V katerih četrtinah je kosinus pozitiven? Trigonometrični krog. Osnovni pomeni trigonometričnih funkcij

Če že poznate trigonometrični krog , in si želite le osvežiti spomin na določene elemente ali pa ste popolnoma nepotrpežljivi, potem je tukaj:

Tukaj bomo vse podrobno analizirali korak za korakom.

Trigonometrični krog ni razkošje, ampak nuja

Trigonometrija Mnogi ga povezujejo z neprehodno goščavo. Nenadoma je toliko pomenov trigonometrične funkcije, toliko formul ... Ampak sprva ni šlo in ... vztrajno ... popoln nesporazum ...

Zelo pomembno je, da ne obupate vrednosti trigonometričnih funkcij, - pravijo, lahko vedno pogledate spur s tabelo vrednosti.

Če nenehno gledate tabelo z vrednostmi trigonometričnih formul, se znebimo te navade!

Pomagal nam bo! Večkrat boste delali z njim, potem pa se vam bo porodilo v glavi. Kako je boljši od mize? Da, v tabeli boste našli omejeno število vrednosti, na krogu pa - VSE!

Na primer, recite med gledanjem standardna tabela vrednosti trigonometričnih formul , zakaj enak sinusu, recimo 300 stopinj ali -45.

Ni šans?.. seveda se lahko povežeš redukcijske formule... In če pogledamo trigonometrični krog, lahko zlahka odgovorite na taka vprašanja. In kmalu boste izvedeli, kako!

In pri reševanju trigonometričnih enačb in neenačb brez trigonometričnega kroga ni nikjer.

Uvod v trigonometrični krog

Gremo po vrsti.

Najprej zapišimo to vrsto številk:

In zdaj še to:

In končno še ta:

Seveda je jasno, da je pravzaprav na prvem mestu , na drugem mestu in na zadnjem mestu . Se pravi, bolj nas bo zanimala veriga.

Toda kako lepo se je izkazalo! Če se kaj zgodi, bomo to »čudežno lestev« obnovili.

In zakaj ga potrebujemo?

Ta veriga je glavna vrednost sinusa in kosinusa v prvem četrtletju.

Narišimo krog z enotskim polmerom v pravokotnem koordinatnem sistemu (to pomeni, da v dolžino vzamemo poljuben polmer in njegovo dolžino razglasimo za enoto).

Iz nosilca "0-Start" položimo vogale v smeri puščice (glej sliko).

Na krogu dobimo ustrezne točke. Torej, če projiciramo točke na vsako od osi, potem bomo dobili točno tiste vrednosti iz zgornje verige.

Zakaj je to, se sprašujete?

Ne analizirajmo vsega. Razmislimo načelo, ki vam bo omogočil, da se spopadete z drugimi, podobnimi situacijami.

Trikotnik AOB je pravokoten in vsebuje . In vemo, da nasproti kota b leži krak, ki je velik za polovico hipotenuze (imamo hipotenuzo = polmer krožnice, to je 1).

To pomeni AB= (in torej OM=). In po pitagorejskem izreku

Upam, da je že kaj jasno?

Torej bo točka B ustrezala vrednosti, točka M pa vrednosti

Enako z drugimi vrednostmi prvega četrtletja.

Kot razumete, bo znana os (vol). kosinusna os, in os (oy) – os sinusov . Kasneje.

Levo od ničle vzdolž kosinusne osi (pod ničlo vzdolž sinusne osi) bodo seveda negativne vrednosti.

Torej, tukaj je VSEMOGOČNI, brez katerega v trigonometriji ni nikamor.

Toda govorili bomo o tem, kako uporabiti trigonometrični krog.

Ta članek bo obravnaval tri osnovne lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Prva lastnost je predznak funkcije glede na to, kateri četrtini enotskega kroga pripada kot α. Druga lastnost je periodičnost. V skladu s to lastnostjo tigonometrična funkcija ne spremeni svoje vrednosti, ko se kot spremeni za celo število vrtljajev. Tretja lastnost določa, kako se vrednosti spreminjajo funkcije sin, cos, tg, ctg pri nasprotnih kotih α in - α.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pogosto v matematičnem besedilu ali v kontekstu problema lahko najdete besedno zvezo: "kot prve, druge, tretje ali četrte koordinatne četrtine." Kaj je to?

