Višina piramide. Kako jo najti? Prostornina trikotne piramide. Formule in primeri reševanja problema

Tu si bomo ogledali primere, povezane s pojmom glasnosti. Če želite rešiti takšne naloge, morate poznati formulo za prostornino piramide:

S

h – višina piramide

Osnova je lahko poljuben poligon. Toda pri večini nalog na Enotnem državnem izpitu je pogoj običajno pravilne piramide. Naj vas spomnim na eno izmed njegovih lastnosti:

Vrh pravilne piramide je projiciran v sredino njene baze

Oglejte si projekcijo pravilnega trikotnika, štirikotnika in šesterokotna piramida(POGLED OD ZGORAJ):

Lahko na blogu, kjer so razpravljali o težavah, povezanih z iskanjem volumna piramide.Razmislimo o nalogah:

27087. Poiščite prostornino pravilnega trikotna piramida, katere stranice so enake 1 in katerih višina je enaka korenu iz tri.

S– območje baze piramide

h– višina piramide

Poiščimo območje baze piramide, to je navaden trikotnik. Uporabimo formulo - površina trikotnika je enaka polovici produkta sosednjih stranic in sinusa kota med njima, kar pomeni:

Odgovor: 0,25

27088. Poiščite višino pravilne trikotne piramide, katere osnovne stranice so enake 2 in njena prostornina je enaka korenu iz tri.

Koncepti, kot so višina piramide in značilnosti njene osnove, so povezani s formulo volumna:

S– območje baze piramide

h– višina piramide

Poznamo samo prostornino, lahko najdemo ploščino osnove, saj poznamo stranice trikotnika, ki je osnova. Če poznamo navedene vrednosti, zlahka najdemo višino.

Za iskanje površine osnove uporabimo formulo - površina trikotnika je enaka polovici produkta sosednjih stranic in sinusa kota med njimi, kar pomeni:

Tako lahko z nadomestitvijo teh vrednosti v formulo prostornine izračunamo višino piramide:

Višina je tri.

Odgovor: 3

27109. V pravilnem štirikotna piramida višina je 6, stranski rob je 10. Poiščite njegovo prostornino.

Prostornina piramide se izračuna po formuli:

S– območje baze piramide

h– višina piramide

Poznamo višino. Najti morate območje baze. Naj vas spomnim, da je vrh pravilne piramide projiciran v sredino njene baze. Osnova pravilne štirikotne piramide je kvadrat. Lahko najdemo njegovo diagonalo. Razmislite o pravokotnem trikotniku (označen z modro):

Odsek, ki povezuje središče kvadrata s točko B, je krak, ki je enak polovici diagonale kvadrata. To nogo lahko izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka:

To pomeni BD = 16. Izračunajmo površino kvadrata po formuli za ploščino štirikotnika:

Zato:

Tako je prostornina piramide:

Odgovor: 256

27178. V pravilni štirioglati piramidi je višina 12 in prostornina 200. Poiščite stranski rob te piramide.

Višina piramide in njena prostornina sta znani, kar pomeni, da lahko ugotovimo ploščino kvadrata, ki je osnova. Če poznamo površino kvadrata, lahko najdemo njegovo diagonalo. Nato ob upoštevanju pravokotnega trikotnika z uporabo Pitagorovega izreka izračunamo stranski rob:

Poiščimo površino kvadrata (osnova piramide):

Izračunajmo diagonalo kvadrata. Ker je njegova ploščina 50, bo stranica enaka korenu iz petdeset in po Pitagorejskem izreku:

Točka O deli diagonalo BD na pol, kar pomeni krak pravokotnega trikotnika OB = 5.

Tako lahko izračunamo, čemu je enak stranski rob piramide:

Odgovor: 13

245353. Poiščite prostornino piramide, prikazane na sliki. Njegova osnova je mnogokotnik, katerega sosednje stranice so pravokotne, eden od stranskih robov pa je pravokoten na ravnino osnove in je enak 3.

Kot že večkrat rečeno, se prostornina piramide izračuna po formuli:

S– območje baze piramide

h– višina piramide

Stranski rob, pravokoten na osnovo, je enak tri, kar pomeni, da je višina piramide tri. Osnova piramide je mnogokotnik, katerega ploščina je enaka:

Torej:

Odgovor: 27

27086. Osnova piramide je pravokotnik s stranicama 3 in 4. Njegova prostornina je 16. Poiščite višino te piramide.

To je vse. Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik. Vse ploskve po vrsti tvorijo trikotnike, ki se zbližajo v eni točki. Piramide so trikotne, štirikotne itd. Da bi ugotovili, katera piramida je pred vami, je dovolj, da preštejete število kotov na njenem dnu. Opredelitev "višine piramide" se zelo pogosto pojavlja v geometrijskih problemih v šolski kurikulum. V tem članku bomo poskušali razmisliti različne poti njeno lokacijo.

