समीकरण ऑनलाइन। बीजगणितीय व्यंजकों को सरल कैसे करें

एक प्रकार के कुछ बीजगणितीय उदाहरण स्कूली बच्चों को डराने में सक्षम हैं। लंबे भाव न केवल डराने वाले होते हैं, बल्कि गणना करना भी बहुत कठिन होता है। यह तुरंत समझने की कोशिश कर रहा है कि आगे क्या होगा और क्या होगा, ताकि लंबे समय तक भ्रमित न हों। यही कारण है कि गणितज्ञ हमेशा "भयानक" कार्य को यथासंभव सरल बनाने का प्रयास करते हैं और उसके बाद ही इसे हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। अजीब तरह से पर्याप्त है, इस तरह की चाल प्रक्रिया को बहुत तेज करती है।

सरलीकरण बीजगणित में मूलभूत बिंदुओं में से एक है। यदि सरल कार्यों में इसके बिना करना अभी भी संभव है, तो उदाहरणों की गणना करना अधिक कठिन "बहुत कठिन" हो सकता है। यहीं पर ये कौशल काम आते हैं! इसके अलावा, जटिल गणितीय ज्ञान की आवश्यकता नहीं है: यह केवल याद रखने और सीखने के लिए पर्याप्त होगा कि कुछ बुनियादी तकनीकों और सूत्रों को कैसे व्यवहार में लाया जाए।

गणनाओं की जटिलता के बावजूद, किसी भी अभिव्यक्ति को हल करते समय यह महत्वपूर्ण है संख्याओं के साथ संचालन के क्रम का पालन करें:

1. कोष्ठक;
2. घातांक;
3. गुणन;
4. विभाजन;
5. जोड़ना;
6. घटाव।

अंतिम दो बिंदुओं को सुरक्षित रूप से स्वैप किया जा सकता है और यह किसी भी तरह से परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा। लेकिन दो पड़ोसी संख्याओं को जोड़ना, जब उनमें से एक के आगे गुणन चिह्न हो, बिल्कुल असंभव है! उत्तर, यदि कोई हो, गलत है। इसलिए, आपको अनुक्रम याद रखने की आवश्यकता है।

ऐसे का प्रयोग

इस तरह के तत्वों में समान क्रम या समान डिग्री के चर के साथ संख्याएँ शामिल हैं। तथाकथित मुक्त सदस्य भी हैं जिनके पास अज्ञात का पत्र पदनाम नहीं है।

लब्बोलुआब यह है कि कोष्ठकों के अभाव में आप जैसे जोड़ या घटाकर व्यंजक को सरल बना सकते हैं.

कुछ निदर्शी उदाहरण:

• 8x 2 और 3x 2 - दोनों संख्याओं में समान दूसरा क्रम चर है, इसलिए वे समान हैं और जब जोड़ा जाता है, तो उन्हें (8+3)x 2 =11x 2 में सरलीकृत किया जाता है, जबकि घटाए जाने पर यह (8-3) निकलता है। एक्स 2 =5x 2;
• 4x 3 और 6x - और यहाँ "x" की एक अलग डिग्री है;
• 2y 7 और 33x 7 - अलग-अलग चर होते हैं, इसलिए, पिछले मामले की तरह, वे समान नहीं होते हैं।

एक नंबर फैक्टरिंग

यह छोटी गणितीय चाल, यदि आप इसे सही तरीके से उपयोग करना सीखते हैं, तो आपको भविष्य में एक से अधिक बार एक कठिन समस्या से निपटने में मदद मिलेगी। और यह समझना आसान है कि "सिस्टम" कैसे काम करता है: एक अपघटन कई तत्वों का एक उत्पाद है, जिसकी गणना मूल मूल्य देती है. इस प्रकार, 20 को 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, या किसी अन्य तरीके से दर्शाया जा सकता है।

एक नोट पर: गुणक हमेशा भाजक के समान होते हैं। तो आपको संख्याओं के बीच विस्तार के लिए एक कामकाजी "जोड़ी" देखने की जरूरत है, जिसके द्वारा मूल शेष के बिना विभाज्य है।

