Kaj je sinus kosinus tangens kotangens. Osnovne trigonometrične identitete, njihove formulacije in izpeljava

Sinus ostri kot α pravokotnega trikotnika je razmerje nasprotje krak na hipotenuzo.
Označeno je takole: sin α.

Kosinus Ostri kot α pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Označen je na naslednji način: cos α.

Tangenta ostri kot α je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Označen je na naslednji način: tg α.

Kotangens ostri kot α je razmerje sosednja noga nasprotnemu.
Označen je na naslednji način: ctg α.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens kota so odvisni le od velikosti kota.

Pravila:

Osnovno trigonometrične identitete v pravokotnem trikotniku:

(α – ostri kot nasproti noge b in ob nogi a . Stran z – hipotenuza. β – drugi ostri kot).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b tan α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
sin α tg α = -- cos α

Ko se ostri kot povečasin α intan α povečanje incos α se zmanjša.

Za vsak ostri kot α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Primer-razlaga:

Naj bo v pravokotnem trikotniku ABC
AB = 6,
BC = 3,
kot A = 30º.

Ugotovimo sinus kota A in kosinus kota B.

rešitev

1) Najprej najdemo vrednost kota B. Tukaj je vse preprosto: ker je v pravokotnem trikotniku vsota ostrih kotov 90º, potem je kot B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Izračunajmo sin A. Vemo, da je sinus enak razmerju nasprotne stranice proti hipotenuzi. Za kot A je nasprotna stran stranica BC. Torej:

BC 3 1
greh A = -- = - = -
AB 6 2

3) Zdaj pa izračunajmo cos B. Vemo, da je kosinus enak razmerju sosednjega kraka proti hipotenuzi. Za kot B je sosednji krak enaka stranica BC. To pomeni, da moramo ponovno razdeliti BC z AB - to pomeni, da izvedemo enaka dejanja kot pri izračunu sinusa kota A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iz tega sledi, da je v pravokotnem trikotniku sinus enega ostrega kota enako kosinusu drug ostri kot - in obratno. Točno to pomenita naši dve formuli:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Prepričajmo se o tem še enkrat:

1) Naj bo α = 60º. Če nadomestimo vrednost α v sinusno formulo, dobimo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Naj bo α = 30º. Če nadomestimo vrednost α v formulo kosinusa, dobimo:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Za več informacij o trigonometriji glejte razdelek Algebra)

Ta članek vsebuje tabele sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov. Najprej bomo podali tabelo osnovnih vrednosti trigonometričnih funkcij, to je tabelo sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov kotov 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopinj ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Po tem bomo podali tabelo sinusov in kosinusov ter tabelo tangentov in kotangensov V. M. Bradisa in pokazali, kako te tabele uporabiti pri iskanju vrednosti trigonometričnih funkcij.

Navigacija po straneh.

Tabela sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov za kote 0, 30, 45, 60, 90, ... stopinj

Bibliografija.

Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. Telyakovsky S. A. - M.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Izobraževanje, 2004. - 384 str .: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.
Bradis V. M.Štirimestne tabele matematike: Za splošno izobraževanje. učbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str .: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2

Trigonometrija je veja matematične znanosti, ki proučuje trigonometrične funkcije in njihovo uporabo v geometriji. Razvoj trigonometrije se je začel v stari Grčiji. V srednjem veku so k razvoju te znanosti pomembno prispevali znanstveniki z Bližnjega vzhoda in Indije.

Ta članek je posvečen osnovnim konceptom in definicijam trigonometrije. Obravnava definicije osnovnih trigonometričnih funkcij: sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Njihov pomen je razložen in ponazorjen v kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sprva so bile definicije trigonometričnih funkcij, katerih argument je kot, izražene z razmerjem stranic pravokotnega trikotnika.

Definicije trigonometričnih funkcij

Sinus kota (sin α) je razmerje med krakom nasproti tega kota in hipotenuzo.

Kosinus kota (cos α) - razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens kota (t g α) - razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens kota (c t g α) - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno stranjo.

Te definicije so podane za ostri kot pravokotnega trikotnika!

Dajmo ilustracijo.

V trikotniku ABC s pravim kotom C je sinus kota A enak razmerju med krakom BC in hipotenuzo AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vam omogočajo izračun vrednosti teh funkcij iz znanih dolžin strani trikotnika.

Pomembno si je zapomniti!

Razpon vrednosti sinusa in kosinusa je od -1 do 1. Z drugimi besedami, sinus in kosinus imata vrednosti od -1 do 1. Razpon vrednosti tangensa in kotangensa je celotna številska premica, to pomeni, da lahko te funkcije prevzamejo poljubne vrednosti.

