Kakšna trikotna piramida. Piramida. Prisekana piramida

Trikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu trikotnik. Višina te piramide je navpičnica, ki je spuščena od vrha piramide do njenega vznožja.

Iskanje višine piramide

Kako najti višino piramide? Zelo preprosto! Če želite najti višino katere koli trikotne piramide, lahko uporabite formulo prostornine: V = (1/3)Sh, kjer je S površina baze, V je prostornina piramide, h je njena višina. Iz te formule izpeljite formulo višine: če želite najti višino trikotne piramide, morate prostornino piramide pomnožiti s 3 in nato dobljeno vrednost razdeliti na površino baze, bo: h = (3V)/S. Ker je osnova trikotne piramide trikotnik, lahko uporabite formulo za izračun površine trikotnika. Če poznamo: ploščino trikotnika S in njegovo stranico z, potem glede na formulo ploščine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kjer je h višina piramide, γ je rob trikotnika; kot med stranicami trikotnika in obema stranicama samima, nato z uporabo naslednje formule: S = (1/2)γφsinQ, kjer sta γ, φ strani trikotnika, najdemo površino trikotnika. Vrednost sinusa kota Q je treba pogledati v tabeli sinusov, ki je dostopna na internetu. Nato nadomestimo vrednost površine v formulo za višino: h = (2S)/γ. Če naloga zahteva izračun višine trikotne piramide, potem je prostornina piramide že znana.

Pravilna trikotna piramida

Poiščite višino pravilne trikotne piramide, to je piramide, v kateri so vse ploskve enakostranični trikotniki, če poznate velikost roba γ. V tem primeru so robovi piramide stranice enakostraničnega trikotnika. Višina pravilne trikotne piramide bo: h = γ√(2/3), kjer je γ rob enakostraničnega trikotnika, h je višina piramide. Če površina osnove (S) ni znana in sta podana samo dolžina roba (γ) in prostornina (V) poliedra, je treba zamenjati potrebno spremenljivko v formuli iz prejšnjega koraka z njegovim ekvivalentom, ki je izražen z dolžino roba. Površina trikotnika (navadnega) je enaka 1/4 zmnožka dolžine stranice tega trikotnika na kvadrat s kvadratnim korenom iz 3. To formulo zamenjamo namesto površine osnove v prejšnjem formulo in dobimo naslednjo formulo: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Prostornino tetraedra lahko izrazimo z dolžino njegovega roba, nato pa iz formule za izračun višine figure odstranimo vse spremenljivke in pustimo le stranico trikotne ploskve figure. Prostornino takšne piramide lahko izračunate tako, da zmnožek kubne dolžine njene ploskve delite z 12 na kvadratni koren iz 2.

Če ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo, dobimo naslednjo formulo za izračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Tudi navadno trikotno prizmo lahko vpišemo v kroglo in če poznamo le polmer krogle (R), lahko ugotovimo višino samega tetraedra. Dolžina roba tetraedra je: γ = 4R/√6. V prejšnji formuli zamenjamo spremenljivko γ s tem izrazom in dobimo formulo: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Isto formulo lahko dobimo, če poznamo polmer (R) kroga, včrtanega v tetraeder. V tem primeru bo dolžina roba trikotnika enaka 12 razmerjem med kvadratni koren od 6 in polmer. Ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo in imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako najti višino pravilne štirikotne piramide

Če želite odgovoriti na vprašanje, kako najti dolžino višine piramide, morate vedeti, kaj je navadna piramida. Štirikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu štirikotnik. Če imamo v pogojih problema: prostornino (V) in površino osnove (S) piramide, potem bo formula za izračun višine poliedra (h) naslednja - razdelite prostornino, pomnoženo za 3 s površino S: h = (3V)/S. Za kvadratno osnovo piramide z dano prostornino (V) in stransko dolžino γ zamenjajte ploščino (S) v prejšnji formuli s kvadratom stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Višina pravilne piramide h = SO gre natančno skozi središče kroga, ki je opisan blizu vznožja. Ker je osnova te piramide kvadrat, je točka O presečišče diagonal AD in BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Nato v pravokotnem trikotniku SOC najdemo (z uporabo Pitagorovega izreka): SO = √(SC 2 -OC 2). Zdaj veste, kako najti višino pravilne piramide.

Hipoteza: verjamemo, da je popolnost oblike piramide posledica matematičnih zakonov, ki so del njene oblike.

Cilj: Ko ste preučili piramido kot geometrijsko telo, razložite popolnost njene oblike.

Naloge:

1. Podajte matematično definicijo piramide.

2. Preučite piramido kot geometrijsko telo.

3. Razumeti, kakšno matematično znanje so Egipčani vključili v svoje piramide.

Zasebna vprašanja:

1. Kaj je piramida kot geometrijsko telo?

2. Kako je mogoče edinstveno obliko piramide razložiti z matematičnega vidika?

3. Kaj pojasnjuje geometrijske čudeže piramide?

4. Kaj pojasnjuje popolnost oblike piramide?

Opredelitev piramide.

PIRAMIDA (iz grške pyramis, gen. pyramidos) - polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa so trikotniki, ki imajo skupno oglišče (risba). Piramide glede na število vogalov baze delimo na trikotne, štirikotne itd.

