Pravila za množenje ulomkov z različnimi imenovalci. Ulomek. Množenje navadnih, decimalnih, mešanih ulomkov

V srednjih in srednjih šolah so učenci obravnavali temo »Ulomki«. Vendar je ta koncept veliko širši od tistega, kar je podano v procesu učenja. Danes se koncept ulomka srečuje precej pogosto in vsi ne morejo izračunati katerega koli izraza, na primer množenja ulomkov.

Kaj je ulomek?

Zgodovinsko gledano so ulomna števila nastala zaradi potrebe po merjenju. Kot kaže praksa, pogosto obstajajo primeri določanja dolžine segmenta in prostornine pravokotnega pravokotnika.

Učenci se najprej seznanijo s pojmom delnice. Na primer, če lubenico razdelite na 8 delov, bo vsaka oseba dobila eno osmino lubenice. Ta del osmice se imenuje delež.

Delež, ki je enak ½ katere koli vrednosti, se imenuje polovica; ⅓ - tretjina; ¼ - četrtina. Zapisi v obliki 5/8, 4/5, 2/4 se imenujejo navadni ulomki. Navadni ulomek je razdeljen na števec in imenovalec. Med njima je ulomkov trak ali ulomkov trak. Ulomljeno črto lahko narišemo kot vodoravno ali poševno črto. IN v tem primeru predstavlja znak delitve.

Imenovalec predstavlja, na koliko enakih delov je količina ali predmet razdeljen; števec pa je, koliko enakih delnic se vzame. Števec je zapisan nad ulomkovo črto, imenovalec pa pod njo.

Najbolj priročno je prikazati navadne ulomke na koordinatnem žarku. Če je segment enote razdeljen na 4 enake dele, označite vsak del latinska črka, potem je lahko rezultat odličen slikovno gradivo. Torej točka A prikazuje delež, ki je enak 1/4 celotnega segmenta enote, točka B pa 2/8 danega segmenta.

Vrste ulomkov

Ulomki so lahko navadna, decimalna in mešana števila. Poleg tega lahko ulomke razdelimo na prave in neprave. Ta razvrstitev je primernejša za navadne ulomke.

Pravi ulomek je število, katerega števec je manjši od imenovalca. V skladu s tem je nepravilni ulomek število, katerega števec je večji od imenovalca. Druga vrsta je običajno zapisana kot mešano število. Ta izraz je sestavljen iz celega in ulomka. Na primer, 1½. 1 - cel del, ½ - delno. Če pa morate z izrazom izvesti nekaj manipulacij (deljenje ali množenje ulomkov, njihovo zmanjševanje ali pretvorbo), se mešano število pretvori v nepravilen ulomek.

Pravilen ulomek je vedno manjši od ena, nepravilen pa je vedno večji ali enak 1.

Kar zadeva ta izraz, mislimo na zapis, v katerem je predstavljeno poljubno število, katerega imenovalec izraza v ulomku je mogoče izraziti z eno z več ničlami. Če je ulomek pravilen, bo celoštevilski del v decimalnem zapisu enak nič.

Če želite zapisati decimalni ulomek, morate najprej napisati cel del, ga ločiti od ulomka z vejico in nato zapisati ulomkov izraz. Ne smemo pozabiti, da mora števec za decimalno vejico vsebovati enako število digitalnih znakov, kot je ničel v imenovalcu.

Primer. Izrazite ulomek 7 21 / 1000 v decimalnem zapisu.

Algoritem za pretvorbo nepravilnega ulomka v mešano število in obratno

V odgovoru na nalogo ni pravilno zapisati nepravilnega ulomka, zato ga je treba pretvoriti v mešano število:

• delite števec z obstoječim imenovalcem;
• V konkreten primer nepopolni količnik – celota;
• in ostanek je števec ulomka, imenovalec pa ostane nespremenjen.

Primer. Pretvori nepravilni ulomek v mešano število: 47/5.

rešitev. 47: 5. Delni količnik je 9, ostanek = 2. Torej, 47/5 = 9 2/5.

Včasih morate mešano število predstaviti kot nepravilen ulomek. Nato morate uporabiti naslednji algoritem:

• celoštevilski del se pomnoži z imenovalcem ulomljenega izraza;
• dobljeni produkt prištejemo k števcu;
• rezultat zapišemo v števec, imenovalec ostane nespremenjen.

Primer. Število predstavite v mešani obliki kot nepravilni ulomek: 9 8 / 10.

rešitev. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je števec.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje ulomkov

Na navadnih ulomkih je mogoče izvajati različne algebraične operacije. Če želite pomnožiti dve števili, morate pomnožiti števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Poleg tega množenje ulomkov z različne imenovalce nič drugače kot delo ulomkov z enakimi imenovalci.

Zgodi se, da morate po ugotovitvi rezultata zmanjšati ulomek. Nujno je treba dobljeni izraz čim bolj poenostaviti. Seveda ne moremo reči, da je nepravilen ulomek v odgovoru napaka, vendar je tudi temu težko reči pravilen odgovor.

Primer. Poiščite produkt dveh navadnih ulomkov: ½ in 20/18.