Zgornje definicije veljajo za ostre kote. V trigonometriji je uveden koncept rotacijskega kota, katerega vrednost za razliko od ostrega kota ni omejena na 0 do 90 stopinj, rotacijski kot v stopinjah ali radianih je izražen s poljubnim realnim številom od - ∞ do + ∞. .

V tem kontekstu lahko definiramo sinus, kosinus, tangens in kotangens kota poljubne velikosti. Predstavljajmo si enotski krog s središčem v izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema.

Začetna točka A s koordinatami (1, 0) se zavrti okoli središča enotskega kroga za določen kot α in gre v točko A 1. Definicija je podana v koordinatah točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) rotacijskega kota

Sinus rotacijskega kota α je ordinata točke A 1 (x, y). sin α = y

Kosinus (cos) rotacijskega kota

Kosinus rotacijskega kota α je abscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) rotacijskega kota

Tangens rotacijskega kota α je razmerje med ordinato točke A 1 (x, y) in njeno absciso. t g α = y x

Kotangens (ctg) rotacijskega kota

Kotangens rotacijskega kota α je razmerje med absciso točke A 1 (x, y) in njeno ordinato. c t g α = x y

Sinus in kosinus sta definirana za kateri koli rotacijski kot. To je logično, saj lahko absciso in ordinato točke po rotaciji določimo pod katerim koli kotom. Pri tangensu in kotangensu je situacija drugačna. Tangenta je nedefinirana, ko gre točka po rotaciji v točko z ničelno absciso (0, 1) in (0, - 1). V takih primerih izraz za tangento t g α = y x preprosto nima smisla, saj vsebuje deljenje z nič. Podobno je s kotangensom. Razlika je v tem, da kotangens ni definiran v primerih, ko gre ordinata točke na nič.

Pomembno si je zapomniti!

Sinus in kosinus sta določena za poljubne kote α.

Tangenta je definirana za vse kote razen α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je določen za vse kote, razen za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri reševanju praktičnih primerov ne recite "sinus rotacijskega kota α". Besede "kot vrtenja" so preprosto izpuščene, kar pomeni, da je že iz konteksta jasno, o čem se razpravlja.

Številke

Kaj pa definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila in ne rotacijskega kota?

Sinus, kosinus, tangens, kotangens števila

Sinus, kosinus, tangens in kotangens števila t je število, ki je enako sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu v t radian.

Na primer, sinus števila 10 π je enak sinusu rotacijskega kota 10 π rad.

Obstaja še en pristop k določanju sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila. Oglejmo si ga pobližje.

Vsako realno število t točka na enotskem krogu je povezana s središčem v izhodišču pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so določeni preko koordinat te točke.

Začetna točka na krožnici je točka A s koordinatami (1, 0).

Pozitivno število t

Negativno število t ustreza točki, do katere bo šla izhodiščna točka, če se premika po krogu v nasprotni smeri urinega kazalca in prehodi pot t.

Zdaj, ko je povezava med številom in točko na krogu vzpostavljena, preidemo na definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Sinus (greh) t

Sinus števila t- ordinata točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t. sin t = y

Kosinus (cos) t

Kosinus števila t- abscisa točke enotskega kroga, ki ustreza številu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangens števila t- razmerje med ordinato in absciso točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t. t g t = y x = sin t cos t

Najnovejše definicije so v skladu in niso v nasprotju z definicijo, podano na začetku tega odstavka. Točka na krogu, ki ustreza številki t, sovpada s točko, do katere gre začetna točka po zasuku za kot t radian.

Trigonometrične funkcije kotnega in numeričnega argumenta

Vsaka vrednost kota α ustreza določeni vrednosti sinusa in kosinusa tega kota. Tako kot vsi koti α, razen α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ustrezajo določeni vrednosti tangente. Kot je navedeno zgoraj, je kotangens definiran za vse α razen za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Lahko rečemo, da so sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije kota alfa ali funkcije kotnega argumenta.

Podobno lahko govorimo o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu kot funkcijah numeričnega argumenta. Vsako realno število t ustreza določeni vrednosti sinusa ali kosinusa števila t. Vsa števila, razen π 2 + π · k, k ∈ Z, ustrezajo tangentni vrednosti. Kotangens je podobno definiran za vsa števila razen π · k, k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangens in kotangens so osnovne trigonometrične funkcije.

Običajno je iz konteksta jasno, s katerim argumentom trigonometrične funkcije (kotnim argumentom ali numeričnim argumentom) imamo opravka.

Vrnimo se k definicijam na samem začetku in kotu alfa, ki leži v območju od 0 do 90 stopinj. Trigonometrične definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so popolnoma skladne z geometrijskimi definicijami, ki jih dajejo razmerja stranic pravokotnega trikotnika. Pokažimo ga.