PIRAMIDA - monumentalna zgradba z geometrijska oblika piramide (včasih tudi stopničaste ali stolpaste). Piramide so ime za velikanske grobnice staroegipčanskih faraonov 3.-2. tisočletja pr. e., kot tudi starodavni ameriški tempeljski podstavki (v Mehiki, Gvatemali, Hondurasu, Peruju), povezani s kozmološkimi kulti.

Možno je, da grška beseda "piramida" izhaja iz egipčanskega izraza per-em-us, torej iz izraza, ki pomeni višino piramide. Izjemen ruski egiptolog V. Struve je verjel, da grški "puram...j" izvira iz staroegipčanskega "p"-mr".

Iz zgodovine. Po preučevanju gradiva v učbeniku "Geometrija" avtorjev Atanasyan. Butuzova in drugih, smo izvedeli, da: Polieder, sestavljen iz n-kotnika A1A2A3 ... An in n trikotnikov PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, se imenuje piramida. Mnogokotnik A1A2A3 ... An je osnova piramide, trikotniki PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 pa so stranski obrazi piramide, P – vrh piramide, segmenti PA1, PA2,…, PAn – stranski robovi.

Vendar ta definicija piramide ni vedno obstajala. Na primer, starogrški matematik, avtor teoretičnih razprav o matematiki, ki so prišli do nas, Evklid, definira piramido kot trdno figuro, omejeno z ravninami, ki konvergirajo iz ene ravnine v eno točko.

Toda ta definicija je bila kritizirana že v starih časih. Zato je Heron predlagal naslednjo definicijo piramide: "To je figura, omejena s trikotniki, ki se zbirajo v eni točki in katere osnova je mnogokotnik."

Naša skupina je po primerjavi teh definicij prišla do zaključka, da nimajo jasne formulacije pojma "temelj".

Preučili smo te definicije in našli definicijo Adriena Marie Legendra, ki je leta 1794 v svojem delu "Elementi geometrije" definiral piramido takole: "Piramida je trdna figura, ki jo sestavljajo trikotniki, ki se zbirajo v eni točki in končajo na različnih straneh ravno podlago."

Zdi se nam, da zadnja definicija daje jasno predstavo o piramidi, saj je govorimo o da je osnova ravna. Druga definicija piramide se je pojavila v učbeniku iz 19. stoletja: "piramida je telesni kot, ki ga seka ravnina."

Piramida kot geometrijsko telo.

to. Piramida je polieder, katerega ena ploskev (osnova) je mnogokotnik, ostale ploskve (stranice) pa so trikotniki, ki imajo eno skupno oglišče (oglišče piramide).

Navpičnica, ki je potegnjena z vrha piramide na ravnino osnove, se imenuje višinah piramide.

Poleg poljubne piramide obstajajo pravilna piramida na osnovi katerega je pravilen mnogokotnik in prisekana piramida.

Na sliki je piramida PABCD, ABCD je njena osnova, PO je njena višina.

Območje polna površina piramida je vsota ploščin vseh njenih ploskev.

Polna = Sstran + Smain, Kje Stran– vsota površin stranskih ploskev.

Prostornina piramide se najde po formuli:

V=1/3Sbas. h, kjer Sbas. - osnovna površina, h- višina.

Os pravilne piramide je premica, ki vsebuje njeno višino.
Apotem ST je višina stranske ploskve pravilne piramide.

Območje stranske ploskve pravilne piramide je izraženo na naslednji način: Sstran. =1/2P h, kjer je P obseg baze, h- višina stranske ploskve (apotem pravilne piramide). Če piramido seka ravnina A’B’C’D’, vzporedna z osnovo, potem:

1) stranska rebra in višina so s to ravnino razdeljeni na sorazmerne dele;

2) v prerezu dobimo mnogokotnik A’B’C’D’, podoben osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove prisekane piramide– podobna mnogokotnika ABCD in A`B`C`D`, stranske ploskve so trapezi.

Višina prisekana piramida - razdalja med bazami.

Okrnjena glasnost piramido najdemo po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne prisekane piramide je izražen kot sledi: Sstran = ½(P+P') h, kjer sta P in P’ obsega baz, h- višina stranske ploskve (apotem pravilne prisekane pirame

Odseki piramide.

Odseki piramide z ravninami, ki potekajo skozi njen vrh, so trikotniki.

Odsek, ki poteka skozi dva nesosednja stranska robova piramide, se imenuje diagonalni odsek.

Če prerez poteka skozi točko na stranskem robu in strani podnožja, bo njegova sled do ravnine podnožja piramide ta stran.

Odsek, ki poteka skozi točko, ki leži na obrazu piramide, in dano sled odseka na osnovni ravnini, potem je treba konstrukcijo izvesti na naslednji način:

· poiščejo presečišče ravnine dane ploskve in sled prereza piramide ter jo označijo;

zgradite premico, ki poteka skozi dano točko in nastalo presečišče;

· ponovite te korake za naslednje obraze.

, kar ustreza razmerju krakov pravokotnega trikotnika 4:3. To razmerje nog ustreza dobro znanemu pravokotnemu trikotniku s stranicami 3:4:5, ki se imenuje "popolni", "sveti" ali "egipčanski" trikotnik. Po mnenju zgodovinarjev je "egipčanski" trikotnik dobil magični pomen. Plutarh je zapisal, da so Egipčani primerjali naravo vesolja s »svetim« trikotnikom; navpični krak so simbolično primerjali z možem, osnovo z ženo in hipotenuzo s tistim, kar je rojeno iz obeh.