Kot je razvidno iz primera, po iskanju produkta dobimo reducibilni delni zapis. Tako števec kot imenovalec sta v tem primeru deljena s 4, rezultat pa je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih ulomkov

Zmnožek decimalnih ulomkov se po principu precej razlikuje od zmnožka navadnih ulomkov. Torej je množenje ulomkov naslednje:

• dva decimalna ulomka morata biti zapisana drug pod drugim tako, da sta skrajni desni števki ena pod drugo;
• zapisana števila morate množiti kljub vejicam, torej kot naravna števila;
• prešteti število števk za decimalno vejico v vsakem številu;
• v rezultatu, dobljenem po množenju, morate od desne prešteti toliko digitalnih simbolov, kot jih vsebuje vsota v obeh faktorjih za decimalno vejico, in postaviti ločilni znak;
• če je v zmnožku manj števil, potem morate pred njimi napisati toliko ničel, da pokrijete to število, postavite vejico in prištejte cel del, ki je enak nič.

Primer. Izračunajte zmnožek dveh decimalnih ulomkov: 2,25 in 3,6.

rešitev.

Množenje mešanih ulomkov

Za izračun produkta dveh mešanih ulomkov morate uporabiti pravilo za množenje ulomkov:

• pretvarjati mešana števila v neprave ulomke;
• poiščite zmnožek števcev;
• poiščite zmnožek imenovalcev;
• zapišite rezultat;
• čim bolj poenostavite izraz.

Primer. Poiščite zmnožek 4½ in 6 2/5.

Množenje števila z ulomkom (ulomki s številom)

Poleg iskanja produkta dveh ulomkov in mešanih števil obstajajo naloge, kjer morate pomnožiti z ulomkom.

Torej, najti izdelek decimalno in naravno število, potrebujete:

• pod ulomek zapiši število tako, da so skrajne desne števke druga nad drugo;
• poišči izdelek kljub vejici;
• v dobljenem rezultatu ločite celo število od ulomka z vejico, pri čemer odštejte od desne število števk, ki se nahajajo za decimalno vejico v ulomku.

Če želite navadni ulomek pomnožiti s številom, morate najti produkt števca in naravnega faktorja. Če odgovor ustvari ulomek, ki ga je mogoče zmanjšati, ga je treba pretvoriti.

Primer. Izračunajte zmnožek 5/8 in 12.

rešitev. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kot lahko vidite iz prejšnjega primera, je bilo treba zmanjšati dobljeni rezultat in pretvoriti napačen ulomek v mešano število.

Množenje ulomkov zadeva tudi iskanje produkta števila v mešani obliki in naravnega faktorja. Če želite pomnožiti ti dve števili, morate celoten del mešanega faktorja pomnožiti s številom, števec pomnožiti z isto vrednostjo, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Če je potrebno, morate dobljeni rezultat čim bolj poenostaviti.

Primer. Poiščite zmnožek 9 5 / 6 in 9.

rešitev. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje s faktorji 10, 100, 1000 ali 0,1; 0,01; 0,001

Iz prejšnjega odstavka izhaja naslednje pravilo. Če želite decimalni ulomek pomnožiti z 10, 100, 1000, 10000 itd., morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko števk, kolikor je ničel v faktorju za enico.

Primer 1. Poiščite zmnožek 0,065 in 1000.

rešitev. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primer 2. Poiščite zmnožek 3,9 in 1000.

rešitev. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Če morate pomnožiti naravno število in 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., premaknite vejico v nastalem zmnožku v levo za toliko števk, kolikor je ničel pred ena. Po potrebi se pred naravno število zapiše zadostno število ničel.

Primer 1. Poiščite zmnožek 56 in 0,01.

rešitev. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primer 2. Poiščite zmnožek 4 ​​in 0,001.

rešitev. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Torej iskanje produkta različnih ulomkov ne bi smelo povzročati težav, razen morda izračuna rezultata; v tem primeru brez kalkulatorja enostavno ne gre.

§ 87. Seštevanje ulomkov.

Seštevanje ulomkov je veliko podobno seštevanju celih števil. Seštevanje ulomkov je dejanje, ki sestoji iz dejstva, da se več danih števil (izrazov) združi v eno številko (vsoto), ki vsebuje vse enote in ulomke enot izrazov.

Zaporedoma bomo obravnavali tri primere:

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Seštevanje mešanih števil.

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Razmislite o primeru: 1/5 + 2/5.

Vzemimo segment AB (slika 17), ga vzemimo kot eno in delimo s 5 enake dele, potem bo del AC tega segmenta enak 1/5 segmenta AB, del istega segmenta CD pa bo enak 2/5 AB.

Iz risbe je razvidno, da če vzamemo segment AD, bo ta enak 3/5 AB; vendar je segment AD natanko vsota segmentov AC in CD. Torej lahko zapišemo:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ob upoštevanju teh členov in dobljene vsote vidimo, da smo števec vsote dobili s seštevanjem števcev členov, imenovalec pa je ostal nespremenjen.

Iz tega dobimo naslednje pravilo: Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti in pustiti enak imenovalec.

Poglejmo primer:

2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Seštejmo ulomke: 3 / 4 + 3 / 8 Najprej jih je treba zreducirati na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesnega člena 6/8 + 3/8 ni bilo mogoče napisati; tukaj smo zapisali zaradi jasnosti.

Če želite torej sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec, sešteti njihove števce in se podpisati skupni imenovalec.

Oglejmo si primer (nad ustreznimi ulomki bomo zapisali dodatne faktorje):

3. Seštevanje mešanih števil.

Seštejmo številki: 2 3/8 + 3 5/6.

