožite prvo števko števila samo s seboj plus ena in na koncu dodajte 25 in to je to:
45*45=4*(4+1)_25=2025

3. Pomnožite s 5
Za večino ljudi je množenje s 5 enostavno za majhna števila, toda kako hitro narediti mentalno matematiko velike številke, pomnoženo s 5?
To število morate vzeti in deliti z 2. Če je rezultat celo število, mu na koncu dodajte 0, če ne, preostanek zavrzite in na koncu dodajte 5:
1248*5=(1248/2)_(0 ali 5)=624_(0 ali 5)=6240 (rezultat deljenja z 2 je celo število)
4469*5=(4469/2)_(0 ali 5)=(2234,5)_(0 ali 5)=22345 (rezultat deljenja z 2 z ostankom)

4. Pomnožite s 4
To je zelo preprost in na prvi pogled očiten trik za množenje poljubnega števila s 4, a kljub temu se tega ljudje ne zavedajo pravi čas. Če želite preprosto pomnožiti katero koli število s 4, ga morate pomnožiti z 2 in nato znova pomnožiti z 2:
67*4=67*2*2=134*2=268

5. Izračunajte 15%
Če morate v mislih izračunati 15 % števila, obstaja preprost način za to. Vzemite 10 % števila (število delite z 10) in temu številu dodajte polovico dobljenih 10 %.
15% od 884 rubljev=(10% od 884 rubljev)+((10% od 884 rubljev)/2)=88,4 rubljev + 44,2 rubljev = 132,6 rubljev

6. Množenje velikih števil
Če morate v glavi pomnožiti velika števila in je eno od njih sodo, potem lahko uporabite metodo poenostavljanja faktorjev tako, da sodo število prepolovite in drugo podvojite:
32*125 je
16*250 je
8*500 je
4*1000=4000

7. Deljenje s 5
Deljenje velikega števila s 5 je v vaši glavi zelo enostavno. Vse kar morate storiti je, da število pomnožite z 2 in premaknete decimalno mesto za eno mesto nazaj:
175/5
Pomnožimo z 2: 175*2=350
Premik za en znak: 35,0 ali 35
1244/5
Pomnožimo z 2: 1244*2=2488
Premik za en znak: 248,8

8. Odštevanje od 1000
Če želite od tisoč odšteti veliko število, sledite preprosti tehniki: odštejte vse števke števila od 9 razen zadnje in odštejte zadnjo števko števila od 10:
1000-489=(9-4)_(9-8)_(10-9)=511
Seveda, da se naučite hitro šteti v glavi, morate večkrat vaditi uporabo teh tehnik, da jih pripeljete do avtomatizacije; enkratno branje bo v vaši glavi pustilo samo ničle.

Všeč mi je! 0

Mnogi ljudje se sprašujejo, kako se naučiti hitro šteti v glavi, tako da je videti neopazno in ne neumno. Konec koncev sodobne tehnologije vam omogočajo manjšo uporabo spomina in mentalnih sposobnosti. A včasih te tehnologije niso pri roki in včasih je lažje in hitreje kaj izračunati v glavi. Marsikdo je začel šteti že osnovne stvari na kalkulatorju ali telefonu, kar tudi ni ravno dobro. Sposobnost mentalnega računanja ostaja uporabna veščina za sodobni človek, kljub temu, da ima v lasti najrazličnejše naprave, ki mu lahko štejejo. Sposobnost brez posebnih naprav in hitrega reševanja aritmetičnega problema ob pravem času ni edina uporaba te veščine. Poleg utilitarnega namena vam bodo tehnike miselnega računanja omogočile, da se naučite, kako se organizirati v različnih življenjske situacije. Poleg tega bo sposobnost štetja v glavi nedvomno pozitivno vplivala na podobo vaših intelektualnih sposobnosti in vas bo razlikovala od okoliških "humanistov".

