Razmerje sosednjega kraka do hipotenuze. Definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa

V tem članku si bomo podrobno ogledali. Osnovne trigonometrične identitete so enakosti, ki vzpostavljajo povezavo med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota in omogočajo iskanje katere koli od teh trigonometričnih funkcij prek znanega drugega.

Takoj naštejmo glavne trigonometrične identitete, ki jih bomo analizirali v tem članku. Zapišimo jih v tabelo, spodaj pa bomo podali rezultate teh formul in zagotovili potrebna pojasnila.

Navigacija po straneh.

Razmerje med sinusom in kosinusom enega kota

Včasih ne govorijo o glavnih trigonometričnih identitetah, navedenih v zgornji tabeli, ampak o eni sami osnovna trigonometrična identiteta prijazen . Razlaga tega dejstva je precej preprosta: enačbe dobimo iz glavne trigonometrične istovetnosti, potem ko oba njena dela delimo z oz. in enakosti in izhajajo iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. O tem bomo podrobneje govorili v naslednjih odstavkih.

To pomeni, da je posebno zanimiva enakost, ki je dobila ime glavna trigonometrična identiteta.

Preden dokažemo glavno trigonometrično identiteto, damo njeno formulacijo: vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota je identično enaka ena. Zdaj pa dokažimo.

Osnovna trigonometrična identiteta se zelo pogosto uporablja, ko pretvarjanje trigonometričnih izrazov. Omogoča, da se vsota kvadratov sinusa in kosinusa enega kota nadomesti z ena. Nič manj pogosto se osnovna trigonometrična identiteta uporablja v obratnem vrstnem redu: enota se nadomesti z vsoto kvadratov sinusa in kosinusa katerega koli kota.

Tangens in kotangens skozi sinus in kosinus

Identitete, ki povezujejo tangens in kotangens s sinusom in kosinusom enega zornega kota in sledijo takoj iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Dejansko je po definiciji sinus ordinata od y, kosinus je abscisa od x, tangens je razmerje med ordinato in absciso, to je , kotangens pa je razmerje med absciso in ordinato, to je .

Zahvaljujoč takšni očitnosti identitet in Tangens in kotangens pogosto nista definirana z razmerjem med absciso in ordinato, temveč z razmerjem med sinusom in kosinusom. Torej je tangens kota razmerje med sinusom in kosinusom tega kota, kotangens pa je razmerje med kosinusom in sinusom.

V zaključku tega odstavka je treba opozoriti, da sta identiteti in potekajo za vse kote, pod katerimi so vanje vključeni elementi trigonometrične funkcije smiselno. Torej je formula veljavna za kateri koli , razen (sicer bo imel imenovalec nič in nismo definirali deljenja z nič), in formula - za vse , drugačen od , kjer je z kateri koli .

Razmerje med tangensom in kotangensom

Še bolj očitna trigonometrična identiteta od prejšnjih dveh je identiteta, ki povezuje tangens in kotangens enega kota oblike . Jasno je, da velja za vse kote, razen , sicer niti tangens niti kotangens nista definirana.

Dokaz formule zelo preprosto. Po definiciji in od kod . Dokaz bi lahko izpeljali malo drugače. Od , To .

Torej sta tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna.

Trigonometrija je veja matematične znanosti, ki preučuje trigonometrične funkcije in njihovo uporabo v geometriji. Razvoj trigonometrije se je začel v stari Grčiji. V srednjem veku so k razvoju te znanosti pomembno prispevali znanstveniki z Bližnjega vzhoda in Indije.

Ta članek je posvečen osnovnim konceptom in definicijam trigonometrije. Obravnava definicije osnovnih trigonometričnih funkcij: sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Njihov pomen je razložen in ponazorjen v kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sprva so bile definicije trigonometričnih funkcij, katerih argument je kot, izražene z razmerjem stranic pravokotnega trikotnika.

Definicije trigonometričnih funkcij

Sinus kota (sin α) je razmerje med krakom nasproti tega kota in hipotenuzo.

Kosinus kota (cos α) - razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens kota (t g α) - razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens kota (c t g α) - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno stranjo.

Te definicije so podane za ostri kot pravokotnega trikotnika!

Dajmo ilustracijo.

V trikotniku ABC s pravim kotom C je sinus kota A enak razmerju med krakom BC in hipotenuzo AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vam omogočajo izračun vrednosti teh funkcij iz znanih dolžin strani trikotnika.

Pomembno si je zapomniti!

Razpon vrednosti sinusa in kosinusa je od -1 do 1. Z drugimi besedami, sinus in kosinus imata vrednosti od -1 do 1. Razpon vrednosti tangensa in kotangensa je celotna številska premica, to pomeni, da lahko te funkcije prevzamejo poljubne vrednosti.