Deli piramide

Vsaka piramida je sestavljena iz naslednjih elementov:

• stranske ploskve, ki imajo tri vogale in se konvergirajo na vrhu;
• apotem predstavlja višino, ki se spušča od njenega vrha;
• vrh piramide je točka, ki povezuje stranska rebra, vendar ne leži v ravnini baze;
• osnova je mnogokotnik, na katerem vrh ne leži;
• višina piramide je odsek, ki seka vrh piramide in z njeno osnovo tvori pravi kot.

Kako najti višino piramide, če je znan njen volumen

S formulo V = (S*h)/3 (v formuli V je prostornina, S je ploščina baze, h je višina piramide) ugotovimo, da je h = (3*V)/ S. Za utrjevanje snovi takoj rešimo nalogo. Trikotna osnova meri 50 cm 2 , njegova prostornina pa 125 cm 3 . Višina trikotne piramide ni znana, kar moramo najti. Tukaj je vse preprosto: podatke vstavimo v našo formulo. Dobimo h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Kako najti višino piramide, če so znani dolžina diagonale in njeni robovi

Kot se spomnimo, višina piramide tvori pravi kot z njeno osnovo. To pomeni, da višina, rob in polovica diagonale skupaj tvorijo Mnogi se seveda spomnijo Pitagorovega izreka. Če poznamo dve dimenziji, ne bo težko najti tretje količine. Spomnimo se znanega izreka a² = b² + c², kjer je a hipotenuza, v našem primeru pa rob piramide; b - prva noga ali polovica diagonale in c - druga noga oziroma višina piramide. Iz te formule c² = a² - b².

Zdaj pa problem: v pravilna piramida diagonala je 20 cm, ko je dolžina roba 30 cm, potrebno je najti višino. Rešimo: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Zato je c = √ 500 = približno 22,4.

Kako najti višino prisekane piramide

To je mnogokotnik s prerezom, ki je vzporeden z njegovo osnovo. Višina prisekane piramide je segment, ki povezuje njeni osnovi. Višino pravilne piramide je mogoče najti, če sta znani dolžini diagonal obeh bazic in roba piramide. Naj bo diagonala večje osnovke d1, diagonala manjše osnovke pa d2, rob pa ima dolžino l. Da bi našli višino, lahko znižate višine iz dveh zgornjih nasprotnih točk diagrama na njegovo osnovo. Vidimo, da imamo dva pravokotna trikotnika, ostane nam le še, da poiščemo dolžini njunih krakov. Če želite to narediti, odštejte manjšo od večje diagonale in delite z 2. Tako bomo našli en krak: a = (d1-d2)/2. Po tem, po Pitagorovem izreku, moramo le najti drugi krak, ki je višina piramide.

Zdaj pa poglejmo celotno stvar v praksi. Pred nami je naloga. Prisekana piramida ima na dnu kvadrat, dolžina diagonale večje osnove je 10 cm, manjše pa 6 cm, rob pa 4 cm, najti morate višino. Najprej najdemo eno nogo: a = (10-6)/2 = 2 cm. Ena noga je enaka 2 cm, hipotenuza pa 4 cm. Izkazalo se je, da bo druga noga ali višina enaka 16- 4 = 12, to je h = √12 = približno 3,5 cm.

Glavna značilnost katerega koli geometrijski lik v prostoru je njegova prostornina. V tem članku bomo pogledali, kaj je piramida s trikotnikom na dnu, in pokazali bomo tudi, kako najti prostornino trikotne piramide - pravilne polne in prisekane.

Kaj je to - trikotna piramida?

Vsi so slišali za starodavne Egipčanske piramide, vendar so pravilne štirikotne, ne trikotne. Razložimo, kako dobiti trikotno piramido.

Vzemimo poljuben trikotnik in povežimo vsa njegova oglišča z eno samo točko, ki se nahaja zunaj ravnine tega trikotnika. Nastalo figuro bomo imenovali trikotna piramida. To je prikazano na spodnji sliki.