Metode hitrega štetja

Obstaja določen nabor preprostih aritmetičnih pravil in vzorcev, ki jih ne potrebujete samo za miselno računanje, ampak jih morate imeti tudi nenehno v mislih, da lahko hitro uporabite najučinkovitejši algoritem ob pravem času. Da bi to naredili, je treba njihovo uporabo pripeljati do avtomatizma, jo utrditi v mehanskem pomnilniku, tako da od reševanja največ preprosti primeri uspešno preidejo na bolj zapletene aritmetične operacije. Tukaj so osnovni algoritmi, ki jih morate poznati, si jih zapomniti in uporabiti takoj, samodejno:

Odštevanje 7, 8, 9

Če želite od poljubnega števila odšteti 9, mu morate odšteti 10 in dodati 1. Če želite poljubnemu številu odšteti 8, mu morate odšteti 10 in dodati 2. Če želite poljubnemu številu odšteti 7, morate od njega odšteti 10 in dodajte 3. Če običajno menite drugače, potem za najboljši rezultat moraš se navaditi na ta nov način.

Pomnoži z 9

Poljubno število lahko s prsti hitro pomnožite z 9.

Deljenje in množenje s 4 in 8

Deljenje (ali množenje) s 4 in 8 sta dvojno ali trojno deljenje (ali množenje) z 2. Te operacije je priročno izvajati zaporedno.

Na primer, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

Pomnoži s 5

Množenje s 5 je zelo preprosto. Množenje s 5 in deljenje z 2 sta praktično ista stvar. Torej 88*5=440 in 88/2=44, zato vedno pomnožite s 5 tako, da število delite z 2 in ga pomnožite z 10.

Pomnoži s 25

Množenje s 25 je enako deljenju s 4 (ki mu sledi množenje s 100). Torej 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

Množenje z eno številko

Na primer, pomnožimo 83*7.

Če želite to narediti, najprej pomnožite 8 s 7 (in dodajte nič, ker je 8 desetica) in temu številu dodajte produkt 3 in 7. Tako je 83*7=80*7 +3*7= 560+ 21=581 .

Vzemimo bolj zapleten primer: 236*3.

Torej, kompleksno število pomnožimo s 3 bitno: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Definiranje obsegov

Da se ne bi zmedli v algoritmih in pomotoma dali popolnoma napačen odgovor, je pomembno, da lahko sestavite približen obseg odgovorov. Torej množenje enomestna števila drug drugemu lahko da rezultat največ 90 (9*9=81), dvomestno - ne več kot 10.000 (99*99=9801), trimestno - največ 1.000.000 (999*999=998001) .

Postavitev v desetinah in enotah

Metoda je sestavljena iz razdelitve obeh faktorjev na desetice in enice in nato množenja dobljenih štirih števil. Ta metoda je precej preprosta, vendar zahteva sposobnost hkratnega shranjevanja do treh številk v pomnilniku in hkrati vzporednega izvajanja aritmetičnih operacij.

Na primer:

63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Takšne primere je mogoče preprosto rešiti v 3 korakih:

1. Najprej se desetice med seboj pomnožijo.
2. Nato seštejte 2 produkta enot in desetic.
3. Nato se doda produkt enot.

To lahko shematično opišemo na naslednji način:

Prvo dejanje: 60*80 = 4800 - zapomni si
- Drugo dejanje: 60*5+3*80 = 540 - zapomni si
- Tretje dejanje: (4800+540)+3*5= 5355 - odgovor

Za maksimalno hiter učinek Potrebovali boste dobro poznavanje tabele množenja za številke do 10, sposobnost seštevanja števil (do treh števk), pa tudi sposobnost hitrega preusmerjanja pozornosti z enega dejanja na drugega, pri čemer morate upoštevati prejšnji rezultat. Zadnjo spretnost je priročno trenirati z vizualizacijo izvedenih aritmetičnih operacij, ko si morate predstavljati sliko svoje rešitve, pa tudi vmesne rezultate.

Miselna vizualizacija stolpičnega množenja

56*67 - štetje v stolpcu. Verjetno štetje v stolpcu vsebuje največje število dejanj in zahteva nenehno upoštevanje pomožnih števil.

Lahko pa se poenostavi:
Prvo dejanje: 56*7 = 350+42=392
Drugo dejanje: 56*6=300+36=336 (ali 392-56)
Tretje dejanje: 336*10+392=3360+392=3,752

Zasebne tehnike množenja dvomestnih števil do 30

Prednost treh načinov množenja dvomestnih števil za miselno računanje je v tem, da so univerzalni za poljubna števila in vam lahko z dobrimi miselnimi sposobnostmi računanja hitro pridejo do pravilnega odgovora. Učinkovitost množenja nekaterih dvomestnih števil v glavi pa je lahko višja zaradi manj korakov pri uporabi posebnih algoritmov.