आप इस तरह के ऑपरेशन को मुक्त सदस्यों और एक चर से जुड़े अंकों के साथ कर सकते हैं। मुख्य बात गणना के दौरान उत्तरार्द्ध को खोना नहीं है - यहां तक ​​\u200b\u200bकि अपघटन के बाद, अज्ञात नहीं ले सकता और "कहीं नहीं जाता।" यह कारकों में से एक पर रहता है:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4।

अभाज्य संख्याएँ जिन्हें केवल स्वयं से विभाजित किया जा सकता है या 1 कभी कारक नहीं है - इसका कोई मतलब नहीं है।.

बुनियादी सरलीकरण के तरीके

आंख को पकड़ने वाली पहली चीज:

• कोष्ठक की उपस्थिति;
• अंश;
• जड़ें।

बीजगणितीय उदाहरण में स्कूल के पाठ्यक्रमअक्सर इस धारणा के साथ संकलित होते हैं कि उन्हें खूबसूरती से सरल बनाया जा सकता है।

ब्रैकेट गणना

कोष्ठक के सामने के चिन्ह पर ध्यान दें!गुणन या विभाजन प्रत्येक तत्व के अंदर लागू होता है, और ऋण - मौजूदा "+" या "-" संकेतों को उलट देता है।

कोष्ठक की गणना नियमों के अनुसार या संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार की जाती है, जिसके बाद समान दिए जाते हैं।

अंश में कमी

अंश कम करेंआसान भी है। वे स्वयं कभी-कभी "स्वेच्छा से भाग जाते हैं", ऐसे सदस्यों को लाने के साथ संचालन करने के लायक है। लेकिन आप इससे पहले भी उदाहरण को सरल बना सकते हैं: अंश और भाजक पर ध्यान दें. उनमें अक्सर स्पष्ट या छिपे हुए तत्व होते हैं जिन्हें पारस्परिक रूप से कम किया जा सकता है। सच है, अगर पहले मामले में आपको केवल अनावश्यक को हटाने की जरूरत है, तो दूसरे में आपको सरलीकरण के लिए अभिव्यक्ति का हिस्सा लाने के बारे में सोचना होगा। इस्तेमाल की गई विधियाँ:

• सबसे बड़ा खोजना और कोष्ठक करना सामान्य विभाजकअंश और भाजक पर;
• प्रत्येक शीर्ष तत्व को भाजक से विभाजित करना।

जब कोई व्यंजक या उसका भाग जड़ के नीचे हो, प्राथमिक सरलीकरण समस्या लगभग वैसी ही है जैसी भिन्नों के मामले में होती है। गणना के साथ हस्तक्षेप करने वाले संकेत को कम करने के लिए, यदि यह संभव नहीं है, तो इसे पूरी तरह से छुटकारा पाने के तरीकों की तलाश करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, विनीत √(3) या √(7) के लिए।

सही तरीकारेडिकल एक्सप्रेशन को सरल करें - इसे फैक्टर करने की कोशिश करें, जिनमें से कुछ साइन के बाहर हैं। एक उदाहरण उदाहरण: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)।

अन्य छोटी तरकीबें और बारीकियाँ:

• इस सरलीकरण ऑपरेशन को भिन्नों के साथ किया जा सकता है, इसे पूरे और अलग-अलग अंश या भाजक के रूप में संकेत से बाहर ले जाया जा सकता है;
• जड़ से परे योग या अंतर का एक हिस्सा विघटित करना और निकालना असंभव है;
• चर के साथ काम करते समय, इसकी डिग्री को ध्यान में रखना सुनिश्चित करें, प्रतिपादन की संभावना के लिए यह रूट के बराबर या एकाधिक होना चाहिए: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• कभी-कभी इसे भिन्नात्मक घात: √ (y 3)=y 3/2 तक बढ़ा कर मूल चर से छुटकारा पाने की अनुमति दी जाती है।