Najprej spravimo ulomke naših števil na skupni imenovalec in jih ponovno zapišimo:

Sedaj zaporedno seštevamo cela in ulomka:

§ 88. Odštevanje ulomkov.

Odštevanje ulomkov je definirano na enak način kot odštevanje celih števil. To je dejanje, s pomočjo katerega se glede na vsoto dveh členov in enega od njiju najde drug člen. Oglejmo si tri primere zaporedoma:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Odštevanje mešanih števil.

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Poglejmo primer:

13 / 15 - 4 / 15

Vzemimo segment AB (slika 18), ga vzemimo kot enoto in ga razdelimo na 15 enakih delov; potem bo del AC tega segmenta predstavljal 1/15 AB, del AD istega segmenta pa bo ustrezal 13/15 AB. Odložimo še en segment ED, ki je enak 4/15 AB.

Od 13/15 moramo odšteti ulomek 4/15. Na risbi to pomeni, da je treba segment ED odšteti od segmenta AD. Posledično bo ostal segment AE, ki je 9/15 segmenta AB. Torej lahko zapišemo:

Primer, ki smo ga naredili, kaže, da smo števec razlike dobili z odštevanjem števcev, imenovalec pa je ostal enak.

Zato morate za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci odšteti števec odštevanca od števca manjšega in pustiti isti imenovalec.

2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer. 3/4 - 5/8

Najprej zmanjšajmo te ulomke na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesni 6 / 8 - 5 / 8 je zapisan tukaj zaradi jasnosti, vendar ga lahko pozneje preskočite.

Če želite torej od ulomka odšteti ulomek, ju morate najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec, nato odšteti števec manjšega od števca manjšega in skupni imenovalec podpisati pod njihovo razliko.

Poglejmo primer:

3. Odštevanje mešanih števil.

Primer. 10 3/4 - 7 2/3.

Zmanjšajmo ulomke manjšega in odštevanca na najmanjši skupni imenovalec:

Celo smo odšteli od cele in od ulomka ulomek. Toda obstajajo primeri, ko je ulomek odštevanca večji od ulomka odmanjševalca. V takšnih primerih morate vzeti eno enoto iz celega dela minuenda, jo razdeliti na tiste dele, v katerih je izražen ulomek, in jo dodati ulomljenemu delu minuenda. In potem bo odštevanje izvedeno na enak način kot v prejšnjem primeru:

§ 89. Množenje ulomkov.

Pri preučevanju množenja ulomkov bomo upoštevali naslednja vprašanja:

1. Množenje ulomka s celim številom.
2. Iskanje ulomka danega števila.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
4. Množenje ulomka z ulomkom.
5. Množenje mešanih števil.
6. Koncept obresti.
7. Iskanje odstotka danega števila. Razmislimo o njih zaporedno.

1. Množenje ulomka s celim številom.

Množenje ulomka s celim številom ima enak pomen kot množenje celega števila s celim številom. Množenje ulomka (množnika) s celim številom (faktorjem) pomeni ustvariti vsoto enakih členov, v kateri je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.

To pomeni, da če morate pomnožiti 1/9 s 7, lahko to storite takole:

Rezultat smo zlahka dobili, saj se je dejanje zmanjšalo na seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. torej

Upoštevanje tega dejanja pokaže, da je množenje ulomka s celim številom enakovredno povečanju tega ulomka za tolikokrat, kolikor je enot v celem številu. In ker se povečanje ulomka doseže s povečanjem njegovega števca

ali z zmanjšanjem njegovega imenovalca , potem lahko bodisi pomnožimo števec s celim številom bodisi z njim delimo imenovalec, če je tako deljenje možno.

Od tu dobimo pravilo:

Če želite ulomek pomnožiti s celim številom, pomnožite števec s tem celim številom in pustite imenovalec enak ali, če je mogoče, delite imenovalec s tem številom, števec pa pustite nespremenjen.

Pri množenju so možne okrajšave, npr.

2. Iskanje ulomka danega števila. Obstaja veliko nalog, pri katerih morate najti ali izračunati del danega števila. Razlika med temi problemi in drugimi je v tem, da podajajo število nekaterih predmetov ali merskih enot in morate najti del tega števila, ki je tudi tukaj označen z določenim ulomkom. Za lažje razumevanje bomo najprej navedli primere tovrstnih problemov, nato pa predstavili metodo za njihovo reševanje.

Naloga 1. Imel sem 60 rubljev; 1/3 tega denarja sem porabil za nakup knjig. Koliko so stale knjige?

Naloga 2. Vlak mora prevoziti razdaljo med mestoma A in B, ki je enaka 300 km. Prevozil je že 2/3 te razdalje. Koliko kilometrov je to?

Naloga 3. V vasi je 400 hiš, 3/4 so zidane, ostale so lesene. Koliko zidanih hiš je skupaj?

To je nekaj od mnogih težav, s katerimi se srečujemo, ko najdemo del danega števila. Običajno se imenujejo naloge iskanja ulomka danega števila.

Rešitev problema 1. Od 60 rub. 1/3 sem porabil za knjige; To pomeni, da morate za ugotovitev cene knjig število 60 deliti s 3:

Reševanje problema 2. Bistvo problema je v tem, da morate najti 2/3 od 300 km. Najprej izračunajmo 1/3 od 300; to dobimo tako, da 300 km delimo s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Če želite najti dve tretjini od 300, morate dobljeni količnik podvojiti, tj. pomnožiti z 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Reševanje problema 3. Tukaj morate določiti število zidanih hiš, ki sestavljajo 3/4 od 400. Najprej poiščemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Za izračun treh četrtin od 400 je treba dobljeni količnik potrojiti, tj. pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na podlagi rešitve teh problemov lahko izpeljemo naslednje pravilo:

Če želite poiskati vrednost ulomka iz danega števila, morate to število deliti z imenovalcem ulomka in dobljeni količnik pomnožiti z njegovim števcem.