Obrnimo se na enotski krog. Razdeljen je na štiri četrtine. Na krožnici označimo začetno točko A 0 (1, 0) in z vrtenjem okoli točke O za kot α pridemo do točke A 1 (x, y). Glede na to, v kateri četrtini leži točka A 1 (x, y), bomo kot α imenovali kot prve, druge, tretje in četrte četrtine.

Za jasnost je tukaj ilustracija.

Kot α = 30° leži v prvi četrtini. Kot - 210° je druga četrtina kota. Kot 585° je tretji četrtinski kot. Kot - 45° je četrta četrtina kota.

V tem primeru koti ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° ne pripadajo nobeni četrtini, saj ležijo na koordinatnih oseh.

Zdaj razmislite o predznakih, ki jih imajo sinus, kosinus, tangens in kotangens, odvisno od tega, v katerem kvadrantu leži kot.

Če želite določiti znake sinusa po četrtinah, se spomnite definicije. Sinus je ordinata točke A 1 (x, y). Iz slike je razvidno, da je v prvem in drugem četrtletju pozitiven, v tretjem in štirikratniku pa negativen.

Kosinus je abscisa točke A 1 (x, y). V skladu s tem določimo predznake kosinusa na krogu. Kosinus je v prvi in ​​četrti četrtini pozitiven, v drugi in tretji četrtini pa negativen.

Za določitev predznakov tangensa in kotangensa po četrtinah se spomnimo tudi definicij teh trigonometričnih funkcij. Tangenta je razmerje med ordinato točke in absciso. To pomeni, da po pravilu deljenja števil z različna znamenja, če imata ordinata in abscisa enaka predznaka, bo predznak tangente na krožnici pozitiven, kadar pa imata ordinata in abscisa različna predznaka, bo negativen. Na podoben način se določijo kotangensi za četrtine.

Pomembno si je zapomniti!

1. Sinus kota α ima v 1. in 2. četrtini znak plus, v 3. in 4. četrtini pa znak minus.
2. Kosinus kota α ima v 1. in 4. četrtini predznak plus, v 2. in 3. četrtini pa predznak minus.
3. Tangens kota α ima v 1. in 3. četrtini predznak plus, v 2. in 4. četrtini pa predznak minus.
4. Kotangens kota α ima v 1. in 3. četrtini predznak plus, v 2. in 4. četrtini pa predznak minus.

Lastnost periodičnosti

Lastnost periodičnosti je ena najbolj očitnih lastnosti trigonometričnih funkcij.

Lastnost periodičnosti

Ko se kot spremeni za celo število polnih vrtljajev, ostanejo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa danega kota nespremenjene.

Ko se kot spremeni za celo število vrtljajev, bomo vedno prišli iz začetne točke A na enotskem krogu v točko A 1 z enakimi koordinatami. V skladu s tem se vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ne bodo spremenile.

Matematično je ta lastnost zapisana na naslednji način:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Kako se ta lastnost uporablja v praksi? Lastnost periodičnosti se tako kot redukcijske formule pogosto uporablja za izračun vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov velikih kotov.

Navedimo primere.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Ponovno poglejmo enotski krog.

Točka A 1 (x, y) je rezultat zasuka začetne točke A 0 (1, 0) okoli središča kroga za kot α. Točka A 2 (x, - y) je rezultat zasuka začetne točke za kot - α.

Točki A 1 in A 2 sta simetrični glede na abscisno os. V primeru, da je α = 0 °, ± 180 °, ± 360 °, točki A 1 in A 2 sovpadata. Naj ima ena točka koordinate (x, y), druga pa - (x, - y). Spomnimo se definicij sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa in zapišimo:

sin α = y, cos α = x, t g α = y x, c t g α = x y sin - α = - y, cos - α = x, t g - α = - y x, c t g - α = x - y

To pomeni lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov.

Lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Glede na to lastnost so enakosti resnične

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Ta lastnost se pogosto uporablja pri reševanju praktičnih problemov v primerih, ko se je treba znebiti negativnih znakov kota v argumentih trigonometričnih funkcij.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Omogoča vam, da določite številne značilne rezultate - lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. V tem članku si bomo ogledali tri glavne lastnosti. Prvi od njih označuje znake sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota α, odvisno od tega, pod kotom katere koordinatne četrtine je α. Nato bomo obravnavali lastnost periodičnosti, ki določa nespremenljivost vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota α, ko se ta kot spremeni za celo število vrtljajev. Tretja lastnost izraža razmerje med vrednostmi sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa nasprotnih kotov α in −α.