Zgornje definicije veljajo za ostre kote. V trigonometriji je uveden koncept rotacijskega kota, katerega vrednost za razliko od ostrega kota ni omejena na 0 do 90 stopinj, rotacijski kot v stopinjah ali radianih je izražen s poljubnim realnim številom od - ∞ do + ∞. .

V tem kontekstu lahko definiramo sinus, kosinus, tangens in kotangens kota poljubne velikosti. Predstavljajmo si enotski krog s središčem v izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema.

Začetna točka A s koordinatami (1, 0) se zavrti okoli središča enotskega kroga za določen kot α in gre v točko A 1. Definicija je podana v koordinatah točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) rotacijskega kota

Sinus rotacijskega kota α je ordinata točke A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) rotacijskega kota

Kosinus rotacijskega kota α je abscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) rotacijskega kota

Tangens rotacijskega kota α je razmerje med ordinato točke A 1 (x, y) in njeno absciso. t g α = y x

Kotangens (ctg) rotacijskega kota

Kotangens rotacijskega kota α je razmerje med absciso točke A 1 (x, y) in njeno ordinato. c t g α = x y

Sinus in kosinus sta definirana za kateri koli rotacijski kot. To je logično, saj lahko absciso in ordinato točke po rotaciji določimo pod katerim koli kotom. Pri tangensu in kotangensu je situacija drugačna. Tangenta je nedefinirana, ko gre točka po rotaciji v točko z ničelno absciso (0, 1) in (0, - 1). V takih primerih izraz za tangento t g α = y x preprosto nima smisla, saj vsebuje deljenje z nič. Podobno je s kotangensom. Razlika je v tem, da kotangens ni definiran v primerih, ko gre ordinata točke na nič.

Pomembno si je zapomniti!

Sinus in kosinus sta določena za poljubne kote α.

Tangenta je definirana za vse kote razen α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je določen za vse kote, razen za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri reševanju praktičnih primerov ne recite "sinus rotacijskega kota α". Besede "kot vrtenja" so preprosto izpuščene, kar pomeni, da je že iz konteksta jasno, o čem se razpravlja.

Številke

Kaj pa definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila in ne rotacijskega kota?

Sinus, kosinus, tangens, kotangens števila

Sinus, kosinus, tangens in kotangens števila t je število, ki je enako sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu v t radian.

Na primer sinus števila 10 π enak sinusu rotacijski kot 10 π rad.

Obstaja še en pristop k določanju sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila. Oglejmo si ga pobližje.

Kdorkoli realno število t točka na enotskem krogu je povezana s središčem v izhodišču pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so določeni preko koordinat te točke.

Začetna točka na krožnici je točka A s koordinatami (1, 0).

Pozitivno število t

Negativno število t ustreza točki, do katere bo šla izhodiščna točka, če se premika po krogu v nasprotni smeri urinega kazalca in prehodi pot t.

Zdaj, ko je povezava med številom in točko na krogu vzpostavljena, preidemo na definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Sinus (greh) t

Sinus števila t- ordinata točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t. sin t = y

Kosinus (cos) t

Kosinus števila t- abscisa točke enotskega kroga, ki ustreza številu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangens števila t- razmerje med ordinato in absciso točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t. t g t = y x = sin t cos t

Najnovejše definicije so v skladu in niso v nasprotju z definicijo, podano na začetku tega odstavka. Točka na krogu, ki ustreza številki t, sovpada s točko, do katere gre začetna točka po zasuku za kot t radian.

Trigonometrične funkcije kotnega in numeričnega argumenta

Vsaka vrednost kota α ustreza določeni vrednosti sinusa in kosinusa tega kota. Tako kot vsi koti α, razen α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ustrezajo določeni vrednosti tangente. Kot je navedeno zgoraj, je kotangens definiran za vse α razen za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Lahko rečemo, da so sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije kota alfa ali funkcije kotnega argumenta.

Podobno lahko govorimo o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu kot funkcijah numeričnega argumenta. Vsako realno število t ustreza določeni vrednosti sinusa ali kosinusa števila t. Vsa števila, razen π 2 + π · k, k ∈ Z, ustrezajo tangentni vrednosti. Kotangens je podobno definiran za vsa števila razen π · k, k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangens in kotangens so osnovne trigonometrične funkcije.

Običajno je iz konteksta jasno, s katerim argumentom trigonometrične funkcije (kotnim argumentom ali numeričnim argumentom) imamo opravka.