Za trikotnik 3:4:5 velja enakost: 32 + 42 = 52, kar izraža Pitagorov izrek. Ali niso egiptovski svečeniki želeli ovekovečiti tega izreka s postavitvijo piramide, ki temelji na trikotniku 3:4:5? Težko je najti uspešnejši primer za ponazoritev Pitagorovega izreka, ki so ga Egipčani poznali že dolgo preden ga je odkril Pitagora.

Torej, briljantni ustvarjalci Egipčanske piramide so želeli presenetiti daljne potomce z globino svojega znanja in to so dosegli z izbiro "zlatega" pravokotnega trikotnika kot "glavne geometrijske ideje" za Keopsovo piramido in "svetega" ali "egipčanskega" trikotnika za Kefrenovo piramido .

Znanstveniki v svojih raziskavah zelo pogosto uporabljajo lastnosti piramid s proporci zlatega reza.

Pri matematiki enciklopedični slovar Podana je naslednja definicija zlatega reza - to je harmonična delitev, delitev v skrajnem in povprečnem razmerju - delitev odseka AB na dva dela tako, da je njegov večji del AC povprečno sorazmerje med celotnim odsekom AB in njegovim manjši del SV.

Algebraična določitev zlatega reza segmenta AB = a zmanjša na reševanje enačbe a: x = x: (a – x), pri čemer je x približno enak 0,62a. Razmerje x lahko izrazimo kot ulomke 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kjer so 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonaccijeva števila.

Geometrijska konstrukcija zlatega reza segmenta AB je izvedena na naslednji način: v točki B je obnovljena pravokotnica na AB, na njej je položen segment BE = 1/2 AB, A in E sta povezana, DE = BE je odpuščen in končno je AC = AD, potem je izpolnjena enakost AB: CB = 2:3.

zlata sredina pogosto uporabljen v umetniških delih, arhitekturi in v naravi. Živa primera sta skulptura Apolona Belvedere in Partenon. Pri gradnji Partenona je bilo uporabljeno razmerje med višino stavbe in njeno dolžino in to razmerje je 0,618. Predmeti okoli nas so tudi primeri zlatega reza, na primer, vezave mnogih knjig imajo razmerje med širino in dolžino blizu 0,618. Če upoštevamo razporeditev listov na skupnem steblu rastlin, lahko opazimo, da se med vsakima dvema paroma listov tretji nahaja na zlatem rezu (diapozitivi). Vsak od nas »nosi« zlati rez s seboj »v rokah« - to je razmerje med falangami prstov.

Zahvaljujoč odkritju več matematičnih papirusov so se egiptologi naučili nekaj o staroegipčanskih sistemih računanja in merjenja. Naloge, ki jih vsebujejo, so reševali pisarji. Eden najbolj znanih je Rhindov matematični papirus. S proučevanjem teh problemov so egiptologi izvedeli, kako so stari Egipčani obravnavali različne količine, ki so se pojavile pri računanju mer teže, dolžine in prostornine, ki so pogosto vključevale ulomke, pa tudi, kako so ravnali s koti.

Stari Egipčani so uporabljali metodo izračunavanja kotov na podlagi razmerja med višino in osnovo pravokotnega trikotnika. Vsak kot so izrazili v jeziku gradienta. Gradient naklona je bil izražen kot razmerje celih števil, imenovano "seced". Richard Pillins v Mathematics in the Age of the Pharaohs pojasnjuje: »Seked pravilne piramide je naklon katere koli od štirih trikotnih ploskev glede na ravnino osnove, merjen z n-tim številom vodoravnih enot na navpično enoto višine. . Tako je ta merska enota enakovredna našemu sodobnemu kotangensu kota naklona. Zato je egipčanska beseda "odcepljena" sorodna naši sodobna beseda"gradient"".

Numerični ključ do piramid je v razmerju med njihovo višino in osnovo. Praktično gledano je to najlažji način, da naredimo šablone, ki so potrebne za stalno preverjanje pravilnega kota naklona skozi celotno konstrukcijo piramide.

Egiptologi bi nas z veseljem prepričali, da je vsak faraon hrepenel po izražanju svoje individualnosti, od tod tudi razlike v naklonskih kotih vsake piramide. Lahko pa obstaja še en razlog. Morda so vsi želeli utelešati različne simbolne asociacije, skrite v različnih razmerjih. Vendar pa se kot Khafrejeve piramide (ki temelji na trikotniku (3:4:5) pojavlja v treh problemih, ki jih predstavljajo piramide v Rhindovem matematičnem papirusu). Tako so ta odnos dobro poznali stari Egipčani.

Če smo pošteni do egiptologov, ki trdijo, da stari Egipčani niso poznali trikotnika 3:4:5, dolžina hipotenuze 5 ni bila nikoli omenjena. Ampak matematične težave vprašanja v zvezi s piramidami se vedno odločajo na podlagi drugega kota - razmerja med višino in osnovo. Ker dolžina hipotenuze ni bila nikoli omenjena, je bilo ugotovljeno, da Egipčani nikoli niso izračunali dolžine tretje stranice.

Razmerja med višino in osnovo, uporabljena v piramidah v Gizi, so nedvomno poznali stari Egipčani. Možno je, da so bila ta razmerja za vsako piramido izbrana poljubno. Vendar je to v nasprotju s pomenom, ki se pripisuje simboliki številk v vseh vrstah egipčanske likovne umetnosti. Zelo verjetno je, da so bili takšni odnosi pomembni, ker so izražali posebne verske ideje. Z drugimi besedami, celoten kompleks Gize je bil podrejen skladni zasnovi, zasnovani tako, da odraža določeno božansko temo. To bi pojasnilo, zakaj so oblikovalci izbrali različne kote za tri piramide.