3. Množenje celega števila z ulomkom.

Prej (§ 26) je bilo ugotovljeno, da je treba množenje celih števil razumeti kot seštevanje enakih členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tem odstavku (1. točka) je bilo ugotovljeno, da množenje ulomka s celim številom pomeni iskanje vsote enakih členov, ki so enaki temu ulomku.

V obeh primerih je množenje obsegalo iskanje vsote enakih členov.

Zdaj preidemo na množenje celega števila z ulomkom. Tukaj bomo naleteli na primer na množenje: 9 2 / 3. Jasno je, da prejšnja definicija množenja v tem primeru ne velja. To je razvidno iz dejstva, da takšnega množenja ne moremo nadomestiti s seštevanjem enakih števil.

Zaradi tega bomo morali podati novo definicijo množenja, torej z drugimi besedami odgovoriti na vprašanje, kaj naj razumemo pod množenjem z ulomkom, kako to dejanje razumeti.

Pomen množenja celega števila z ulomkom je jasen iz naslednje definicije: množenje celega števila (množnika) z ulomkom (množnika) pomeni iskanje tega ulomka množenika.

Namreč pomnožiti 9 z 2/3 pomeni najti 2/3 od devetih enot. V prejšnjem odstavku so bili tovrstni problemi rešeni; zato je enostavno ugotoviti, da bomo na koncu imeli 6.

Toda zdaj je zanimiv in pomembno vprašanje: zakaj so taki na prvi pogled? razne akcije Kako je iskanje vsote enakih števil in iskanje ulomka števila, ki se imenuje z isto besedo "množenje" v aritmetiki?

To se zgodi zato, ker prejšnje dejanje (večkratna ponovitev števila s členi) in novo dejanje (iskanje ulomka števila) dajeta odgovore na homogena vprašanja. To pomeni, da tukaj izhajamo iz tega, da se homogena vprašanja ali naloge rešujejo z istim dejanjem.

Da bi to razumeli, razmislite o naslednji težavi: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 4 m takega blaga?

Ta problem se reši tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (4), to je 50 x 4 = 200 (rubljev).

Vzemimo isto težavo, vendar bo v njej količina blaga izražena kot ulomek: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 3/4 m takega blaga?«

Tudi ta problem je treba rešiti tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (3/4).

Številke v njem lahko še večkrat spremenite, ne da bi spremenili pomen problema, na primer vzemite 9/10 m ali 2 3/10 m itd.

Ker imajo te naloge enako vsebino in se razlikujejo le po številkah, dejanja, ki se uporabljajo pri njihovem reševanju, imenujemo z isto besedo – množenje.

Kako pomnožiš celo število z ulomkom?

Vzemimo številke, ki smo jih našli pri zadnji težavi:

Po definiciji moramo najti 3/4 od 50. Najprej poiščemo 1/4 od 50 in nato 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 števila 50 je .

Zato.

Poglejmo še en primer: 12 5 / 8 =?

1/8 števila 12 je 12/8,

5/8 števila 12 je .

torej

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti celo število z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in narediti ta produkt števec, imenovalec tega ulomka pa podpisati kot imenovalec.

Zapišimo to pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za množenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §.

Pomembno si je zapomniti, da morate pred izvajanjem množenja narediti (če je mogoče) zmanjšanja, Na primer:

4. Množenje ulomka z ulomkom. Množenje ulomka z ulomkom ima enak pomen kot množenje celega števila z ulomkom, tj. pri množenju ulomka z ulomkom morate najti ulomek, ki je v faktorju iz prvega ulomka (množenik).

Namreč pomnožiti 3/4 z 1/2 (polovico) pomeni najti polovico 3/4.

Kako pomnožiš ulomek z ulomkom?

Vzemimo primer: 3/4 pomnoženo s 5/7. To pomeni, da morate najti 5/7 od 3/4. Najprej poiščimo 1/7 od 3/4 in nato 5/7

1/7 števila 3/4 bo izražena kot sledi:

5/7 številke 3/4 bodo izražene na naslednji način:

torej

Drug primer: 5/8 pomnoženo s 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 števila 5/8 je .

torej

Iz teh primerov je mogoče razbrati naslednje pravilo:

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem, pri čemer bo prvi produkt števec, drugi produkt pa imenovalec produkta.

To je pravilo v splošni pogled lahko zapišemo takole:

Pri množenju je treba (če je mogoče) zmanjšati. Poglejmo si primere:

5. Množenje mešanih števil. Ker je mešana števila zlahka zamenjati z nepravilnimi ulomki, se ta okoliščina običajno uporablja pri množenju mešanih števil. To pomeni, da se v primerih, ko sta množitelj ali množitelj ali oba faktorja izražena kot mešana števila, nadomestita z nepravilnimi ulomki. Pomnožimo na primer mešana števila: 2 1/2 in 3 1/5. Vsakega od njih spremenimo v nepravi ulomek in nato dobljene ulomke pomnožimo po pravilu za množenje ulomka z ulomkom:

Pravilo.Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in jih nato pomnožiti po pravilu za množenje ulomkov z ulomki.