Vrnimo se k definicijam na samem začetku in kotu alfa, ki leži v območju od 0 do 90 stopinj. Trigonometrične definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so popolnoma skladne z geometrijskimi definicijami, ki jih podajajo razmerja stranic pravokotnega trikotnika. Pokažimo ga.

Vzemimo enotski krog s središčem v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu. Izhodiščno točko A (1, 0) zavrtimo za kot do 90 stopinj in iz nastale točke A 1 (x, y) narišimo pravokotno na abscisno os. V dobljenem pravokotnem trikotniku je kot A 1 O H enak kotu obrat α, dolžina kraka O H je enaka abscisi točke A 1 (x, y). Dolžina kraka nasproti kota je enaka ordinati točke A 1 (x, y), dolžina hipotenuze pa je enaka ena, saj je polmer enotskega kroga.

V skladu z definicijo iz geometrije je sinus kota α enak razmerju nasprotne stranice proti hipotenuzi.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To pomeni, da je določitev sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku z razmerjem stranic enakovredna določitvi sinusa rotacijskega kota α, pri čemer alfa leži v območju od 0 do 90 stopinj.

Podobno je mogoče prikazati ujemanje definicij za kosinus, tangens in kotangens.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Sinus je ena od osnovnih trigonometričnih funkcij, katere uporaba ni omejena le na geometrijo. Tabele za izračun trigonometričnih funkcij, kot so inženirski kalkulatorji, niso vedno pri roki, izračun sinusa pa je včasih potreben za reševanje različnih problemov. Na splošno bo izračun sinusa pomagal pri utrjevanju risarskih veščin in znanja o trigonometričnih identitetah.

Igre z ravnilom in svinčnikom

Preprosta naloga: kako najti sinus kota, narisanega na papir? Za rešitev boste potrebovali običajno ravnilo, trikotnik (ali šestilo) in svinčnik. Sinus kota najenostavneje izračunamo tako, da skrajni krak trikotnika s pravim kotom delimo z daljšo stranjo - hipotenuzo. Tako morate najprej dopolniti ostri kot do oblike pravokotnega trikotnika, tako da narišete črto, pravokotno na enega od žarkov na poljubni razdalji od vrha kota. Ohraniti bomo morali kot točno 90°, za kar potrebujemo klerikalni trikotnik.

Uporaba kompasa je nekoliko natančnejša, vendar bo trajalo več časa. Na enem od žarkov morate na določeni razdalji označiti 2 točki, na kompasu nastaviti polmer, ki je približno enak razdalji med točkama, in narisati polkroge s središči na teh točkah, dokler ne dobite presečišč teh črt. S povezovanjem presečišč naših krogov med seboj dobimo strogo pravokotno na žarek našega kota; ostane le, da podaljšamo črto, dokler se ne seka z drugim žarkom.

V dobljenem trikotniku morate z ravnilom izmeriti stran nasproti vogala in dolgo stran na enem od žarkov. Razmerje med prvo dimenzijo in drugo bo želena vrednost sinusa ostrega kota.

Poiščite sinus za kot, večji od 90°

Za tupi kot naloga ni veliko težja. Iz oglišča moramo z ravnilom potegniti žarek v nasprotni smeri, da z enim od žarkov kota, ki nas zanima, tvori premico. S prejetim ostri kot naj poteka, kot je opisano zgoraj, sinusi sosednji vogali, ki skupaj tvorita vzvratni kot 180°, sta enaka.

Računanje sinusa z uporabo drugih trigonometričnih funkcij

Prav tako je izračun sinusa možen, če so znane vrednosti drugih trigonometričnih funkcij kota ali vsaj dolžine stranic trikotnika. Pri tem nam bodo pomagale trigonometrične identitete. Poglejmo pogoste primere.

Kako najti sinus z znanim kosinusom kota? Prva trigonometrična istovetnost, ki temelji na Pitagorovem izreku, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota enaka ena.

Kako najti sinus z znanim tangensom kota? Tangens dobimo tako, da oddaljeno stran delimo z bližnjo stranjo ali sinus delimo s kosinusom. Tako bo sinus produkt kosinusa in tangensa, kvadrat sinusa pa kvadrat tega produkta. Kvadrat kosinusa nadomestimo z razliko med ena in kvadratnim sinusom po prvem trigonometrična identiteta in s preprostimi manipulacijami zmanjšamo enačbo na izračun kvadratnega sinusa skozi tangento; v skladu s tem boste morali za izračun sinusa izvleči koren dobljenega rezultata.