Množenje z 11

Če želite katero koli dvomestno število pomnožiti z 11, morate med prvo in drugo števko števila, ki ga množite, vnesti vsoto prve in druge števke.

Na primer: 23*11, napišite 2 in 3, med njima pa vsoto (2+3). Ali na kratko, da je 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Če vsota števil v sredini daje rezultat, večji od 10, potem prvi števki dodamo eno, namesto druge števke pa zapišemo vsoto števk števila, ki ga pomnožimo, minus 10.

Na primer: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Z 11 lahko ustno hitro pomnožite ne samo dvomestna števila, ampak tudi katera koli druga števila.

Na primer: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564

Vsota na kvadrat, razlika na kvadrat

Če želite kvadrirati dvomestno število, lahko uporabite formuli za kvadrat vsote ali kvadrat razlike. Na primer:

23²= (20+3)2 = 202 + 2*3*20 + 32 = 400+120+9 = 529

69² = (70-1)2 = 702 - 70*2*1 + 12 = 4.900-140+1 = 4.761

Kvadriranje števil, ki se končajo na 5. Kvadriranje števil, ki se končajo na 5. Algoritem je preprost. Število do zadnjih pet, pomnožimo z istim številom plus ena. Preostalemu številu dodajte 25.

25² = (2*(2+1)) 25 = 625

85² = (8*(8+1)) 25 = 7.225

To velja tudi za bolj zapletene primere:

155² = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24.025

Tehnika množenja števil do 20 je zelo preprosta:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Dokazovanje pravilnosti te metode je preprosto: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. Zadnji izraz je predstavitev zgoraj opisane metode. V bistvu je ta metoda poseben način uporabe referenčnih številk. IN v tem primeru referenčna številka je 10. V zadnjem izrazu dokaza lahko vidite, da oklepaj pomnožimo z 10. Kot referenčno številko pa lahko uporabite katero koli drugo številko, najbolj primerne so 20, 25, 50, 100 ...

Referenčna številka

Oglejte si bistvo te metode na primeru množenja 15 in 18. Tukaj je priročno uporabiti referenčno številko 10. 15 je večje od deset za 5, 18 pa je večje od deset za 8.

Če želite izvedeti njihov izdelek, morate izvesti naslednje postopke:

1. Poljubnemu faktorju prištej število, za katero je drugi faktor večji od referenčnega. Se pravi, dodajte 8 k 15 ali 5 k 18. V prvem in drugem primeru je rezultat enak: 23.
2. Nato 23 pomnožimo z referenčno številko, to je z 10. Odgovor: 230
3. 230 prištejemo zmnožek 5*8. Odgovor: 270.

Referenčna številka pri množenju števil do 100. Najbolj priljubljena tehnika množenja velikih števil v mislih je tehnika uporabe tako imenovanega referenčnega števila
Referenčna številka za množenje- to je številka, ki sta ji oba faktorja blizu in s katero je priročno pomnožiti. Pri množenju števil do 100 z referenčnimi številkami je priročno uporabiti vsa števila, ki so večkratnika 10, predvsem pa 10, 20, 50 in 100.
Tehnika uporabe referenčne številke je odvisna od tega, ali so faktorji večji ali manjši od referenčne številke. Tu so možni trije primeri. Vse 3 metode bomo prikazali s primeri.
Obe številki sta manjši od reference (pod referenco). Recimo, da želimo pomnožiti 48 s 47.
Te številke so dovolj blizu številki 50, zato je priročno uporabiti 50 kot referenčno številko.
Če želite pomnožiti 48 s 47 z referenčno številko 50:

1. Od 47 odštejemo toliko, kolikor 48 manjka do 50, torej 2. Izpade 45 (oz.
odštej 3 od 48 - vedno je isto)
2. Nato pomnožimo 45 s 50 = 2250
3. Nato temu rezultatu dodajte 2*3 - 2,256

50 (referenčna številka)

3(50-47) 2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Če so števila manjša od referenčne številke, potem od prvega faktorja odštejemo razliko med referenčno številko in drugim faktorjem. Če so številke večje od referenčne številke, potem prvemu faktorju dodamo razliko med referenčno številko in drugim faktorjem.