V Skrivnosti Oriona sta Bauval in Gilbert predstavila prepričljive dokaze, ki povezujejo piramide v Gizi z ozvezdjem Orion, zlasti z zvezdami Orionovega pasu. Isto ozvezdje je prisotno v mitu o Izidi in Ozirisu, in obstaja razlog, da vsako piramido gledamo kot upodobitev enega od treh glavnih božanstev – Ozirisa, Izide in Horusa.

»GEOMETRIJSKI« ČUDEŽI.

Med veličastnimi piramidami Egipta zavzema posebno mesto Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Preden začnemo analizirati obliko in velikost Keopsove piramide, se spomnimo, kakšen sistem ukrepov so uporabljali Egipčani. Egipčani so imeli tri enote za dolžino: "komolec" (466 mm), ki je bil enak sedmim "dlani" (66,5 mm), kar je bilo enako štirim "prstom" (16,6 mm).

Analizirajmo razsežnosti Keopsove piramide (slika 2) po argumentih, podanih v čudoviti knjigi ukrajinskega znanstvenika Nikolaja Vasjutinskega »Zlati delež« (1990).

Večina raziskovalcev se strinja, da je dolžina stranice baze piramide npr. GF enako L= 233,16 m Ta vrednost skoraj natančno ustreza 500 "komolcem". Popolna skladnost s 500 "komolci" bo dosežena, če se šteje, da je dolžina "komolca" enaka 0,4663 m.

Višina piramide ( H) raziskovalci ocenjujejo različno od 146,6 do 148,2 m. In glede na sprejeto višino piramide se spreminjajo vsa razmerja njenih geometrijskih elementov. Kaj je razlog za razlike v ocenah višine piramide? Dejstvo je, da je Cheopsova piramida, strogo gledano, okrnjena. Njena zgornja ploščad danes meri približno 10 ´ 10 m, pred stoletjem pa je bila 6 ´ 6 m. Očitno je bil vrh piramide razstavljen in ne ustreza prvotnemu.

Pri ocenjevanju višine piramide je treba to upoštevati fizični dejavnik, kot "osnutek" strukture. zadaj dolgo časa pod vplivom kolosalnega pritiska (ki je dosegel 500 ton na 1 m2 spodnje površine) se je višina piramide zmanjšala glede na prvotno višino.

Kakšna je bila prvotna višina piramide? To višino je mogoče ponovno ustvariti z iskanjem osnovne "geometrijske ideje" piramide.

Slika 2.

Leta 1837 je angleški polkovnik G. Wise izmeril kot naklona ploskev piramide: izkazalo se je, da je enak a= 51°51". To vrednost še danes priznava večina raziskovalcev. Navedena vrednost kota ustreza tangenti (tg a), enako 1,27306. Ta vrednost ustreza razmerju višine piramide AC do polovice svoje osnove C.B.(slika 2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

In tukaj je raziskovalce čakalo veliko presenečenje!.png" width="25" height="24">= 1,272. Primerjava te vrednosti z vrednostjo tg a= 1,27306, vidimo, da so te vrednosti zelo blizu druga drugi. Če vzamemo kot a= 51°50", to pomeni, da ga zmanjšate za samo eno kotno minuto, nato vrednost a bo postalo enako 1,272, kar pomeni, da bo sovpadalo z vrednostjo. Opozoriti je treba, da je leta 1840 G. Wise ponovil svoje meritve in pojasnil, da je vrednost kota a=51°50".

Te meritve so raziskovalce pripeljale do naslednje zelo zanimive hipoteze: trikotnik ACB Keopsove piramide je temeljil na relaciji AC / C.B. = = 1,272!

Razmislite zdaj o pravokotnem trikotniku ABC, pri katerem je razmerje nog A.C. / C.B.= (slika 2). Če zdaj dolžine stranic pravokotnika ABC določi z x, l, z, pri čemer upoštevajte tudi, da razmerje l/x= , potem je v skladu s Pitagorovim izrekom dolžina z se lahko izračuna po formuli:

Če sprejmemo x = 1, l= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3."Zlati" pravokotni trikotnik.

Pravokotni trikotnik, katerega stranice so povezane kot t:zlati" pravokotni trikotnik.

Potem, če za osnovo vzamemo hipotezo, da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlati" pravokotni trikotnik, potem lahko od tu zlahka izračunamo "načrtno" višino Keopsove piramide. Je enako:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Izpeljimo zdaj nekaj drugih razmerij za Keopsovo piramido, ki izhajajo iz »zlate« hipoteze. Zlasti bomo našli razmerje med zunanjo površino piramide in površino njene baze. Da bi to naredili, vzamemo dolžino noge C.B. na enoto, to je: C.B.= 1. Potem pa dolžina stranice baze piramide GF= 2, in površina baze EFGH bo enakovreden SEFGH = 4.

Zdaj izračunajmo površino stranske ploskve Keopsove piramide SD. Od višine AB trikotnik AEF enako t, potem bo površina stranske ploskve enaka SD = t. Potem bo skupna površina vseh štirih stranskih ploskev piramide enaka 4 t, in razmerje med celotno zunanjo površino piramide in površino baze bo enako zlatemu rezu! To je to - glavna geometrijska skrivnost Keopsove piramide!