Opomba.Če je eden od faktorjev celo število, se lahko množenje izvede na podlagi distribucijskega zakona, kot sledi:

6. Koncept obresti. Pri reševanju nalog in izvajanju različnih praktičnih izračunov uporabljamo vse vrste ulomkov. Vendar se je treba zavedati, da številne količine zanje ne dopuščajo kakršnih koli, temveč naravne delitve. Na primer, lahko vzamete stotinko (1/100) rublja, to bo kopejka, dve stotinki je 2 kopejka, tri stotinke pa 3 kopejka. Lahko vzamete 1/10 rublja, to bo "10 kopeck ali kos za deset kopecks". Lahko vzamete četrt rublja, to je 25 kopecks, pol rublja, to je 50 kopecks (petdeset kopecks). Ampak praktično ne jemljejo, na primer 2/7 rublja, ker rubelj ni razdeljen na sedmine.

Enota teže, to je kilogram, omogoča predvsem decimalno deljenje, na primer 1/10 kg ali 100 g. In takšni deli kilograma, kot so 1/6, 1/11, 1/13, niso pogosti.

Na splošno so naše (metrične) mere decimalne in omogočajo decimalno deljenje.

Vendar je treba opozoriti, da je zelo uporabno in priročno v najrazličnejših primerih uporabljati enak (enoten) način delitve količin. Dolgoletne izkušnje so pokazale, da je tako upravičena delitev na »stotinko«. Poglejmo več primerov, ki se nanašajo na najrazličnejša področja človeške prakse.

1. Cena knjig se je znižala za 12/100 prejšnje cene.

Primer. Prejšnja cena knjige je bila 10 rubljev. Zmanjšal se je za 1 rubelj. 20 kopejk

2. Hranilnice izplačajo vlagateljem med letom 2/100 zneska varčevanja.

Primer. 500 rubljev se položi v blagajno, dohodek od tega zneska za leto je 10 rubljev.

3. Število diplomantov ene šole je bilo 5/100 celotnega števila dijakov.

PRIMER Na šoli je bilo le 1200 dijakov, od tega jih je 60 maturiralo.

Stotinko števila imenujemo odstotek.

Beseda "odstotek" je izposojena iz latinski jezik in njen koren "cent" pomeni sto. Skupaj s predlogom (pro centum) ta beseda pomeni »za sto«. Pomen takega izraza izhaja iz dejstva, da sprva v stari Rim obresti so bile denar, ki ga je dolžnik plačal posojilodajalcu »za vsakih sto«. Besedo "cent" slišimo v tako znanih besedah: centner (sto kilogramov), centimeter (recimo centimeter).

Na primer, namesto da rečemo, da je bila tovarna v preteklem mesecu proizvedla 1/100 vseh izdelkov, ki jih je proizvedla, z napako, bomo rekli tole: v preteklem mesecu je tovarna proizvedla en odstotek napak. Namesto da je obrat proizvedel 4/100 izdelkov več od postavljenega plana, bomo rekli: obrat je plan presegel za 4 odstotke.

Zgornje primere je mogoče izraziti drugače:

1. Cene knjig so se znižale za 12 odstotkov prejšnje cene.

2. Hranilnice plačujejo vlagateljem 2 odstotka letno od zneska, položenega v prihrankih.

3. Število maturantov ene šole je bilo 5 odstotkov vseh dijakov.

Za skrajšanje črke je običajno namesto besede "odstotek" napisati simbol %.

Vendar se morate zavedati, da pri izračunih znak % običajno ni zapisan, lahko je zapisan v izjavi o nalogi in v končnem rezultatu. Pri izračunih morate namesto celega števila s tem simbolom napisati ulomek z imenovalcem 100.

Celo število z navedeno ikono morate znati zamenjati z ulomkom z imenovalcem 100:

Nasprotno pa se morate navaditi pisati celo število z navedenim simbolom namesto ulomka z imenovalcem 100:

7. Iskanje odstotka danega števila.

Naloga 1.Šola je dobila 200 kubičnih metrov. m drv, od tega 30 % brezovih drv. Koliko je bilo brezovih drv?

Pomen tega problema je v tem, da so brezova drva predstavljala le del drv, ki so bila dostavljena šoli, in ta del je izražen v razmerju 30/100. To pomeni, da imamo nalogo najti ulomek števila. Da bi jo rešili, moramo 200 pomnožiti s 30/100 (probleme iskanja ulomka števila rešujemo tako, da število pomnožimo z ulomkom.).

To pomeni, da je 30 % od 200 enako 60.

Ulomek 30/100, na katerega naletimo v tem problemu, je mogoče zmanjšati za 10. To zmanjšanje bi bilo možno izvesti že od samega začetka; rešitev problema se ne bi spremenila.

Naloga 2. V taborišču je bilo 300 otrok različnih starosti. Otroci stari 11 let so predstavljali 21 %, otroci stari 12 let 61 % in končno 18 % otroci stari 13 let. Koliko otrok vsake starosti je bilo v taborišču?

V tej nalogi morate izvesti tri izračune, tj. zaporedno poiskati število otrok, starih 11 let, nato 12 let in nazadnje 13 let.

To pomeni, da boste morali tukaj trikrat najti ulomek števila. Naredimo to:

1) Koliko je bilo 11-letnih otrok?