50 (referenčna številka)

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

Ena številka je pod referenco, druga pa nad. Tretji primer uporabe referenčne številke je, ko je ena številka večja od referenčne številke, druga pa manjša. Takih primerov ni nič težje rešiti kot prejšnjih. Manjši faktor povečamo za razliko med drugim faktorjem in referenčnim številom, rezultat pomnožimo z referenčnim številom in odštejemo produkt razlik med referenčnim številom in faktorjema. Ali pa večji faktor zmanjšamo za razliko med drugim faktorjem in referenčnim številom, rezultat pomnožimo z referenčnim številom in odštejemo produkt razlik med referenčnim številom in faktorjema.

50 (referenčna številka)

5(50-45) 2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 ali (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

Pri množenju dvomestnih števil iz različnih desetic je bolj priročno uporabiti referenčno številko
vzemite okroglo število, ki je večje od večjega faktorja.

90 (referenčna številka)

63 (90-27) 1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Tako je z uporabo ene same referenčne številke mogoče pomnožiti veliko kombinacijo dvomestnih števil. Zgoraj opisane metode lahko razdelimo na univerzalne (primerne za poljubne številke) in specifične (primerne za posebne primere).

V skrajnem primeru lahko uporabite "kmečki" račun. Če želite pomnožiti eno število z drugim, recimo 21*75, moramo številki zapisati v dva stolpca. Prva številka v levem stolpcu je 21, prva številka v desnem stolpcu je 75. Nato številke v levem stolpcu delimo z 2 in preostanek zavržemo, dokler ne dobimo 1, ter števila v desnem stolpcu pomnožimo z 2. V levem stolpcu prečrtamo vse vrstice s sodimi številkami, v desnem stolpcu pa seštejemo preostala števila, dobimo točen rezultat.

Zaključek

Kot vse metode izračuna imajo tudi te metode hitrega izračuna svoje prednosti in slabosti:

PREDNOSTI:

1.Uporaba različne metode tudi najmanj izobražen človek zna hitro računati.
2. Metode hitrega štetja lahko pomagajo znebiti zapletenega dejanja tako, da ga nadomestijo z več enostavnejšimi.
3. Metode hitrega štetja so uporabne v primerih, ko ni mogoče uporabiti stolpčnega množenja.
4. Metode hitrega štetja lahko skrajšajo čas izračuna.
5. Mentalna aritmetika razvija miselno aktivnost, ki pomaga hitro krmariti v težkih življenjskih situacijah.
6. Tehnika mentalnega računanja naredi proces računanja bolj zabaven in zanimiv.

MINUSI:

1. Pogosto se izkaže, da je reševanje primera z uporabo hitrih računskih metod daljše od preprostega množenja s stolpcem, saj morate izvesti velika količina dejanja, od katerih je vsako enostavnejše od izvirnika.
2. Obstajajo situacije, ko človek zaradi razburjenja ali česa drugega pozabi na metode hitrega štetja ali se vanje celo zmede; v takih primerih je odgovor napačen, metode pa pravzaprav neuporabne.
3. Metode hitrega štetja niso bile razvite za vse primere.
4. Pri računanju s tehniko hitrega štetja morate imeti v glavi veliko odgovorov, zaradi katerih se lahko zmedete in pridete do napačnega rezultata.

Zagotovo praksa naredi razliko življenjsko pomembno vlogo pri razvoju kakršnih koli sposobnosti. Toda veščina miselnega računanja ni odvisna samo od izkušenj. To dokazujejo ljudje, ki znajo v glavi prešteti kompleksne primere. Takšni ljudje lahko na primer pomnožijo in delijo trimestna števila, izvajajo aritmetične operacije, ki jih ne more vsak prešteti v stolpcu. Kaj morate znati in biti sposobni narediti navadnemu človeku obvladati tako fenomenalno sposobnost? Danes obstajajo različne tehnike, ki pomaga naučiti se hitro šteti v glavi.

Ko smo preučili številne pristope k poučevanju veščine ustnega štetja, lahko izpostavimo 3 glavne komponente te veščine:

1. Sposobnosti. Sposobnost koncentracije in sposobnost zadrževanja več stvari v kratkoročnem spominu hkrati. Nagnjenost k matematiki in logičnemu razmišljanju.

2. Algoritmi. Poznavanje posebnih algoritmov in sposobnost hitre izbire potrebnega, najučinkovitejšega algoritma v vsaki specifični situaciji.