V skupino " geometrijska čudesa»Keopsovo piramido lahko pripišemo resničnim in fiktivnim lastnostim odnosov med različnimi dimenzijami v piramidi.

Praviloma se pridobijo pri iskanju določenih "konstant", zlasti števila "pi" (Ludolfovo število), ki je enako 3,14159 ...; razlogov naravni logaritmi"e" (Neperjevo število), enako 2,71828 ...; številka "F", številka "zlatega reza", enaka na primer 0,618 ... itd.

Poimenujete lahko na primer: 1) Lastnina Herodota: (Višina)2 = 0,5 art. osnovni x Apotem; 2) Lastnina V. Cena: Višina: 0,5 čl. osnova = kvadratni koren iz "F"; 3) Lastnost M. Eista: Obseg baze: 2 Višina = "Pi"; v drugačni interpretaciji - 2 žlici. osnovni : Višina = "Pi"; 4) Lastnost G. Edge: Polmer včrtanega kroga: 0,5 art. osnovni = "F"; 5) Lastnina K. Kleppischa: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. .osnova X Apotem) + (čl. osnova)2). itd. Takšnih lastnosti lahko najdete veliko, še posebej, če povežete dve sosednji piramidi. Na primer, kot »Lastnosti A. Arefjeva« je mogoče omeniti, da je razlika v prostornini Keopsove in Kefrenove piramide enaka dvakratni prostornini Mikerinove piramide ...

Mnogi zanimive določbe Zlasti je gradnja piramid v skladu z "zlatim rezom" opisana v knjigah D. Hambidgea "Dinamična simetrija v arhitekturi" in M. Gicka "Estetika sorazmernosti v naravi in umetnosti." Spomnimo se, da je »zlati rez« delitev segmenta v takšnem razmerju, da je del A tolikokrat večji od dela B, kolikokrat je A manjši od celotnega segmenta A + B. Razmerje A/B je enako številu "F" == 1,618 ... Uporaba "zlatega reza" ni navedena samo v posameznih piramidah, ampak tudi v celotnem kompleksu piramid v Gizi.

Najbolj zanimivo pa je, da ena in ista Keopsova piramida preprosto »ne more« vsebovati toliko čudovitih lastnosti. Če vzamemo določeno lastnost eno za drugo, jo je mogoče "vgraditi", vendar se vse ne prilegajo hkrati - ne sovpadajo, nasprotujejo si. Če torej na primer pri preverjanju vseh lastnosti na začetku vzamemo isto stran baze piramide (233 m), potem bodo tudi višine piramid z različnimi lastnostmi različne. Z drugimi besedami, obstaja določena "družina" piramid, ki so navzven podobne Keopsovi, vendar ustrezajo različne lastnosti. Upoštevajte, da v "geometrijskih" lastnostih ni nič posebej čudežnega - veliko se pojavi čisto samodejno, iz lastnosti same figure. Za "čudež" je treba šteti le nekaj, kar je bilo za stare Egipčane očitno nemogoče. Sem sodijo zlasti »kozmični« čudeži, pri katerih meritve Keopsove piramide ali piramidnega kompleksa v Gizi primerjajo z nekaterimi astronomskimi meritvami in navajajo »sode« številke: milijonkrat manj, milijardokrat manj in tako naprej Poglejmo nekaj "kozmičnih" odnosov.

Ena od izjav je: "če delite stran baze piramide s točno dolžino leta, dobite natanko 10 milijonink zemeljske osi." Izračunaj: 233 delimo s 365, dobimo 0,638. Polmer Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je pravzaprav nasprotna prejšnji. F. Noetling je poudaril, da če uporabimo "egipčanski komolec", ki ga je sam izumil, bo stran piramide ustrezala "najbolj natančnemu trajanju sončnega leta, izraženemu na najbližjo milijardo dneva" - 365.540. 903.777.

Izjava P. Smitha: "Višina piramide je natanko milijarda razdalje od Zemlje do Sonca." Čeprav je običajna višina 146,6 m, jo je Smith vzel za 148,2 m. Po sodobnih radarskih meritvah je velika pol os zemeljske orbite 149.597.870 + 1,6 km. To je povprečna razdalja od Zemlje do Sonca, vendar je v periheliju 5.000.000 kilometrov manj kot v afelu.

Še zadnja zanimiva izjava:

"Kako lahko razložimo, da so mase Keopsove, Kefrenove in Mikerinove piramide povezane med seboj, kot so mase planetov Zemlje, Venere, Marsa?" Izračunajmo. Mase treh piramid so: Khafre - 0,835; Keops - 1000; Mikerin - 0,0915. Razmerja mas treh planetov: Venera - 0,815; Zemlja - 1.000; Mars - 0,108.

Torej kljub skepticizmu opazimo dobro znano harmonijo konstrukcije izjav: 1) višina piramide, kot črta, ki "gre v vesolje", ustreza razdalji od Zemlje do Sonca; 2) stran baze piramide, ki je najbližja "substratu", to je Zemlji, je odgovorna za zemeljski polmer in zemeljsko kroženje; 3) prostornine piramide (beri - mase) ustrezajo razmerju mas planetov, ki so najbližje Zemlji. Podobno »šifro« lahko zasledimo na primer v čebeljem jeziku, ki ga je analiziral Karl von Frisch. Vendar se bomo zaenkrat vzdržali komentarjev na to temo.