Kot lahko vidite, je zadevna figura sestavljena iz štirih trikotnikov, ki so na splošno različni. Vsak trikotnik je stranica piramide ali njena ploskev. To piramido pogosto imenujemo tetraeder, to je tetraedrična tridimenzionalna figura.

Piramida ima poleg stranic še robove (6 jih je) in oglišča (4).

s trikotno osnovo

Lik, ki ga dobimo s pomočjo poljubnega trikotnika in točke v prostoru, bo v splošnem primeru nepravilna poševna piramida. Zdaj si predstavljajte, da ima prvotni trikotnik enake stranice in da se točka v prostoru nahaja točno nad njegovim geometrijskim središčem na razdalji h od ravnine trikotnika. Piramida, zgrajena s temi začetnimi podatki, bo pravilna.

Očitno bo število robov, stranic in oglišč pravilne trikotne piramide enako kot pri piramidi, zgrajeni iz poljubnega trikotnika.

Vendar ima pravilna številka nekaj značilne značilnosti:

• njegova višina, potegnjena iz oglišča, bo natančno sekala osnovo v geometrijskem središču (točka presečišča median);
• stransko površino Takšno piramido tvorijo trije enaki trikotniki, ki so enakokraki ali enakostranični.

Pravilna trikotna piramida ni le čisto teoretični geometrijski objekt. Nekatere strukture v naravi imajo njegovo obliko, na primer diamantna kristalna mreža, kjer je atom ogljika s kovalentnimi vezmi povezan s štirimi enakimi atomi, ali molekula metana, kjer oglišča piramide tvorijo atomi vodika.

trikotna piramida

Prostornino absolutno katere koli piramide s poljubnim n-kotnikom na dnu lahko določite z naslednjim izrazom:

Tukaj simbol S o označuje površino baze, h je višina figure, ki je narisana na označeno osnovo z vrha piramide.

Ker je površina poljubnega trikotnika enaka polovici zmnožka dolžine njegove stranice a in apotem h a, ki je padel na to stran, lahko formulo za prostornino trikotne piramide zapišemo v naslednji obrazec:

V = 1/6 × a × h a × h

Za splošni tip Določitev višine ni lahka naloga. Za rešitev je najlažje uporabiti formulo za razdaljo med točko (ogliščem) in ravnino (trikotno osnovo), ki jo predstavlja enačba splošni pogled.

Za pravilnega ima specifičen videz. Površina osnove (enakostraničnega trikotnika) zanj je enaka:

Če ga zamenjamo v splošni izraz za V, dobimo:

V = √3/12 × a 2 × h

Poseben primer je situacija, ko se vse stranice tetraedra izkažejo za enake enakostranične trikotnike. V tem primeru je njegovo prostornino mogoče določiti le na podlagi poznavanja parametra njegovega roba a. Ustrezen izraz izgleda takole:

Prisekana piramida

če zgornji del, ki vsebuje vrh, odrezan od pravilne trikotne piramide, dobite prirezano figuro. Za razliko od prvotnega bo sestavljen iz dveh enakostraničnih trikotnih osnov in treh enakokrakih trapezov.

Spodnja fotografija prikazuje, kako izgleda običajna prisekana trikotna piramida iz papirja.

Če želite določiti prostornino prisekane trikotne piramide, morate poznati njene tri linearne značilnosti: vsako stran baz in višino figure, ki je enaka razdalji med zgornjo in spodnjo bazo. Ustrezna formula za prostornino je zapisana na naslednji način:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Tukaj je h višina figure, A in a sta dolžini strani velikega (spodnjega) oziroma malega (zgornjega) enakostraničnega trikotnika.

Rešitev problema

Da bodo informacije v članku bralcu jasnejše, bomo z nazornim primerom pokazali, kako uporabiti nekatere zapisane formule.

Naj bo prostornina trikotne piramide 15 cm 3 . Znano je, da je številka pravilna. Najti je treba apotem a b stranskega roba, če vemo, da je višina piramide 4 cm.

Ker sta prostornina in višina figure znani, lahko z ustrezno formulo izračunate dolžino stranice njene osnove. Imamo:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Izračunana dolžina apoteme figure se je izkazala za večjo od njene višine, kar velja za katero koli vrsto piramide.

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Cilji lekcije.

Izobraževalna: Izpeljite formulo za izračun prostornine piramide

Razvojni: razviti kognitivni interes študentov za akademske discipline, sposobnost uporabe svojega znanja v praksi.

Izobraževalni: gojiti pozornost, natančnost, razširiti obzorja učencev.