Če vas zanimajo lastnosti funkcij sinus, kosinus, tangens in kotangens, jih lahko preučite v ustreznem razdelku članka.

Navigacija po straneh.

Predznaki sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa po četrtinah

Spodaj v tem odstavku se pojavi besedna zveza "kota I, II, III in IV koordinatne četrtine". Razložimo, kaj so ti koti.

Vzemimo enotski krog, na njej označimo začetno točko A(1, 0) in jo zavrtimo okoli točke O za kot α in predpostavimo, da bomo prišli do točke A 1 (x, y).

To pravijo kot α je kot I, II, III, IV koordinatnega kvadranta, če točka A 1 leži v četrtini I, II, III, IV; če je kot α tak, da točka A 1 leži na kateri koli koordinatni premici Ox ali Oy, potem ta kot ne pripada nobeni od štirih četrtin.

Za jasnost je tukaj grafična ilustracija. Spodnje risbe prikazujejo koti vrtenja 30, −210, 585 in −45 stopinj, kar so koti koordinatnih četrtin I, II, III in IV.

Koti 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stopinje ne pripadajo nobeni koordinatni četrtini.

Zdaj pa ugotovimo, kateri znaki imajo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa rotacijskega kota α, odvisno od tega, kateri kot kvadranta je α.

Za sinus in kosinus je to enostavno narediti.

Po definiciji je sinus kota α ordinata točke A 1. Očitno je v I in II koordinatnih četrtinah pozitivna, v III in IV četrtinah pa negativna. Tako ima sinus kota α v 1. in 2. četrtini predznak plus, v 3. in 6. četrtini pa predznak minus.

Po drugi strani pa je kosinus kota α abscisa točke A 1. V I in IV četrtini je pozitiven, v II in III četrtini pa negativen. Posledično so vrednosti kosinusa kota α v četrtinah I in IV pozitivne, v četrtinah II in III pa so negativne.

Če želite določiti znake četrtin tangente in kotangensa, se morate spomniti njihovih definicij: tangenta je razmerje med ordinato točke A 1 in absciso, kotangens pa je razmerje med absciso točke A 1 in ordinato. Potem od pravila za deljenje števil z enakimi in različnima predznakoma sledi, da imata tangens in kotangens predznak plus, kadar sta abscisni in ordinatni predznak točke A 1 enaka, in minus, kadar sta abscisni in ordinatni predznak točke A 1 različna. Posledično imata tangens in kotangens kota v I in III koordinatni četrtini znak +, v II in IV četrtini pa znak minus.

Dejansko sta na primer v prvi četrtini tako abscisa x kot ordinata y točke A 1 pozitivni, potem sta količnik x/y in količnik y/x pozitivna, zato imata tangens in kotangens predznak +. In v drugi četrtini je abscisa x negativna, ordinata y pa pozitivna, zato sta tako x/y kot y/x negativna, zato imata tangens in kotangens predznak minus.

Pojdimo k naslednji lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Lastnost periodičnosti

Zdaj si bomo ogledali morda najbolj očitno lastnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota. To je naslednje: ko se kot spremeni za celo število polnih vrtljajev, se vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa tega kota ne spremenijo.

To je razumljivo: ko se kot spremeni za celo število vrtljajev, bomo vedno prišli od začetne točke A do točke A 1 na enotskem krogu, zato vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostanejo nespremenjene, saj so koordinate točke A 1 nespremenjene.

Z uporabo formul lahko obravnavano lastnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa zapišemo takole: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , kjer je α rotacijski kot v radianih, z je poljuben , absolutna vrednost ki označuje število polnih vrtljajev, za katere se spremeni kot α, predznak števila z pa označuje smer vrtenja.

Če je rotacijski kot α določen v stopinjah, bodo navedene formule prepisane kot sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Navedimo primere uporabe te lastnosti. na primer , Ker , A . Tu je še en primer: ali .

Ta nepremičnina, skupaj z redukcijske formule zelo pogosto uporablja za izračun vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa"velikih" kotov.