PIRAMIDNA OBLIKA

Slavna tetraedrska oblika piramid ni nastala takoj. Skiti so izdelovali pokope v obliki zemeljskih gričev - gomil. Egipčani so gradili "hribe" iz kamna - piramide. Prvič se je to zgodilo po združitvi Zgornjega in Spodnjega Egipta, v 28. stoletju pred našim štetjem, ko je bil ustanovitelj tretje dinastije faraon Džoser (Zoser) postavljen pred nalogo krepitve enotnosti države.

In tukaj, po mnenju zgodovinarjev, pomembno vlogo»Novi koncept oboževanja« kralja je igral vlogo pri krepitvi centralne oblasti. Čeprav so se kraljevi pokopi odlikovali z večjim sijajem, se načeloma niso razlikovali od grobnic dvornih plemičev, bile so enake strukture - mastabe. Nad komoro s sarkofagom, v katerem je bila mumija, je bil nasut pravokoten hrib majhnih kamnov, kjer je bila nato postavljena majhna zgradba iz velikih kamnitih blokov - "mastaba" (v arabščini - "klop"). Faraon Džoser je postavil prvo piramido na mestu mastabe svojega predhodnika Sanakhta. Bila je stopničasta in je bila vidna prehodna stopnja od ene arhitekturne oblike do druge, od mastabe do piramide.

Na ta način je modrec in arhitekt Imhotep, ki so ga kasneje imeli za čarovnika in so ga Grki istovetili z bogom Asklepijem, »vzgojil« faraona. Bilo je, kot da bi postavili šest mastab v vrsto. Poleg tega je prva piramida zasedla površino 1125 x 115 metrov, z ocenjeno višino 66 metrov (po egiptovskih standardih - 1000 "dlani"). Sprva je arhitekt načrtoval gradnjo mastabe, vendar ne podolgovate, ampak kvadratne oblike. Kasneje so ga razširili, a ker je bil prizidek nižji, se je zdelo, da sta stopnici dve.

Takšna situacija arhitekta ni zadovoljila in na zgornjo ploščad ogromne ravne mastabe je Imhotep postavil še tri, ki so se postopoma zmanjševale proti vrhu. Grobnica se je nahajala pod piramido.

Znanih je še več stopničastih piramid, pozneje pa so graditelji prešli na gradnjo nam bolj znanih tetraedrskih piramid. Zakaj pa ne trikotne ali recimo osmerokotne? Posredni odgovor daje dejstvo, da so skoraj vse piramide popolnoma usmerjene vzdolž štirih kardinalnih smeri in imajo torej štiri stranice. Poleg tega je bila piramida "hiša", lupina štirikotne pogrebne komore.

Toda kaj je določilo kot naklona obrazov? V knjigi "Načelo proporcij" je temu posvečeno celotno poglavje: "Kaj bi lahko določilo kote naklona piramid." Zlasti je navedeno, da je »podoba, h kateri gravitirajo velike piramide Starega kraljestva, trikotnik s pravim kotom na vrhu.

V vesolju je to pol-oktaeder: piramida, v kateri so robovi in stranice baze enaki, robovi so enakostranični trikotniki.« Nekatera razmišljanja o tej temi so podana v knjigah Hambidgea, Gicka in drugih.

Kakšna je prednost pol-oktaedrskega kota? Po opisih arheologov in zgodovinarjev so se nekatere piramide zrušile pod lastno težo. Potreben je bil »kot vzdržljivosti«, kot, ki je energijsko najbolj zanesljiv. Povsem empirično lahko ta kot vzamemo iz vrhnega kota v kupu razpadajočega suhega peska. Če pa želite dobiti natančne podatke, morate uporabiti model. Če vzamete štiri trdno pritrjene krogle, morate nanje postaviti peto in izmeriti kote naklona. Tu pa lahko naredite napako, zato pomaga teoretični izračun: središča kroglic morate povezati s črtami (miselno). Osnova bo kvadrat s stranico, ki je enaka dvakratnemu polmeru. Kvadrat bo samo osnova piramide, katere dolžina robov bo prav tako enaka dvakratnemu polmeru.

Tako nam bo tesno pakiranje kroglic, kot je 1:4, dalo navaden pol-oktaeder.

Vendar, zakaj mnoge piramide, ki gravitirajo k podobni obliki, kljub temu ne ohranijo? Verjetno se piramide starajo. V nasprotju s slavnim izrekom:

»Vse na svetu se boji časa in čas se boji piramid,« zgradbe piramid se morajo starati, v njih se lahko in morajo pojavljati ne le procesi zunanjega preperevanja, ampak tudi procesi notranjega »krčenja«, ki lahko povzroči, da se piramide znižajo. Krčenje je možno tudi zato, ker so, kot je razkrilo delo D. Davidovitsa, stari Egipčani uporabljali tehnologijo izdelave blokov iz apnenih drobcev, z drugimi besedami, iz "betona". Prav podobni procesi bi lahko pojasnili razlog za uničenje piramide Medum, ki leži 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 let, dimenzije baze so 146 x 146 m, višina 118 m. »Zakaj je tako iznakažena?« se sprašuje V. Zamarovsky.« Običajna sklicevanja na uničujoče učinke časa in »uporabo kamna za druge zgradbe« tukaj niso primerna.