Oprema in gradivo: računalnik, zaslon, projektor, predstavitev "Obseg piramide."

1. Frontalna anketa. Diapozitivi 2, 3

Kaj imenujemo piramida, osnova piramide, rebra, višina, os, apotem. Katera piramida se imenuje pravilna, tetraeder, prisekana piramida?

Piramida je polieder, sestavljen iz ravnine mnogokotnik, točke, ki ne leži v ravnini tega mnogokotnika in vse segmente, ki povezuje to točko s točkami mnogokotnika.

Ta točka klical vrh piramide, ploski mnogokotnik pa je osnova piramide. Segmenti ki povezujejo vrh piramide z oglišči osnove imenujemo rebra . Višina piramide - pravokotno, spuščeno z vrha piramide na ravnino baze. Apotema - višina stranskega roba pravilna piramida. Piramida, ki na dnu je pravilen n-kotnik, A višinska osnova sovpada z središče baze klical pravilno n-kotna piramida. os pravilne piramide je premica, ki vsebuje njeno višino. Pravilna trikotna piramida se imenuje tetraeder. Če piramido seka ravnina, ki je vzporedna z ravnino baze, bo ta prerezala piramido, podobno dano. Preostali del se imenuje prisekana piramida.

2. Izpeljava formule za izračun prostornine piramide V=SH/3 Diapozitivi 4, 5, 6

1. Naj bo SABC trikotna piramida z ogliščem S in osnovo ABC.

2. Dodajmo to piramido trikotni prizmi z enako osnovo in višino.

3. Ta prizma je sestavljena iz treh piramid:

1) te piramide SABC.

2) piramide SCC 1 B 1.

3) in piramide SCBB 1.

4. Druga in tretja piramida imata enaki osnovici CC 1 B 1 in B 1 BC ter skupno višino, narisano iz oglišča S na ploskev paralelograma BB 1 C 1 C. Zato imata enaki prostornini.

5. Tudi prva in tretja piramida imata enaki osnovici SAB in BB 1 S ter iz oglišča C na ploskev paralelograma ABB 1 S narisani ujemajoči se višini. Zato imata tudi enaki prostornini.

To pomeni, da imajo vse tri piramide enako prostornino. Ker je vsota teh prostornin enaka prostornini prizme, sta prostornini piramid enaki SH/3.

Prostornina katere koli trikotne piramide je enaka tretjini zmnožka površine osnove in višine.

3. Utrjevanje nove snovi. Rešitev vaj.

1) Težava № 33 iz učbenika A.N. Pogorelova. Diapozitivi 7, 8, 9

Na strani baze? in stranski rob b, poiščite prostornino pravilne piramide, katere osnova leži:

1) trikotnik,

2) štirikotnik,

3) šesterokotnik.

V pravilni piramidi gre višina skozi središče kroga, ki je opisan okoli baze. Potem: (Dodatek)

4. Zgodovinski podatki o piramidah. Diapozitivi 15, 16, 17

Prvi od naših sodobnikov, ki je ugotovil številne nenavadne pojave, povezane s piramido, je bil francoski znanstvenik Antoine Bovy. Med raziskovanjem Keopsove piramide v 30. letih dvajsetega stoletja je odkril, da so trupla majhnih živali, ki so po naključju končale v kraljevi sobi, mumificirana. Razlog za to si je Bovey pojasnil z obliko piramide in, kot se je izkazalo, se ni zmotil. Njegova dela so bila osnova sodobnih raziskav, zaradi česar se je v zadnjih 20 letih pojavilo veliko knjig in publikacij, ki potrjujejo, da ima lahko energija piramid praktičen pomen.

Skrivnost piramid

Nekateri raziskovalci trdijo, da piramida vsebuje ogromno informacij o strukturi vesolja, sončnega sistema in človeka, zakodiranih v njeni geometrijski obliki, natančneje v obliki oktaedra, katerega polovico predstavlja piramida. Piramida z vrhom navzgor simbolizira življenje, z vrhom navzdol - smrt, drugi svet. Tako kot sestavine Davidove zvezde (Magen David), kjer trikotnik, usmerjen navzgor, simbolizira vzpon v Višji razum, Boga, trikotnik s konico navzdol pa simbolizira sestop duše na Zemljo, materialni obstoj...