Obravnavana lastnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa se včasih imenuje lastnost periodičnosti.

Lastnosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov

Naj bo A 1 točka, ki jo dobimo z vrtenjem začetne točke A(1, 0) okoli točke O za kot α, točka A 2 pa rezultat vrtenja točke A za kot −α, nasproten kotu α.

Lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov temelji na dokaj očitnem dejstvu: zgoraj omenjeni točki A 1 in A 2 bodisi sovpadata (at) ali sta nameščeni simetrično glede na os Ox. Če ima točka A 1 koordinate (x, y), bo imela točka A 2 koordinate (x, −y). Od tu z uporabo definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa zapišemo enakosti in .
Če jih primerjamo, pridemo do razmerij med sinusi, kosinusi, tangenti in kotangensi nasprotnih kotov α in −α oblike.
To je obravnavana lastnost v obliki formul.

Navedimo primere uporabe te lastnosti. Na primer, enakosti in .

Omeniti velja le, da se lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov, tako kot prejšnja lastnost, pogosto uporablja pri izračunu vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa in vam omogoča, da se popolnoma izognete negativnim koti.

Bibliografija.

• Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. Telyakovsky S. A. - M.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
• Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Izobraževanje, 2004. - 384 str .: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Vrsta lekcije: sistematizacija znanja in vmesna kontrola.

Oprema: trigonometrični krog, testi, kartice z nalogami.

Cilji lekcije: sistematizirajo preučeno teoretično snov glede na definicije sinusa, kosinusa, tangensa kota; preveriti stopnjo osvojenosti znanja na to temo in uporabo v praksi.

Naloge:

• Posplošite in utrdite pojme sinus, kosinus in tangens kota.
• Oblikujte celovito razumevanje trigonometričnih funkcij.
• Spodbujati željo in potrebo študentov po študiju trigonometričnega gradiva; gojiti kulturo komuniciranja, sposobnost skupinskega dela in potrebo po samoizobraževanju.

»Kdor že od malih nog dela in misli s svojo glavo,
Potem postane bolj zanesljiv, močnejši, pametnejši.

(V. Šukšin)

MED POUKOM

I. Organizacijski trenutek

Razred predstavljajo tri skupine. Vsaka skupina ima svetovalca.
Učitelj napove temo, cilje in namene lekcije.

II. Posodabljanje znanja (frontalno delo z razredom)

1) Delo v skupinah pri nalogah:

1. Oblikujte definicijo sin kota.

– Katere predznake ima sin α v vsakem koordinatnem kvadrantu?
– Pri katerih vrednostih je izraz sin α smiseln in kakšne vrednosti lahko sprejme?

2. Druga skupina so ista vprašanja za cos α.

3. Tretja skupina pripravi odgovore na enaki vprašanji tg α in ctg α.

V tem času trije učenci samostojno delajo za tablo s kartami (predstavniki različnih skupin).

Kartica št. 1.

Praktično delo.
Z uporabo enotskega kroga izračunajte vrednosti sin α, cos α in tan α za kote 50, 210 in – 210.

Kartica št. 2.

Določi predznak izraza: tg 275; cos 370; greh 790; tg 4.1 in greh 2.

Kartica številka 3.

1) Izračunaj:
2) Primerjaj: cos 60 in cos 2 30 – sin 2 30

2) Ustno:

a) Predlagana je vrsta številk: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Med njimi so odvečni. Katero lastnost sin α ali cos α lahko izrazita ta števila (Ali lahko sin α ali cos α sprejmeta te vrednosti).
b) Ali je smiseln izraz: cos (–); greh 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Zakaj?
c) Ali obstaja najmanjši in najvišjo vrednost sin ali cos, tg, ctg.
d) Je res?
1) α = 1000 je kot druge četrtine;
2) α = – 330 je kot četrtine IV.
e) Števili ustrezata isti točki na enotskem krogu.