शक्ति अभिव्यक्ति सरलीकरण

यदि माइनस या प्लस के लिए सरल गणनाओं के मामले में, समान उदाहरण लाकर उदाहरणों को सरल बनाया जाता है, तो चरों को गुणा या विभाजित करते समय क्या होता है बदलती डिग्री? दो मुख्य बिंदुओं को याद करके उन्हें आसानी से सरल बनाया जा सकता है:

1. यदि चरों के बीच गुणन चिह्न है, तो घातांक जोड़े जाते हैं।
2. जब उन्हें एक-दूसरे से विभाजित किया जाता है, तो समान भाजक अंश की डिग्री से घटाया जाता है।

इस तरह के सरलीकरण की एकमात्र शर्त यह है कि दोनों शब्दों का आधार समान हो। स्पष्टता के उदाहरण:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

हम ध्यान दें कि संचालन के साथ संख्यात्मक मूल्य, चर के सामने खड़ा होना, सामान्य गणितीय नियमों के अनुसार होता है। और यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि अभिव्यक्ति के शक्ति तत्व "काम" समान तरीके से करते हैं:

• किसी सदस्य को किसी शक्ति तक बढ़ाने का अर्थ है कि उसे एक निश्चित संख्या में गुणा करना, अर्थात x 2 \u003d x × x;
• विभाजन समान है: यदि आप अंश और भाजक की डिग्री का विस्तार करते हैं, तो कुछ चर कम हो जाएंगे, जबकि बाकी "इकट्ठे" होंगे, जो घटाव के बराबर है।

जैसा कि किसी भी व्यवसाय में होता है, बीजगणितीय व्यंजकों को सरल करते समय, न केवल मूल बातों का ज्ञान आवश्यक होता है, बल्कि अभ्यास भी होता है। केवल कुछ पाठों के बाद, जो उदाहरण एक बार जटिल प्रतीत होते थे, उन्हें बिना किसी कठिनाई के कम कर दिया जाएगा, छोटे और आसानी से हल किए जाने वाले उदाहरणों में बदल दिया जाएगा।

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि भावों को कैसे सरल बनाया जाता है।

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अंश कैलकुलेटर केवल 2 साधारण अंशों के साथ संचालन कर सकता है। वे या तो सही हो सकते हैं (अंश भाजक से छोटा है) या गलत (अंश भाजक से बड़ा है)। अंश और हर में संख्या ऋणात्मक और 999 से अधिक नहीं हो सकती।
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यदि आपको ऋणात्मक अंशों को हल करने की आवश्यकता है, तो केवल ऋण गुणों का उपयोग करें। नकारात्मक अंशों को गुणा और विभाजित करते समय, माइनस बाय माइनस प्लस देता है। यही है, नकारात्मक अंशों का उत्पाद और विभाजन समान सकारात्मक अंशों के उत्पाद और विभाजन के बराबर है। यदि एक अंश को गुणा या विभाजित करने पर ऋणात्मक होता है, तो केवल ऋण को हटा दें, और फिर इसे उत्तर में जोड़ दें। ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम वही होगा जो आपने समान धनात्मक भिन्नों को जोड़ने पर प्राप्त किया था। यदि आप एक ऋणात्मक भिन्न जोड़ते हैं, तो यह उसी धनात्मक अंश को घटाने के समान है।
नकारात्मक अंशों को घटाते समय, परिणाम वही होगा जैसे कि उन्हें उलट कर सकारात्मक बना दिया गया हो। यानी माइनस बाय माइनस इन इस मामले मेंएक प्लस देता है, और योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है। भिन्न को घटाते समय हम समान नियमों का उपयोग करते हैं, जिनमें से एक ऋणात्मक है।

समाधान के लिए मिश्रित अंश(अंशों का जिसमें पूरा हिस्सा) बस पूरे भाग को भिन्न में बदल दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग को भाजक से गुणा करें और अंश में जोड़ें।