Digitalna vrednost kode, s katero so šifrirane informacije o vesolju v piramidi, številka 365, ni bila izbrana naključno. Najprej je to letni življenjski cikel našega planeta. Tudi število 365 je sestavljeno iz treh števk 3, 6 in 5. Kaj pomenijo? Če v solarni sistem Sonce gre pod številko 1, Merkur - 2, Venera - 3, Zemlja - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uran - 8, Neptun - 9, Pluton - 10, potem je 3 Venera, 6 - Jupiter in 5 – Mars. Posledično je Zemlja s temi planeti povezana na poseben način. Če seštejemo števila 3, 6 in 5, dobimo 14, od tega je 1 Sonce, 4 pa Zemlja.

Število 14 ima na splošno svetovni pomen: zlasti na njem temelji struktura človeških rok, skupno število falange prstov vsakega od njih je prav tako 14. Ta koda je povezana tudi z ozvezdjem Veliki medved, ki vključuje naše Sonce in v katerem je bila nekoč druga zvezda, ki je uničila Phaethon, planet, ki se nahaja med Marsom in Jupitrom, po katerem pojavil se je v sončnem sistemu Pluton, značilnosti drugih planetov pa so se spremenile.

Mnogi ezoterični viri trdijo, da je človeštvo na Zemlji že štirikrat doživelo svetovno katastrofo. Tretja lemurijanska rasa je poznala Božansko znanost o vesolju, nato pa je bila ta skrivna doktrina prenesena samo posvečencem. Na začetku ciklov in polciklov zvezdnega leta so gradili piramide. Bili so blizu odkritja kodeksa življenja. Civilizaciji Atlantide je marsikaj uspelo, a jih je na neki stopnji znanja ustavila druga planetarna katastrofa, ki jo je spremljala menjava ras. Verjetno so nam posvečenci želeli sporočiti, da piramide vsebujejo znanje o kozmičnih zakonitostih ...

Posebne naprave v obliki piramid nevtralizirajo negativna elektromagnetna sevanja na človeku iz računalnika, televizorja, hladilnika in drugih električnih naprav.

Ena od knjig opisuje primer, ko je piramida, nameščena v potniškem prostoru avtomobila, zmanjšala porabo goriva in zmanjšala vsebnost CO v izpušnih plinih.

Semena vrtnih poljščin, shranjena v piramidah, so imela boljšo kalitev in donos. Publikacije so celo priporočale namakanje semen v piramidni vodi pred setvijo.

Ugotovili so, da piramide blagodejno vplivajo na okolje. Odstranite patogene cone v stanovanjih, pisarnah in poletnih kočah ter ustvarite pozitivno avro.

Nizozemski raziskovalec Paul Dickens v svoji knjigi navaja primere zdravilnih lastnosti piramid. Opazil je, da lahko z njihovo pomočjo lajšamo glavobole, bolečine v sklepih, ustavljamo krvavitve iz majhnih vreznin ter da energija piramid spodbuja presnovo in krepi imunski sistem.

Nekatere sodobne publikacije ugotavljajo, da zdravila, shranjena v piramidi, skrajšajo potek zdravljenja, obloga, nasičena s pozitivno energijo, pa pospešuje celjenje ran.

Kozmetične kreme in mazila izboljšajo njihov učinek.

Pijače, tudi alkoholne, izboljšajo svoj okus, voda, ki jo vsebuje 40% vodka, pa postane zdravilna. Res je, da boste s pozitivno energijo napolnili standardno 0,5-litrsko steklenico, boste potrebovali visoko piramido.

V nekem časopisnem članku piše, da če je nakit shranjen pod piramido, se samoočisti in pridobi poseben sijaj, dragi in poldragi kamni pa kopičijo pozitivno bioenergijo in jo nato postopoma sproščajo.

Po mnenju ameriških znanstvenikov živilski izdelki, kot so žita, moka, sol, sladkor, kava, čaj, potem ko so v piramidi, izboljšajo svoj okus, poceni cigarete pa postanejo podobne svojim plemenitim bratom.

Za mnoge to morda ni pomembno, toda v majhni piramidi se stara britvica sama nabrusi, v veliki piramidi pa voda ne zmrzne pri -40 stopinjah Celzija.

Po mnenju večine raziskovalcev je vse to dokaz obstoja piramidne energije.

V 5000 letih svojega obstoja so piramide postale nekakšen simbol, ki pooseblja človekovo željo po doseganju vrha znanja.

5. Povzetek lekcije.

Bibliografija.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Geometrija 10-11, založba Prosveshchenie.

3) Enciklopedija "Drevo znanja" Marshall K.