3. Usposabljanje in izkušnje, katerega pomen za katero koli spretnost ni bil preklican. Nenehno usposabljanje in postopno zapletanje rešenih problemov in vaj vam bo omogočilo izboljšati hitrost in kakovost miselnega računanja. Treba je opozoriti, da je tretji dejavnik ključnega pomena. Brez potrebnih izkušenj ne boste mogli presenetiti drugih s hitrim rezultatom, tudi če poznate najprimernejši algoritem. Vendar ne podcenjujte pomena prvih dveh komponent, saj lahko, če imate v svojem arzenalu sposobnosti in nabor potrebnih algoritmov, presenetite tudi najbolj izkušenega "računovodjo", pod pogojem, da ste se usposabljali enako dolgo .

Zakaj bi računali v glavi, ko pa lahko rešite katero koli aritmetično nalogo na kalkulatorju. Sodobna medicina in psihologija dokazujeta, da je mentalna aritmetika vaja za sive celice. Izvajanje takšne gimnastike je potrebno za razvoj spomina in matematičnih sposobnosti.

Obstaja veliko tehnik za poenostavitev miselnih izračunov. Vsi, ki so videli znamenito sliko Bogdanova-Belskega "Ustni abakus", so vedno presenečeni - kako kmečki otroci rešujejo tako težko težavo, kot je deljenje vsote petih števil, ki jih je treba najprej kvadrirati?

Izkazalo se je, da so ti otroci učenci slavnega učitelja matematike Sergeja Aleksandroviča Račitskega (tudi on je upodobljen na sliki). To niso čudežni otroci – dijaki osnovni razredi vaška šola 19. stol. Vsi pa že znajo poenostaviti aritmetične izračune in so se naučili tabelo množenja! Zato so ti otroci povsem sposobni rešiti tak problem!

Skrivnosti mentalnega štetja

Obstajajo tehnike mentalnega štetja - preprosti algoritmi, ki jih je zaželeno prenesti v avtomatizacijo. Po mojstrstvu preproste tehnike Lahko nadaljujete z obvladovanjem bolj zapletenih.

Seštej številke 7,8,9

Za poenostavitev izračunov je treba številke 7,8,9 najprej zaokrožiti na 10 in jih nato odšteti. Če želite na primer dodati 9 dvomestno število, morate najprej dodati 10 in nato odšteti 1 itd.

Primeri :

Hitro seštejte dvomestna števila

Če je zadnja številka dvomestnega števila večja od pet, jo zaokrožite navzgor. Izvedemo seštevanje in od nastale količine odštejemo »seštevek«.

Primeri :

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Če je zadnja cifra dvomestnega števila manjša od pet, potem seštevajte po cifrah: najprej desetice, nato enice.

Primer :

57+32=57+30+2=89

Če sta izraza zamenjana, potem lahko najprej zaokrožite število 57 na 60 in ga nato odštejete od skupni znesek 3:

32+57=32+60-3=89

Seštevanje trimestnih števil v glavi

Hitro štetje in seštevanje trimestnih števil – je to mogoče? ja Če želite to narediti, morate trimestna števila razčleniti na stotine, desetice, enote in jih sešteti eno za drugo.

Primer :

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Značilnosti odštevanja: redukcija na okrogla števila

Odštete zaokrožimo na 10, na 100. Če morate odšteti dvomestno število, ga morate zaokrožiti na 100, odšteti in nato ostanku prišteti popravek. To velja, če je popravek majhen.

Primeri :

576-88=576-100+12=488

V glavi odštejte trimestna števila

Če je bila naenkrat sestava števil od 1 do 10 dobro obvladana, se lahko odštevanje izvaja po delih in v navedenem vrstnem redu: stotine, desetice, enote.

Primer :

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Množi in deli

Takoj množiti in deliti v glavi? To je mogoče, vendar tega ne morete storiti brez poznavanja tabel množenja. - to je zlati ključ do hitre mentalne aritmetike! Uporablja se pri množenju in deljenju. Naj spomnimo, da v osnovna šola vaški šoli v predrevolucionarni provinci Smolensk (slika "Ustni izračun") so otroci poznali nadaljevanje tabele množenja - od 11 do 19!

Čeprav je po mojem mnenju dovolj poznati tabelo od 1 do 10, da lahko množimo večja števila. Na primer:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Množi in deli s 4, 6, 8, 9

Ko boste tabelo množenja z 2 in 3 obvladali do te mere, da bo samodejno, bodo drugi izračuni preprosti kot luščenje hrušk.