यदि आपको 3 या अधिक भिन्नों को ऑनलाइन हल करने की आवश्यकता है, तो आपको उन्हें एक-एक करके हल करना चाहिए। सबसे पहले, पहले 2 अंशों को गिनें, फिर अगले अंश को प्राप्त उत्तर के साथ हल करें, और इसी तरह। बारी-बारी से 2 भिन्नों के लिए संक्रियाएँ करें, और अंत में आपको सही उत्तर मिल जाएगा।

कोई भी भाषा समान जानकारी व्यक्त कर सकती है अलग शब्दऔर टर्नओवर। गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है। लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीकों से समान रूप से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल होती है। हम इस पाठ में भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग संवाद करते हैं विभिन्न भाषाएं. हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" जोड़ी है। एक ही सूचना को विभिन्न भाषाओं में रिपोर्ट किया जा सकता है। लेकिन, इसके अलावा एक भाषा में इसका उच्चारण अलग-अलग तरीके से किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पीटर वास्या के मित्र हैं", "वास्या पेट्या के मित्र हैं", "पीटर और वास्या मित्र हैं"। अलग-अलग कहा, लेकिन एक ही। इनमें से किसी भी वाक्यांश से, हम समझेंगे कि दांव पर क्या है।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वासिया दोस्त हैं।" हम समझते हैं क्या प्रश्न में. हालाँकि, हमें यह पसंद नहीं है कि यह वाक्यांश कैसा लगता है। क्या हम इसे सरल नहीं कर सकते, वही कह सकते हैं, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के" ... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियां नहीं हैं। हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "दोस्तों" शब्द को "दोस्तों" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" नतीजतन, पहले, लंबे, भद्दे वाक्यांश को एक समान कथन के साथ बदल दिया गया था जो कहना आसान है और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बनाया है। सरल करने का अर्थ है आसान कहना, लेकिन हारना नहीं, अर्थ को विकृत नहीं करना।

गणितीय भाषा में भी ऐसा ही होता है। एक ही बात को अलग तरह से कहा जा सकता है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने का क्या अर्थ है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समतुल्य अभिव्यक्तियाँ हैं, अर्थात, जिनका अर्थ समान है। और इस सारी भीड़ से, हमें अपनी राय में, या हमारे आगे के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना चाहिए।

उदाहरण के लिए, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा।

यह पहले दो के बराबर भी होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपने भावों को सरल बना दिया है और सबसे छोटा समतुल्य व्यंजक पाया है।

के लिए संख्यात्मक भावआपको हमेशा सभी क्रियाएं करने की आवश्यकता होती है और समान अभिव्यक्ति को एक संख्या के रूप में प्राप्त करना होता है।

शाब्दिक अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें . जाहिर है, यह आसान होगा।

सरल बनाना शाब्दिक भावआपको हर संभव कदम उठाने चाहिए।

क्या किसी व्यंजक को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी एक समतुल्य लेकिन लंबा अंकन हमारे लिए अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: संख्या में से संख्या घटाइए।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समतुल्य अंकन: द्वारा दर्शाया गया है, तो गणना तात्कालिक होगी:।

यानी आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, बहुत बार हमें एक ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो "अभिव्यक्ति को सरल बनाने" जैसा लगता है।

अभिव्यक्ति को सरल करें:।

समाधान

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें: .

2) उत्पादों की गणना करें: .

स्पष्ट रूप से, अंतिम व्यंजक का प्रारंभिक व्यंजक की तुलना में सरल रूप है। हमने इसका सरलीकरण किया है।

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, इसे समतुल्य (बराबर) से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

समतुल्य अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए, आपको चाहिए:

1) सभी संभव क्रियाएं करें,

2) गणनाओं को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. योग का क्रमविनिमेय गुण: पदों की पुनर्व्यवस्था से योग नहीं बदलता है।

2. योग का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी संख्या का योग जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या में से योग घटाने का गुणः किसी संख्या में से योग घटाने के लिए आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणा और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनफल कारकों के क्रमचय से नहीं बदलता है।