Navsezadnje je večina njenih blokov in obloženih plošč ostala na svojem mestu do danes, v ruševinah ob njenem vznožju.« Kot bomo videli, nas številne določbe celo navajajo na to, da je tudi znamenita Keopsova piramida »skrčena«. v vsakem primeru so na vseh starodavnih slikah piramide koničaste ...

Oblika piramid bi lahko nastala tudi s posnemanjem: kakšni naravni vzorci, »čudežna popolnost«, recimo kakšni kristali v obliki oktaedra.

Podobni kristali so lahko diamantni in zlati kristali. Značilno veliko število"prekrivajoči" znaki za koncepte, kot so faraon, sonce, zlato, diamant. Povsod - plemenito, briljantno (briljantno), odlično, brezhibno in tako naprej. Podobnosti niso naključne.

Solarni kult je bil, kot je znano, pomemben del religije Starodavni Egipt. »Ne glede na to, kako prevajamo ime največje piramide,« ugotavlja eden od sodobnih priročnikov »The Sky of Khufu« ali »The Skyward Khufu«, je to pomenilo, da je kralj sonce.« Če si je Khufu v sijaju svoje moči predstavljal, da je drugo sonce, potem je njegov sin Djedef-Ra postal prvi izmed egiptovskih kraljev, ki se je imenoval »sin Raja«, to je sin Sonca. Sonce je skoraj pri vseh ljudstvih simbolizirala »sončna kovina«, zlato. "Velik disk svetlega zlata" - tako so Egipčani imenovali našo dnevno svetlobo. Egipčani so odlično poznali zlato, poznali so njegove izvorne oblike, kjer se zlati kristali lahko pojavijo v obliki oktaedrov.

»Sončni kamen« – diamant – je tu zanimiv tudi kot »vzorec oblik«. Ime diamanta je prišlo ravno iz arabskega sveta, "almas" - najtrši, najtrši, neuničljiv. Stari Egipčani so dobro poznali diamant in njegove lastnosti. Po mnenju nekaterih avtorjev so za vrtanje uporabljali celo bronaste cevi z diamantnimi rezalniki.

Danes je glavni dobavitelj diamantov Južna Afrika, vendar je tudi zahodna Afrika bogata z diamanti. Ozemlje Republike Mali se celo imenuje "diamantna dežela". Medtem pa na ozemlju Malija živijo Dogoni, s katerimi zagovorniki hipoteze o paleo-obisku polagajo veliko upov (glej spodaj). Diamanti niso mogli biti razlog za stike starih Egipčanov s to regijo. Kakorkoli že, možno je, da so stari Egipčani ravno s kopiranjem oktaedrov diamantnih in zlatih kristalov pobožali faraone, »neuničljive« kot diamant in »briljantne« kot zlato, Sončeve sinove, primerljive samo z njimi. do najčudovitejših stvaritev narave.

Zaključek:

Ko smo preučevali piramido kot geometrijsko telo, se seznanili z njenimi elementi in lastnostmi, smo se prepričali o utemeljenosti mnenja o lepoti oblike piramide.

Kot rezultat naše raziskave smo prišli do zaključka, da so Egipčani, ko so zbrali najdragocenejše matematično znanje, to utelešili v piramidi. Zato je piramida resnično najpopolnejša stvaritev narave in človeka.

BIBLIOGRAFIJA

"Geometrija: učbenik. za 7-9 razred. Splošna izobrazba institucije\ itd - 9. izd. - M .: Izobraževanje, 1999

Zgodovina matematike v šoli, M: "Prosveshchenie", 1982.

Geometrija 10-11 razreda, M: "Razsvetljenje", 2000

Peter Tompkins "Skrivnosti Velike Keopsove piramide", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Internetni viri

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Učenci se s konceptom piramide srečajo že dolgo pred študijem geometrije. Za to so kriva znana velika egipčanska čudesa sveta. Zato si večina študentov ob začetku preučevanja tega čudovitega poliedra že jasno predstavlja. Vse zgoraj omenjene atrakcije so pravilne oblike. Kaj se je zgodilo redna piramida, in kakšne lastnosti ima in se bomo pogovorili naprej.

V stiku z

Opredelitev

Definicij piramide je kar nekaj. Že od antičnih časov je bil zelo priljubljen.

Na primer, Evklid ga je definiral kot telesno figuro, sestavljeno iz ravnin, ki se, začenši od ene, zbližajo na določeni točki.

Heron je ponudil natančnejšo formulacijo. Je vztrajal, da je to številka, ki ima osnovo in ravnine v obliki trikotnikov, zbliževanje v eni točki.

Na podlagi sodobne interpretacije je piramida predstavljena kot prostorski polieder, sestavljen iz določenega k-kotnika in k ravnih trikotnih likov, ki imajo eno skupno točko.

Oglejmo si ga podrobneje, iz katerih elementov je sestavljen:

K-gon velja za osnovo figure;
3-kotne oblike štrlijo kot robovi stranskega dela;
zgornji del, iz katerega izvirajo stranski elementi, se imenuje vrh;
vsi segmenti, ki povezujejo vrh, se imenujejo robovi;
če je ravna črta spuščena od vrha do ravnine figure pod kotom 90 stopinj, potem je njen del v notranjem prostoru višina piramide;
v kateremkoli stranskem elementu lahko na stranico našega poliedra potegnemo pravokotnico, imenovano apotem.

Število robov se izračuna s formulo 2*k, kjer je k število strani k-kotnika. Koliko ploskev ima polieder, kot je piramida, lahko določimo z izrazom k+1.