Vzemimo enotski krog s središčem v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu. Izhodiščno točko A (1, 0) zavrtimo za kot do 90 stopinj in iz dobljene točke A 1 (x, y) narišimo pravokotno na abscisno os. V dobljenem pravokotnem trikotniku je kot A 1 O H enak kotu obrat α, dolžina kraka O H je enaka abscisi točke A 1 (x, y). Dolžina kraka nasproti kota je enaka ordinati točke A 1 (x, y), dolžina hipotenuze pa je enaka ena, saj je polmer enotskega kroga.

V skladu z definicijo iz geometrije je sinus kota α enak razmerju nasprotne stranice proti hipotenuzi.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To pomeni, da je določitev sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku z razmerjem stranic enakovredna določitvi sinusa rotacijskega kota α, pri čemer alfa leži v območju od 0 do 90 stopinj.

Podobno je mogoče prikazati ujemanje definicij za kosinus, tangens in kotangens.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Trigonometrija kot veda izvira iz starega vzhoda. Prva trigonometrična razmerja so izpeljali astronomi, da bi ustvarili natančen koledar in orientacijo po zvezdah. Ti izračuni so se nanašali na sferično trigonometrijo, medtem ko v šolski tečaj preučevanje razmerij stranic in kotov ravninskega trikotnika.

Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi trigonometričnih funkcij in odnosi med stranicami in koti trikotnikov.

V času razcveta kulture in znanosti v 1. tisočletju našega štetja se je znanje razširilo s starega vzhoda v Grčijo. Toda glavna odkritja trigonometrije so zasluga moških arabskega kalifata. Zlasti turkmenski znanstvenik al-Marazwi je predstavil funkcije, kot sta tangens in kotangens, ter sestavil prve tabele vrednosti za sinuse, tangente in kotangense. Koncepta sinusa in kosinusa so uvedli indijski znanstveniki. Trigonometrija je bila deležna veliko pozornosti v delih tako velikih osebnosti antike, kot so Evklid, Arhimed in Eratosten.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrične funkcije numeričnega argumenta so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Vsak od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Formule za izračun vrednosti teh količin temeljijo na Pitagorejskem izreku. Šolarjem je bolj znano v formulaciji: "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh", saj je dokaz podan na primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Sinus, kosinus in druge odvisnosti vzpostavljajo razmerje med ostri koti in strani poljubnega pravokotnega trikotnika. Predstavimo formule za izračun teh količin za kot A in sledimo razmerjem med trigonometričnimi funkcijami:

Kot lahko vidite, sta tg in ctg inverzni funkciji. Če si krak a predstavljamo kot produkt sin A in hipotenuze c ter krak b kot cos A * c, dobimo naslednji formuli za tangens in kotangens:

Trigonometrični krog

Grafično lahko razmerje med omenjenima količinama predstavimo na naslednji način:

Obseg, v v tem primeru, predstavlja vse možne vrednosti kot α - od 0° do 360°. Kot je razvidno iz slike, ima vsaka funkcija negativno ali pozitivno vrednost, odvisno od kota. Na primer, sin α bo imel znak "+", če α pripada 1. in 2. četrtini kroga, to je, če je v območju od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III in IV četrtine) je lahko sin α le negativna vrednost.

Poskusimo sestaviti trigonometrične tabele za določene kote in ugotoviti pomen količin.

Vrednosti α enake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° in tako naprej se imenujejo posebni primeri. Vrednosti trigonometričnih funkcij zanje so izračunane in predstavljene v obliki posebnih tabel.

Ti koti niso bili izbrani naključno. Oznaka π v tabelah je za radiane. Rad je kot, pri katerem dolžina krožnega loka ustreza njegovemu polmeru. Ta vrednost je bila uvedena, da bi ugotovili univerzalno odvisnost; pri izračunu v radianih dejanska dolžina polmera v cm ni pomembna.

Koti v tabelah za trigonometrične funkcije ustrezajo radianskim vrednostim:

Torej ni težko uganiti, da je 2π popoln krog ali 360°.

Lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus

Da bi upoštevali in primerjali osnovne lastnosti sinusa in kosinusa, tangensa in kotangensa, je treba narisati njihove funkcije. To je mogoče storiti v obliki krivulje, ki se nahaja v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu.

Razmislite o primerjalni tabeli lastnosti za sinus in kosinus:

Sinusni val	Kosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, za x = πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, kjer je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 1, pri x = 2πk, kjer je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, kjer je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, kar pomeni, da je funkcija liha	cos (-x) = cos x, kar pomeni, da je funkcija soda
	funkcija je periodična, najmanjša perioda je 2π
sin x › 0, pri čemer x pripada 1. in 2. četrtini ali od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemer x pripada četrtini I in IV ali od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemer x pripada tretji in četrti četrtini ali od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemer x pripada 2. in 3. četrtini ali od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
narašča v intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	narašča na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
pada na intervalih [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	zmanjšuje v intervalih
odvod (sin x)' = cos x	derivat (cos x)’ = - sin x

Ugotavljanje, ali je funkcija soda ali ne, je zelo preprosto. Dovolj za predstavljanje trigonometrični krog z znaki trigonometričnih količin in miselno "prepognemo" graf glede na os OX. Če predznaka sovpadata, je funkcija soda, sicer pa liha.