2. साहचर्य गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले गुणक से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी गुणनफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरण गुण: किसी संख्या को योग से गुणा करने के लिए, आपको इसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

समाधान

1) कल्पना कीजिए कि कैसे

2) आइए योग के रूप में पहले कारक का प्रतिनिधित्व करें बिट शब्दऔर गुणा करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे करें और कैसे करें:

4) पहले कारक को समतुल्य राशि से बदलें:

वितरण नियम का उपयोग विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

समाधान

1) सुविधा के लिए, आप वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं, बस इसे विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निकालते हैं

रसोई और दालान में लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - दालान -। तीन प्रकार के लिनोलियम हैं: के लिए, और के लिए रूबल। प्रत्येक कितना होगा तीन प्रकारलिनोलियम? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या की स्थिति के लिए चित्रण

समाधान

विधि 1। आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई में लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में जोड़ें और परिणामी कार्यों को जोड़ें।

बीजगणित में जिन विभिन्न भावों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदीय योगों का एक महत्वपूर्ण स्थान है। यहाँ ऐसी अभिव्यक्तियों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। मोनोमियल को बहुपद भी कहा जाता है, एक मोनोमियल को एक बहुपद के रूप में माना जाता है जिसमें एक सदस्य होता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेता है। इसलिए, द्विपद \(12a^2b - 7b \) की तीसरी घात है, और त्रिपद \(2b^2 -7b + 6 \) की दूसरी घात है।

आमतौर पर, एक चर वाले बहुपदों के मानक रूप के पदों को उसके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी एक बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करना। चूँकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि + चिह्न कोष्ठक के पहले लगाया जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को उन्हीं चिह्नों से लिखा जाता है।

यदि कोष्ठकों के सामने "-" चिन्ह लगा दिया जाए तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों से लिखा जाता है।

एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)।

गुणन के वितरणात्मक गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में रूपांतरित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एक एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

योग से गुणा करने के लिए हमने बार-बार इस नियम का प्रयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के उत्पाद का परिवर्तन (सरलीकरण)।

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल समान रूप से एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का प्रयोग करें।

बहुपद को बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे पद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय रूपांतरों में कुछ व्यंजकों को दूसरों की तुलना में अधिक बार निपटाया जाना चाहिए। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा है कि इन व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से केवल योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग का वर्ग है ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, अक्षर a और b के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

अभिव्यक्तियाँ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((ए + बी)^2 = (ए + बी)(ए + बी) = ए^2 + एबी + बीए + बी^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिका बिना मध्यवर्ती गणनाओं के याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती है। लघु मौखिक योग इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग योग के बराबर हैवर्ग और दोहरा उत्पाद।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणनफल को दोगुना किए बिना वर्गों का योग होता है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर होता है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों को अपने बाएं हिस्से को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - दाएं हिस्से को बाएं से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित भावों को देखें और समझें कि चर a और b को उनमें क्या बदला गया है। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

गणित-कैलकुलेटर-ऑनलाइन v.1.0

कैलक्यूलेटर प्रदर्शन करता है निम्नलिखित ऑपरेशन: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, दशमलव के साथ कार्य करना, मूल निकालना, घात बढ़ाना, प्रतिशत की गणना करना, और अन्य संक्रियाएँ।

समाधान:

गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चाबी	पद	व्याख्या
5	संख्या 0-9	अरबी अंक। प्राकृतिक पूर्णांक दर्ज करें, शून्य। ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त करने के लिए, +/- कुँजी दबाएँ
.	अल्पविराम)	एक दशमलव विभाजक। यदि डॉट (अल्पविराम) से पहले कोई अंक नहीं है, तो कैलकुलेटर स्वचालित रूप से डॉट से पहले शून्य को स्थानापन्न कर देगा। उदाहरण के लिए: .5 - 0.5 लिखा जाएगा
+	पलस हसताक्षर	संख्याओं का योग (पूर्ण, दशमलव भिन्न)
-	ऋण चिह्न	संख्याओं का घटाव (पूर्ण, दशमलव भिन्न)
÷	विभाजन चिह्न	संख्याओं का विभाजन (पूर्ण, दशमलव भिन्न)
एक्स	गुणन चिह्न	संख्याओं का गुणन (पूर्णांक, दशमलव)
√	जड़	एक संख्या से जड़ निकालना। जब आप "रूट" बटन को फिर से दबाते हैं, तो परिणाम से रूट की गणना की जाती है। उदाहरण के लिए: 16 का वर्गमूल = 4; 4 का वर्गमूल = 2
x2	बराबरी	किसी संख्या का वर्ग करना। जब आप "वर्गीकरण" बटन को फिर से दबाते हैं, तो परिणाम वर्गाकार हो जाता है। उदाहरण के लिए: वर्ग 2 = 4; वर्ग 4 = 16
1/x	अंश	दशमलव के लिए आउटपुट। अंश 1 में, भाजक में इनपुट संख्या
%	प्रतिशत	किसी संख्या का प्रतिशत प्राप्त करें। काम करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: वह संख्या जिससे प्रतिशत की गणना की जाएगी, चिन्ह (प्लस, माइनस, डिवाइड, गुणा), संख्यात्मक रूप में कितने प्रतिशत, "%" बटन
(	खुला कोष्ठक	मूल्यांकन प्राथमिकता निर्धारित करने के लिए एक खुला कोष्ठक। एक बंद कोष्ठक आवश्यक है। उदाहरण: (2+3)*2=10
)	बंद कोष्ठक	मूल्यांकन प्राथमिकता निर्धारित करने के लिए एक बंद कोष्ठक। अनिवार्य खुला कोष्ठक
±	धन ऋण	साइन को विपरीत में बदल देता है
=	के बराबर होती है	समाधान का परिणाम प्रदर्शित करता है। इसके अलावा, मध्यवर्ती गणना और परिणाम "समाधान" क्षेत्र में कैलकुलेटर के ऊपर प्रदर्शित होते हैं।
←	एक चरित्र को हटाना	अंतिम वर्ण हटाता है
साथ	रीसेट	बटन को रीसेट करें। कैलकुलेटर को पूरी तरह से "0" पर रीसेट करता है

उदाहरण के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर का एल्गोरिथ्म

जोड़ना।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का योग ( 5 + 7 = 12 )

संपूर्ण प्राकृतिक और का जोड़ नकारात्मक संख्या { 5 + (-2) = 3 }

दशमलव जोड़ आंशिक संख्या { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

घटाव।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का घटाव ( 7 - 5 = 2 )

पूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का घटाव (5 - (-2) = 7)

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

गुणन।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का गुणनफल ( 3 * 7 = 21 )

संपूर्ण प्राकृतिक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल ( 5 * (-3) = -15 )

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का गुणनफल ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

विभाजन।

पूर्ण प्राकृत संख्याओं का भाग ( 27 / 3 = 9 )

पूर्ण प्राकृत और ऋणात्मक संख्याओं का भाग ( 15 / (-3) = -5 )

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का भाग ( 6.2 / 2 = 3.1 )

एक संख्या से जड़ निकालना।

पूर्णांक का मूल निकालना ( root(9) = 3 )

से जड़ निकालना दशमलव भाग(रूट(2.5) = 1.58)

संख्याओं के योग से मूल निकालना ( root(56 + 25) = 9 )

संख्याओं में अंतर का मूल निकालना (रूट (32 - 7) = 5)

किसी संख्या का वर्ग करना।

एक पूर्णांक का वर्ग करना ( (3) 2 = 9 )

वर्ग दशमलव ( (2.2) 2 = 4.84 )

दशमलव अंशों में परिवर्तित करें।

किसी संख्या के प्रतिशत की गणना करना

230 को 15% बढ़ाएँ ( 230 + 230 * 0.15 = 264.5 )

संख्या 510 को 35% घटाएं (510 - 510 * 0.35 = 331.5)

संख्या 140 का 18% है (140 * 0.18 = 25.2)