3) Delo za tablo

Št. 567 (2; 4) – Poišči vrednost izraza
št. 583 (1-3) Določite predznak izraza

Domača naloga: tabela v zvezku. št. 567(1, 3) št. 578

III. Pridobivanje dodatnega znanja. Trigonometrija na dlani

Učiteljica: Izkazalo se je, da se vrednosti sinusov in kosinusov kotov "nahajajo" na dlani. Iztegnite roko (obe roki) in razprite prste čim bolj narazen (kot na plakatu). Vabljen en učenec. Merimo kote med prsti.
Vzemite trikotnik, kjer je kot 30, 45 in 60 90, in prislonite vrh kota na lunin grič na dlani. Mount of the Mount se nahaja na presečišču podaljškov mezinca in palec. Eno stran združimo z mezincem, drugo stran pa z enim od ostalih prstov.
Izkazalo se je, da je med mezincem in palcem kot 90, med mezincem in prstancem 30, med mezincem in sredincem 45 ter med mezincem in kazalcem 60. In to velja za vse ljudi brez izjeme.

mezinec št. 0 – ustreza 0,
neimenovana št. 1 – ustreza 30,
povprečje št. 2 – ustreza 45,
številka indeksa 3 – ustreza 60,
velika št. 4 – ustreza 90.

Tako imamo na roki 4 prste in spomnimo se formule:

Prst št.	Kotiček	Pomen

To je le mnemonično pravilo. Na splošno je treba vrednost sin α ali cos α poznati na pamet, včasih pa bo to pravilo pomagalo v težkih časih.
Izmislite si pravilo za cos (koti se ne spreminjajo, ampak se štejejo od palca). Fizični premor, povezan z znakoma sin α ali cos α.

IV. Preverjanje znanja in spretnosti

Samostojno delo s povratnimi informacijami

Vsak učenec prejme test (4 možnosti) in list za odgovore je enak za vse.

Test

Možnost 1

1) Pri katerem kotu zasuka bo polmer zavzel enak položaj kot pri zasuku za kot 50?
2) Poiščite vrednost izraza: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Katero število je manjše od nič: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Možnost 2

1) Pri katerem kotu zasuka bo polmer zavzel enak položaj kot pri zasuku za kot 10.
2) Poiščite vrednost izraza: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Katero število je večje od nič: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Možnost 3

1) Poiščite vrednost izraza: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Katero število je manjše od nič: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Kateri četrtinski kot je kot α, če je sin α > 0, cos α< 0.

Možnost 4

1) Poiščite vrednost izraza: tg 60 – 6ctg 90.
2) Katero število je manjše od nič: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Kateri kot kvadranta je kot α, če je ctg α< 0, cos α> 0.

A 0	B Sin50	IN 1	G – 350	D – 1	E Cos(– 140)
IN 3	Z 310	IN Cos 140		L 350	M 2
n Cos 340	O – 3	p Cos 250	R	Z Greh 140	T – 310
U – 2	F 2	X Tg 50	Š Tg 250	YU Greh 340	jaz 4

(ključna beseda je trigonometrija)

V. Podatki iz zgodovine trigonometrije

Učiteljica: Trigonometrija je dokaj pomembna veja matematike za človeško življenje. Moderen videz trigonometrijo je uvedel največji matematik 18. stoletja Leonhard Euler, Švicar po rodu, ki je dolga leta deloval v Rusiji in je bil član Sanktpeterburške akademije znanosti. Uvedel je znane definicije trigonometričnih funkcij, oblikoval in dokazal znane formule, ki se jih bomo naučili kasneje. Eulerjevo življenje je zelo zanimivo in svetujem vam, da se z njim seznanite v knjigi Jakovljeva "Leonard Euler".

(Sporočilo fantov na to temo)

VI. Povzetek lekcije

Igra "Tic Tac Toe"

Sodelujeta dva najbolj aktivna učenca. Podpirajo jih skupine. Rešitve nalog si zapišemo v zvezek.

Naloge

1) Poiščite napako

a) sin 225 = – 1,1 c) sin 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Izrazi kot v stopinjah
3) Izrazite kot 300 v radianih
4) Kaj je največje in najmanjša vrednost ima lahko izraz: 1+ sin α;
5) Določite predznak izraza: sin 260, cos 300.
6) V kateri četrtini številskega kroga se nahaja točka?
7) Določite predznake izraza: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Izračunaj:
9) Primerjaj: greh 2 in greh 350

VII. Refleksija lekcije

Učiteljica: Kje lahko srečamo trigonometrijo?
Pri katerih učnih urah v 9. razredu in še zdaj uporabljate pojme sin α, cos α; tg α; ctg α in za kakšen namen?