2) Koliko je bilo 12-letnih otrok?

3) Koliko je bilo 13-letnih otrok?

Po rešitvi problema je koristno sešteti najdena števila; njihova vsota naj bo 300:

63 + 183 + 54 = 300

Upoštevati je treba tudi, da je vsota odstotkov, navedenih v izjavi o problemu, 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To nakazuje, da skupno število otroci v taborišču so bili vzeti kot 100 %.

3 a d a h a 3. Delavec je prejel 1200 rubljev na mesec. Od tega je 65 % porabil za hrano, 6 % za stanovanja in ogrevanje, 4 % za plin, elektriko in radio, 10 % za kulturne potrebe in 15 % prihranil. Koliko denarja je bilo porabljenega za potrebe, navedene v nalogi?

Če želite rešiti to težavo, morate 5-krat najti ulomek 1200. Naredimo to.

1) Koliko denarja je bilo porabljenega za hrano? Problem pravi, da je ta strošek 65 % celotnega zaslužka, torej 65/100 od števila 1200. Naredimo izračun:

2) Koliko denarja ste plačali za stanovanje z ogrevanjem? S podobnim razmišljanjem kot prejšnji pridemo do naslednjega izračuna:

3) Koliko denarja ste plačali za plin, elektriko in radio?

4) Koliko denarja je bilo porabljenega za kulturne potrebe?

5) Koliko denarja je delavec privarčeval?

Za preverjanje je koristno sešteti števila, ki jih najdete v teh 5 vprašanjih. Znesek mora biti 1200 rubljev. Vsi zaslužki so vzeti kot 100 %, kar je enostavno preveriti tako, da seštejete odstotne številke, navedene v izjavi o problemu.

Rešili smo tri težave. Kljub temu, da so se ti problemi nanašali na različne stvari (dostava drv za šolo, število otrok različnih starosti, stroški delavca), so jih reševali na enak način. To se je zgodilo, ker je bilo pri vseh nalogah potrebno najti več odstotkov danih števil.

§ 90. Delitev ulomkov.

Ko preučujemo deljenje ulomkov, bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Deli celo število s celim številom.
2. Deljenje ulomka s celim številom
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
5. Deljenje mešanih števil.
6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.
7. Iskanje števila po odstotku.

Razmislimo o njih zaporedno.

1. Deli celo število s celim številom.

Kot je bilo navedeno v oddelku za cela števila, je deljenje dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se glede na zmnožek dveh faktorjev (dividend) in enega od teh faktorjev (delitelj) najde drug faktor.

V razdelku o celih številih smo si ogledali deljenje celega števila s celim številom. Tam smo naleteli na dva primera deljenja: deljenje brez ostanka oziroma »v celoti« (150 : 10 = 15) in deljenje z ostankom (100 : 9 = 11 in 1 ostanek). Lahko torej rečemo, da na področju celih števil natančna delitev ni vedno mogoča, saj dividenda ni vedno zmnožek delitelja s celim številom. Po uvedbi množenja z ulomkom lahko štejemo za možne vse primere deljenja celih števil (izključeno je le deljenje z ničlo).

Na primer, deljenje 7 z 12 pomeni iskanje števila, katerega produkt z 12 bi bil enak 7. Takšno število je ulomek 7/12, ker je 7/12 12 = 7. Drug primer: 14: 25 = 14 / 25, ker je 14 / 25 25 = 14.

Torej, če želite deliti celo število s celim številom, morate ustvariti ulomek, katerega števec je enak dividendi in imenovalec enak delitelju.

2. Deljenje ulomka s celim številom.

Delite ulomek 6/7 s 3. V skladu z definicijo deljenja, podano zgoraj, imamo tukaj produkt (6/7) in enega od faktorjev (3); potrebno je poiskati drugi faktor, ki bi, če bi ga pomnožili s 3, dal dani produkt 6/7. Očitno bi moral biti trikrat manjši od tega izdelka. To pomeni, da je bila pred nami postavljena naloga zmanjšati ulomek 6/7 za 3-krat.

Vemo že, da lahko ulomek skrajšamo tako, da zmanjšamo njegov števec ali povečamo njegov imenovalec. Zato lahko napišete:

V tem primeru je števec 6 deljiv s 3, zato je treba števec zmanjšati za 3-krat.

Vzemimo drug primer: 5/8 deljeno z 2. Tukaj števec 5 ni deljiv z 2, kar pomeni, da bo treba imenovalec pomnožiti s tem številom:

Na podlagi tega je mogoče narediti pravilo: Če želite deliti ulomek s celim številom, morate števec ulomka deliti s tem celim številom.(če je možno), pustite enak imenovalec ali pa pomnožite imenovalec ulomka s tem številom in pustite enak števec.

3. Deljenje celega števila z ulomkom.

Naj bo treba 5 deliti z 1/2, tj. najti število, ki bo po množenju z 1/2 dalo produkt 5. Očitno mora biti to število večje od 5, saj je 1/2 pravi ulomek , pri množenju števila pa mora biti produkt pravilnega ulomka manjši od produkta, ki ga množimo. Da bo to jasnejše, zapišimo svoja dejanja na naslednji način: 5: 1 / 2 = X , kar pomeni x 1/2 = 5.

Takšno številko moramo najti X , kar bi, če bi ga pomnožili z 1/2, dalo 5. Ker množenje določenega števila z 1/2 pomeni iskanje 1/2 tega števila, potem je torej 1/2 neznanega števila X je enako 5 in celo število X dvakrat toliko, tj. 5 2 = 10.