Kako najti sinus z znanim kotangensom kota? Vrednost kotangensa lahko izračunate tako, da dolžino kraka, ki je najbližje kotu, delite z dolžino oddaljenega kraka, pa tudi kosinus delite s sinusom, to pomeni, da je kotangens funkcija, inverzna relativnemu tangentu na število 1. Za izračun sinusa lahko izračunate tangens z uporabo formule tg α = 1 / ctg α in uporabite formulo v drugi možnosti. Po analogiji s tangento lahko izpeljete tudi direktno formulo, ki bo videti takole.

Kako najti sinus treh strani trikotnika

Obstaja formula za iskanje dolžine neznane stranice katerega koli trikotnika, ne le pravokotnega trikotnika, iz dveh znanih strani z uporabo trigonometrične funkcije kosinusa nasprotnega kota. Izgleda takole.

No, sinus lahko nadalje izračunamo iz kosinusa v skladu z zgornjimi formulami.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporabne vire za

Sinus, kosinus, tangens, kotangens

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () so neločljivo povezani s pojmom kota. Da bi dobro razumeli te na prvi pogled zapletene pojme (ki pri marsikaterem šolarju povzročijo stanje groze) in se prepričali, da »hudič ni tako grozen, kot ga slikajo«, izhajajmo iz na samem začetku in razumeti koncept kota.

Koncept kota: radian, stopinja

Poglejmo sliko. Vektor se je glede na točko "obrnil" za določeno količino. Torej bo mera tega vrtenja glede na začetni položaj kotiček.

Kaj še morate vedeti o pojmu kot? No, seveda, kotne enote!

Kot v geometriji in trigonometriji se lahko meri v stopinjah in radianih.

Imenuje se kot (ena stopinja). središčni kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, ki je enak delu kroga. Tako je celoten krog sestavljen iz »koščkov« krožnih lokov oziroma je kot, ki ga opisuje krog, enak.

To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot, ki je enak, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku velikosti obsega.

Kot v radianih je središčni kot v krogu, ki ga povezuje krožni lok, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. No, si ugotovil? Če ne, potem to ugotovimo iz risbe.

Torej, slika prikazuje kot, ki je enak radianu, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina je enaka dolžini ali polmer je enak polmeru kroga). dolžina loka). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:

Kje je središčni kot v radianih.

No, če to veste, ali lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to se morate spomniti formule za obseg. Tukaj je:

No, zdaj pa povežimo ti dve formuli in ugotovimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak. To pomeni, da s korelacijo vrednosti v stopinjah in radianih to dobimo. Oziroma,. Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno razvidna iz konteksta.

Koliko radianov je tam? Tako je!

Razumem? Potem nadaljujte in popravite:

Imate težave? Potem poglej odgovori:

Pravokotni trikotnik: sinus, kosinus, tangens, kotangens kota

Tako smo razumeli koncept kota. Toda kaj je sinus, kosinus, tangens in kotangens kota? Ugotovimo. Pri tem nam bo pomagal pravokotni trikotnik.

Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stranica, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica); noge sta dve preostali strani in (tisti, ki mejijo na pravi kot), in če upoštevamo krake glede na kot, potem je krak sosednji krak, krak pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?

Sinus kota- to je razmerje med nasprotno (oddaljeno) nogo in hipotenuzo.

V našem trikotniku.

Kosinus kota- to je razmerje med sosednjo (tesno) nogo in hipotenuzo.

V našem trikotniku.

Tangens kota- to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).

V našem trikotniku.

Kotangens kota- to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).

V našem trikotniku.

Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:

Kosinus→dotik→dotik→sosednji;

Kotangens→dotik→dotik→sosednji.

Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). Ne verjemi? Nato se prepričajte z ogledom slike:

Upoštevajte na primer kosinus kota. Po definiciji iz trikotnika: , lahko pa izračunamo kosinus kota iz trikotnika: . Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.

Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!

Za trikotnik, prikazan na spodnji sliki, najdemo.

No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot.

Enotni (trigonometrični) krog

Ob razumevanju pojmov stopinj in radianov smo obravnavali krog s polmerom, ki je enak. Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.

Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču koordinat, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).

Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati osi in koordinati osi. Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Pravokotna je, ker je pravokotna na os.

Čemu je enak trikotnik? Tako je. Poleg tega vemo, da je to polmer enotskega kroga, kar pomeni . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Takole se zgodi:

Čemu je enak trikotnik? No, seveda! Nadomestite vrednost polmera v to formulo in dobite:

Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka, ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če se tega zavedate in ste le številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinate! In kateri koordinati ustreza? Tako je, koordinate! Torej pika.

Čemu sta torej enaka in ? Tako je, uporabimo ustrezne definicije tangensa in kotangensa in dobimo to, a.

Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:

Kaj se je v tem primeru spremenilo? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kot (kot sosednji kotu). Kakšne so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:

No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijnega vektorja.

Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.

Torej, vemo, da je cel obrat vektorja radija okoli kroga oz. Ali je mogoče zasukati radijski vektor na ali na? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej radius vektor naredil en polni obrat in se ustavil na položaju oz.

V drugem primeru, torej bo radius vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju oz.

Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju radijnega vektorja.

Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je poljubno celo število)

Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:

Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:

Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:

Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kot pri ustreza točki s koordinatami, torej:

Ne obstaja;

Nadalje, z upoštevanjem iste logike, ugotovimo, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.

odgovori:

Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:

Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:

Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, je treba zapomniti:

Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer zelo enostavno zapomniti ustrezne vrednosti:

Za uporabo te metode je ključnega pomena, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangensa kota. Če poznate te vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:

Če to veste, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite vse vrednosti iz tabele.

Koordinate točke na krožnici

Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in rotacijskega kota?

No, seveda lahko! Spravimo ga ven splošna formula za iskanje koordinat točke.

Na primer, tukaj je krog pred nami:

Podano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.

Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:

Potem imamo to za koordinato točke.

Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko. torej

Torej, v splošni pogled koordinate točk so določene s formulami:

Koordinate središča kroga,

polmer kroga,

Kot vrtenja vektorskega radija.

Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:

No, poskusimo te formule z vadbo iskanja točk na krogu?

1. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.

2. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.

3. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.

4. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.

5. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.

Imate težave z iskanjem koordinat točke na krogu?

Rešite teh pet primerov (ali pa jih rešite dobro) in naučili se jih boste najti!

POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Sinus kota je razmerje med nasprotnim (skrajnim) krakom in hipotenuzo.

Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.

Tangens kota je razmerje med nasprotno (skrajno) stranjo in sosednjo (bližnjo) stranjo.

Kotangens kota je razmerje med sosednjo (bližnjo) stranjo in nasprotno (skrajno) stranjo.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Predavanje: Sinus, kosinus, tangens, kotangens poljubnega kota

Sinus, kosinus poljubnega kota

Da bi razumeli, kaj so trigonometrične funkcije, si oglejmo krog z enotskim polmerom. Ta krog ima središče v izhodišču na koordinatni ravnini. Za določitev določene funkcije uporabili bomo radius vektor ALI, ki se začne v središču kroga, in točko R je točka na krogu. Ta polmerni vektor z osjo tvori kot alfa OH. Ker ima krog polmer enak ena, torej ALI = R = 1.

Če iz točke R spustite navpičnico na os OH, potem dobimo pravokotni trikotnik s hipotenuzo enako ena.

Če se vektor radija premika v smeri urinega kazalca, se imenuje ta smer negativno, če se premika v nasprotni smeri urinega kazalca - pozitivno.

Sinus kota ALI, je ordinata točke R vektor na krogu.

To pomeni, da je za pridobitev vrednosti sinusa danega kota alfa potrebno določiti koordinato U na površini.

Kako je bila pridobljena ta vrednost? Ker vemo, da je sinus poljubnega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo, dobimo, da

In odkar R=1, To sin(α) = y 0 .

V enotskem krogu ordinatna vrednost ne more biti manjša od -1 in večja od 1, kar pomeni

Sinus sprejme pozitivna vrednost v prvi in ​​drugi četrtini enotskega kroga ter v tretji in četrti - negativno.

Kosinus kota dani krog, ki ga tvori vektor radij ALI, je abscisa točke R vektor na krogu.

To pomeni, da je za pridobitev vrednosti kosinusa danega kota alfa potrebno določiti koordinato X na površini.

Kosinus poljubnega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo, dobimo to

In odkar R=1, To cos(α) = x 0 .

V enotskem krogu abscisna vrednost ne more biti manjša od -1 in večja od 1, kar pomeni

Kosinus ima pozitivno vrednost v prvi in ​​četrti četrtini enotskega kroga ter negativno vrednost v drugi in tretji.

Tangentapoljuben kot Izračuna se razmerje med sinusom in kosinusom.

Če upoštevamo pravokotni trikotnik, potem je to razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo. če govorimo o o enotskem krogu, potem je to razmerje med ordinato in absciso.

Sodeč po teh razmerjih je mogoče razumeti, da tangenta ne more obstajati, če je vrednost abscise enaka nič, to je pod kotom 90 stopinj. Tangens lahko sprejme vse druge vrednosti.

Tangenta je v prvi in ​​tretji četrtini enotskega kroga pozitivna, v drugi in četrti pa negativna.