Pomembno! Piramida pravilne oblike je stereometrični lik, katerega osnovna ravnina je k-kotnik z enakimi stranicami.

Osnovne lastnosti

Pravilna piramida ima veliko lastnosti, ki so edinstveni zanjo. Naj jih naštejemo:

Osnova je figura pravilne oblike.
Robovi piramide, ki omejujejo stranske elemente, imajo enake številčne vrednosti.
Stranski elementi so enakokraki trikotniki.
Osnovica višine lika pade v središče mnogokotnika, hkrati pa je središčna točka včrtanega in opisanega.
Vsa stranska rebra so nagnjena na ravnino baze pod enakim kotom.
Vse stranske površine imajo enak kot naklona glede na podlago.

Hvala vsem navedene lastnosti, je izvajanje izračunov elementov veliko lažje. Na podlagi zgornjih lastnosti smo pozorni na dva znaka:

V primeru, da se mnogokotnik prilega krogu, bodo stranske ploskve imele osnovo enaki koti.
Pri opisovanju kroga okoli mnogokotnika bodo imeli vsi robovi piramide, ki izhajajo iz vrha, enake dolžine in enake kote z osnovo.

Osnova je kvadrat

Pravilna štirikotna piramida - polieder, katerega osnova je kvadrat.

Ima štiri stranske ploskve, ki so po videzu enakokrake.

Kvadrat je upodobljen na ravnini, vendar temelji na vseh lastnostih pravilnega štirikotnika.

Na primer, če je treba povezati stran kvadrata z njegovo diagonalo, uporabite naslednjo formulo: diagonala je enaka zmnožku stranice kvadrata in kvadratnega korena iz dveh.

Temelji na pravilnem trikotniku

Pravilno trikotna piramida– polieder, katerega osnova je pravilni 3-kotnik.

Če je osnova pravilen trikotnik in so stranski robovi enaki robom osnove, potem je takšna številka imenujemo tetraeder.

Vse ploskve tetraedra so enakostranični trikotnik. IN v tem primeru Vedeti morate nekaj točk in ne izgubljati časa z njimi pri izračunu:

kot nagiba reber na katero koli podlago je 60 stopinj;
velikost vseh notranjih ploskev je tudi 60 stopinj;
vsak obraz lahko deluje kot osnova;
, narisane znotraj figure, so to enaki elementi.

Odseki poliedra

V katerem koli poliedru obstajajo več vrst odsekov stanovanje. Pogosto v šolski tečaj geometrije delujejo z dvema:

aksialni;
vzporedno z osnovo.

Osni prerez dobimo tako, da polieder presekamo z ravnino, ki poteka skozi oglišče, stranske robove in os. V tem primeru je os višina, narisana iz vrha. Rezalna ravnina je omejena s črtami presečišča z vsemi ploskvami, kar povzroči trikotnik.

Pozor! V pravilni piramidi je osni prerez enakokraki trikotnik.

Če rezalna ravnina poteka vzporedno z osnovo, potem je rezultat druga možnost. V tem primeru imamo prerez, podoben osnovi.

Na primer, če je na dnu kvadrat, bo tudi odsek, vzporeden z osnovo, kvadrat, le manjših dimenzij.

Pri reševanju problemov pod tem pogojem uporabljajo znake in lastnosti podobnosti figur, temelji na Thalesovem izreku. Najprej je treba določiti koeficient podobnosti.

Če ravnino narišemo vzporedno z osnovo in se odreže zgornji del polieder, potem dobimo v spodnjem delu pravilno prisekano piramido. Potem pravimo, da so osnove prisekanega poliedra podobni mnogokotniki. V tem primeru so stranske ploskve enakostranični trapezi. Tudi osni prerez je enakokrak.

Za določitev višine prisekanega poliedra je potrebno narisati višino v osnem prerezu, to je v trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski problemi, ki jih je treba rešiti v šolskem tečaju geometrije, so ugotoviti površino in prostornino piramide.

Obstajata dve vrsti površinskih vrednosti:

območje stranskih elementov;
območje celotne površine.

Že iz samega imena je jasno o čem govorimo. Stranska površina vključuje samo stranske elemente. Iz tega sledi, da ga želite najti, preprosto seštejte območja stranskih ravnin, to je območja enakokrakih 3-kotnikov. Poskusimo izpeljati formulo za območje stranskih elementov:

Ploščina enakokrakega 3-kotnika je Str=1/2(aL), kjer je a stranica osnove, L je apotem.
Število stranskih ravnin je odvisno od vrste k-kotnika na dnu. Na primer, pravilno štirikotna piramida ima štiri stranske ravnine. Zato je treba dodati območje štirih figure Sstran=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je na ta način poenostavljen, ker je vrednost 4a = Rosn, kjer je Rosn obseg baze. In izraz 1/2*Rosn je njegov polobod.
Torej sklepamo, da je površina stranskih elementov pravilne piramide enaka zmnožku pol oboda osnove in apoteme: Sside = Rosn * L.

Območje celotne površine piramide je sestavljeno iz vsote površin stranskih ravnin in osnove: Sp.p. = Sstran + Sbas.

Kar zadeva površino baze, se tukaj formula uporablja glede na vrsto poligona.

Prostornina pravilne piramide enak zmnožku ploščine osnovne ravnine in višine, deljene s tri: V=1/3*Sbas*H, kjer je H višina poliedra.

Kaj je pravilna piramida v geometriji

Lastnosti pravilne štirikotne piramide