Uvedba radianov in navedba osnovnih lastnosti sinusnih in kosinusnih valov nam omogočata, da predstavimo naslednji vzorec:

Zelo enostavno je preveriti, ali je formula pravilna. Na primer, za x = π/2 je sinus enak 1, prav tako kosinus od x = 0. Preverjanje je mogoče opraviti s pregledovanjem tabel ali s sledenjem krivuljam funkcij za dane vrednosti.

Lastnosti tangentsoidov in kotangensoidov

Grafa funkcije tangens in kotangens se bistveno razlikujeta od funkcije sinusa in kosinusa. Vrednosti tg in ctg sta med seboj recipročni.

Y = tan x.
Tangenta se nagiba k vrednostim y pri x = π/2 + πk, vendar jih nikoli ne doseže.
Najmanjša pozitivna perioda tangentoida je π.
Tg (- x) = - tg x, kar pomeni, da je funkcija liha.
Tg x = 0, za x = πk.
Funkcija se povečuje.
Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Izpeljanka (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Oglejte si grafično podobo kotangentoida spodaj v besedilu.

Glavne lastnosti kotangentoidov:

Y = posteljica x.
Za razliko od funkcij sinusa in kosinusa lahko Y v tangentoidu prevzame vrednosti množice vseh realnih števil.
Kotangentoid se nagiba k vrednostim y pri x = πk, vendar jih nikoli ne doseže.
Najmanjša pozitivna perioda kotangentoida je π.
Ctg (- x) = - ctg x, kar pomeni, da je funkcija liha.
Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
Funkcija se zmanjšuje.
Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
Izpeljava (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Pravilno

Najprej razmislite o krogu s polmerom 1 in središčem v (0;0). Za kateri koli αЄR lahko polmer 0A narišemo tako, da je radianska mera kota med 0A in osjo 0x enaka α. Smer v nasprotni smeri urinega kazalca velja za pozitivno. Naj ima konec polmera A koordinate (a,b).

Opredelitev sinusa

Definicija: Število b, enako ordinati enotskega polmera, zgrajenega na opisani način, označimo s sinα in imenujemo sinus kota α.

Primer: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Opredelitev kosinusa

Definicija: Število a, enako abscisi konca enotskega polmera, zgrajenega na opisani način, označimo s cosα in imenujemo kosinus kota α.

Primer: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ti primeri uporabljajo definicijo sinusa in kosinusa kota glede na koordinate konca enotskega polmera in enotskega kroga. Za bolj vizualno predstavitev morate narisati enotski krog in nanj narisati ustrezne točke ter nato prešteti njihove abscise za izračun kosinusa in ordinate za izračun sinusa.

Definicija tangente

Definicija: Funkcija tgx=sinx/cosx za x≠π/2+πk, kЄZ, se imenuje kotangens kota x. Domena funkcije tgx je vse realna števila, razen x=π/2+πn, nЄZ.

Primer: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Ta primer je podoben prejšnjemu. Če želite izračunati tangens kota, morate ordinato točke deliti z njeno absciso.

Opredelitev kotangensa

Definicija: Funkcija ctgx=cosx/sinx za x≠πk, kЄZ se imenuje kotangens kota x. Domen definicije funkcije ctgx = so vsa realna števila razen točk x=πk, kЄZ.

Oglejmo si primer pravilnega pravokotnega trikotnika

Da bo bolj jasno, kaj so kosinus, sinus, tangens in kotangens. Oglejmo si primer pravilnega pravokotnega trikotnika s kotoma y in strani a,b,c. Hipotenuza c, kateta a oziroma b. Kot med hipotenuzo c in krakom b y.

definicija: Sinus kota y je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo: siny = a/c

definicija: Kosinus kota y je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo: cosy = v/c

definicija: Tangens kota y je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo: tgy = a/b

definicija: Kotangens kota y je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo: ctgy= in/a

Sinus, kosinus, tangens in kotangens imenujemo tudi trigonometrične funkcije. Vsak kot ima svoj sinus in kosinus. In skoraj vsak ima svoj tangens in kotangens.

Menijo, da če nam je dan kot, potem so nam znani sinus, kosinus, tangens in kotangens! In obratno. Glede na sinus ali katero koli drugo trigonometrično funkcijo poznamo kot. Ustvarjene so bile celo posebne tabele, kjer so za vsak kot zapisane trigonometrične funkcije.