Torej 5: 1/2 = 5 2 = 10

Preverimo:

Poglejmo še en primer. Recimo, da želite 6 deliti z 2/3. Najprej poskusimo najti želeni rezultat s pomočjo risbe (slika 19).

Slika 19

Narišimo odsek AB, ki je enak 6 enotam, in vsako enoto razdelimo na 3 enake dele. V vsaki enoti so tri tretjine (3/3) celotnega segmenta AB 6-krat večje, tj. e. 18/3. Z majhnimi oklepaji povežemo 18 nastalih segmentov 2; Segmentov bo samo 9. To pomeni, da je ulomek 2/3 vsebovan v 6 enotah 9-krat, ali z drugimi besedami, ulomek 2/3 je 9-krat manjši od 6 celih enot. torej

Kako do tega rezultata brez risbe samo z izračuni? Recimo takole: 6 moramo deliti z 2/3, tj. odgovoriti moramo na vprašanje, kolikokrat 2/3 vsebuje 6. Ugotovimo najprej: kolikokrat 1/3 vsebuje 6? V celi enoti so 3 tretjine, v 6 enotah pa 6-krat več, to je 18 tretjin; da bi našli to število, moramo 6 pomnožiti s 3. To pomeni, da je 1/3 vsebovana v b enotah 18-krat, 2/3 pa je vsebovana v b enotah ne 18-krat, ampak polovico manj, tj. 18: 2 = 9 Zato smo pri deljenju 6 z 2/3 storili naslednje:

Od tu dobimo pravilo za deljenje celega števila z ulomkom. Če želite celo število deliti z ulomkom, morate to celo število pomnožiti z imenovalcem danega ulomka in tako, da je ta produkt števec, ga deliti s števcem danega ulomka.

Zapišimo pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za deljenje števila s količnikom, ki je bilo navedeno v 38. §. Upoštevajte, da je bila tam pridobljena ista formula.

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

4. Deljenje ulomka z ulomkom.

Recimo, da moramo 3/4 deliti s 3/8. Kaj pomeni število, ki nastane pri deljenju? Odgovoril bo na vprašanje, kolikokrat je ulomek 3/8 vsebovan v ulomku 3/4. Da bi razumeli to težavo, naredimo risbo (slika 20).

Vzemimo odsek AB, ga vzemimo kot enega, ga razdelimo na 4 enake dele in označimo 3 take dele. Odsek AC bo enak 3/4 segmenta AB. Razdelimo zdaj vsakega od štirih prvotnih segmentov na pol, potem bo segment AB razdeljen na 8 enakih delov in vsak tak del bo enak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takšne segmente z loki, potem bo vsak od segmentov AD in DC enak 3/8 segmenta AB. Risba kaže, da je segment, enak 3/8, vsebovan v segmentu, ki je enak 3/4, točno 2-krat; To pomeni, da lahko rezultat deljenja zapišemo takole:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Poglejmo še en primer. Recimo, da moramo 15/16 deliti s 3/32:

Lahko sklepamo takole: najti moramo število, ki bo po množenju s 3/32 dalo produkt enak 15/16. Zapišimo izračune takole:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznana številka X so 15/16

1/32 neznanega števila X je,

32/32 številke X pobotati se .

torej

Torej, če želite deliti ulomek z ulomkom, morate števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in imenovalec prvega ulomka s števcem drugega in prvi produkt narediti števec, drugi pa imenovalec.

Zapišimo pravilo s črkami:

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

5. Deljenje mešanih števil.

Pri deljenju mešanih števil jih je treba najprej pretvoriti v neprave ulomke, nato pa nastale ulomke deliti po pravilih za deljenje ulomkov. Poglejmo primer:

Pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:

Zdaj pa razdelimo:

Če želite deliti mešana števila, jih morate torej pretvoriti v neprave ulomke in nato deliti po pravilu za deljenje ulomkov.

6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.

Med različnimi težavami z ulomki so včasih tudi takšne, v katerih je podana vrednost nekega ulomka neznanega števila in to število morate najti. Ta vrsta problema bo inverzna problemu iskanja ulomka danega števila; tam je bilo podano število in bilo je potrebno najti nek delček tega števila, tukaj je bil podan delček števila in zahtevano je bilo najti to število samo. Ta ideja bo postala še bolj jasna, če se bomo posvetili reševanju tovrstnih problemov.

Naloga 1. Prvi dan so steklarji zasteklili 50 oken, kar je 1/3 vseh oken zgrajene hiše. Koliko oken je v tej hiši?

rešitev. Problem pravi, da 50 zastekljenih oken predstavlja 1/3 vseh oken v hiši, kar pomeni, da je vseh oken 3x več, tj.

Hiša je imela 150 oken.

Naloga 2. V trgovini so prodali 1500 kg moke, kar je 3/8 celotne zaloge moke v trgovini. Kakšna je bila začetna zaloga moke v trgovini?

rešitev. Iz pogojev problema je razvidno, da 1500 kg prodane moke predstavlja 3/8 celotne zaloge; To pomeni, da bo 1/8 te rezerve 3-krat manjša, tj. da jo izračunate, morate 1500 zmanjšati za 3-krat:

1.500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezerve).

Očitno bo celotna ponudba 8-krat večja. torej

500 8 = 4000 (kg).