Za množenje in deljenje dvo- in trimestnih števil uporabljamo preproste tehnike:

pomnoži s 4 se dvakrat pomnoži z 2;

pomnožite s 6 - to pomeni pomnožite z 2 in nato s 3;

pomnoži z 8 se pomnoži z 2 trikrat;

Množenje z 9 je dvakratno množenje s 3.

Na primer :

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2) 3=824 3=2472

Enako:

deljeno s 4 je deljeno z 2 dvakrat;

deliti s 6 je najprej deliti z 2 in nato s 3;

deljeno z 8 je trikrat deljeno z 2;

deljenje z 9 je dvakratno deljenje s 3.

Na primer :

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Kako pomnožiti in deliti s 5

Število 5 je polovica od 10 (10:2). Zato najprej pomnožimo z 10, nato rezultat delimo na pol.

Primer :

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

več preprostejše pravilo deljenje s 5. Najprej pomnožite z 2 in nato rezultat delite z 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Pomnoži z 9

Če želite število pomnožiti z 9, ga ni treba dvakrat pomnožiti s 3. Dovolj je, da ga pomnožite z 10 in od dobljenega števila odštejete pomnoženo število. Primerjajmo, kateri je hitrejši:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Prav tako so že dolgo opaženi posebni vzorci, ki bistveno poenostavljajo množenje dvomestnih števil z 11 ali 101. Tako se zdi, da se dvomestno število pri množenju z 11 odmakne. Števila, ki ga sestavljajo, ostanejo na robovih, njihova vsota pa v središču. Na primer: 24*11=264. Pri množenju s 101 je dovolj, da dvomestnemu številu dodamo enako. 24*101= 2424. Preprostost in logičnost takih primerov sta občudovanja vredni. Takšne težave se pojavljajo zelo redko - to so zabavni primeri, tako imenovani mali triki.

Štetje na prste

Še danes lahko najdete veliko zagovornikov "prstne gimnastike" in metode mentalnega štetja na prste. Prepričani smo, da je učenje seštevanja in odštevanja z upogibanjem in upogibanjem prstov zelo vizualno in priročno. Obseg takih izračunov je zelo omejen. Takoj ko izračuni presežejo obseg ene operacije, se pojavijo težave: obvladati morate naslednjo tehniko. In nekako nedostojno je upogibati prste v dobi iPhonov.

Na primer, v obrambo metode "prst" se navaja tehnika množenja z 9. Trik tehnike je naslednji:

• Če želite katero koli število znotraj prve desetice pomnožiti z 9, morate dlani obrniti proti sebi.
• Pri štetju od leve proti desni upognite prst, ki ustreza številu, ki ga množite. Na primer, če želite pomnožiti 5 z 9, morate upogniti mali prst na levi roki.
• Preostalo število prstov na levi bo ustrezalo deseticam, na desni - enicam. V našem primeru - 4 prste na levi in ​​5 na desni. Odgovor: 45.

Ja, res, rešitev je hitra in jasna! Ampak to je s področja trikov. Pravilo velja le pri množenju z 9. Ali se ni lažje naučiti tabele množenja za množenje 5 z 9? Ta trik bo pozabljen, dobro naučena tabela množenja pa bo ostala za vedno.

Obstaja tudi veliko podobnih tehnik, ki uporabljajo prste za posamezne matematične operacije, vendar je to pomembno, medtem ko ga uporabljate, in takoj pozabite, ko ga prenehate uporabljati. Zato se je bolje naučiti standardnih algoritmov, ki bodo ostali vse življenje.

Ustno štetje na stroju

Najprej morate dobro poznati sestavo števil in tabelo množenja.

Drugič, zapomniti si morate tehnike za poenostavitev izračunov. Kot se je izkazalo, takih matematičnih algoritmov ni tako veliko.

Tretjič, da bi se tehnika spremenila v priročno spretnost, morate nenehno izvajati kratke "brainstorming" seje - vaditi mentalne izračune z uporabo enega ali drugega algoritma.

Usposabljanje naj bo kratko: rešite 3-4 primere v glavi z isto tehniko, nato pa nadaljujte z naslednjim. Prizadevati si moramo izkoristiti vsako prosto minuto - koristno in ne dolgočasno. Zahvale gredo preproste vaje Vsi izračuni bodo na koncu izvedeni bliskovito hitro in brez napak. To bo zelo koristno v življenju in bo pomagalo v težkih situacijah.