Začetna zaloga moke v trgovini je bila 4000 kg.

Iz obravnave tega problema je mogoče izpeljati naslednje pravilo.

Če želite najti število iz dane vrednosti njegovega ulomka, je dovolj, da to vrednost delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem ulomka.

Rešili smo dve nalogi o iskanju števila glede na njegov ulomek. Takšne težave, kot je še posebej jasno razvidno iz zadnjega, se rešujejo z dvema dejanjema: deljenjem (ko najdemo en del) in množenjem (ko najdemo celo število).

Ko pa smo se naučili deliti ulomke, lahko zgornje probleme rešimo z enim dejanjem, in sicer z deljenjem z ulomkom.

Na primer, zadnjo nalogo je mogoče rešiti z enim dejanjem, kot je ta:

V prihodnje bomo naloge iskanja števila iz njegovega ulomka reševali z enim dejanjem – deljenjem.

7. Iskanje števila po odstotku.

V teh nalogah boste morali najti število, ki pozna nekaj odstotkov tega števila.

Naloga 1. V začetku tega leta sem od hranilnice prejel 60 rubljev. dohodek od zneska, ki sem ga privarčeval pred enim letom. Koliko denarja sem dal v hranilnico? (Blagajne dajejo vlagateljem 2-odstotni donos na leto.)

Bistvo problema je v tem, da sem dal določeno vsoto denarja v hranilnico in tam ostal eno leto. Po enem letu sem od nje prejel 60 rubljev. dohodka, kar je 2/100 denarja, ki sem ga položil. Koliko denarja sem vložil?

Posledično, če poznamo del tega denarja, izražen na dva načina (v rubljih in frakcijah), moramo najti celoten, še neznan znesek. To je navaden problem iskanja števila glede na njegov ulomek. Z delitvijo se rešujejo naslednji problemi:

To pomeni, da je bilo v hranilnici položenih 3000 rubljev.

Naloga 2. Mesečni načrt so ribiči v dveh tednih izpolnili za 64 % in ulovili 512 ton rib. Kakšen je bil njihov načrt?

Iz pogojev problema je razvidno, da so ribiči izpolnili del načrta. Ta del znaša 512 ton, kar je 64% načrta. Ne vemo, koliko ton rib je treba pripraviti po načrtu. Iskanje te številke bo rešitev problema.

Takšne težave se rešujejo z delitvijo:

To pomeni, da je po načrtu treba pripraviti 800 ton rib.

Naloga 3. Vlak je šel iz Rige v Moskvo. Ko je prevozil 276. kilometer, je eden od potnikov vprašal mimovozečega sprevodnika, koliko poti so že prevozili. Na to je sprevodnik odgovoril: "Prevozili smo že 30% celotne poti." Kakšna je razdalja od Rige do Moskve?

Iz pogojev problema je jasno, da je 30% poti od Rige do Moskve 276 km. Najti moramo celotno razdaljo med temi mesti, tj. za ta del najti celoto:

§ 91. Vzajemna števila. Zamenjava deljenja z množenjem.

Vzemimo ulomek 2/3 in nadomestimo števec namesto imenovalca, dobimo 3/2. Dobili smo inverzijo tega ulomka.

Če želite dobiti ulomek, ki je inverzen danemu ulomku, morate njegov števec postaviti na mesto imenovalca in imenovalec na mesto števca. Na ta način lahko dobimo recipročno vrednost katerega koli ulomka. Na primer:

3/4, vzvratno 4/3; 5/6, vzvratno 6/5

Dva ulomka, ki imata to lastnost, da je števec prvega imenovalec drugega, imenovalec prvega pa števec drugega, imenujemo medsebojno obratno.

Zdaj pa pomislimo, kateri ulomek bo recipročna vrednost 1/2. Očitno bo 2/1 ali samo 2. Z iskanjem inverznega ulomka danega smo dobili celo število. In ta primer ni osamljen; nasprotno, za vse ulomke s števcem 1 (ena) bodo recipročne vrednosti cela števila, na primer:

1/3, hrbtna stran 3; 1/5, vzvratno 5

Ker smo se pri iskanju recipročnih ulomkov srečali tudi s celimi števili, v nadaljevanju ne bomo govorili o recipročnih ulomkih, temveč o recipročna števila.

Ugotovimo, kako zapisati inverzno celo število. Za ulomke je to mogoče preprosto rešiti: namesto števca morate postaviti imenovalec. Na enak način lahko dobite inverzno vrednost celega števila, saj ima lahko vsako celo število imenovalec 1. To pomeni, da bo inverzna vrednost 7 1/7, ker je 7 = 7/1; za število 10 bo obratno 1/10, saj je 10 = 10/1

To idejo je mogoče izraziti drugače: recipročno vrednost danega števila dobimo tako, da ena delimo z danim številom. Ta trditev ne velja le za cela števila, ampak tudi za ulomke. Pravzaprav, če moramo zapisati inverzijo ulomka 5/9, potem lahko vzamemo 1 in ga delimo s 5/9, tj.

Zdaj pa poudarimo eno stvar premoženje recipročne številke, ki nam bodo koristile: produkt vzajemnih števil je enak ena. Prav zares:

Z uporabo te lastnosti lahko najdemo recipročna števila na naslednji način. Recimo, da moramo najti obratno število 8.

Označimo ga s črko X , nato 8 X = 1, torej X = 1/8. Poiščimo drugo število, ki je obratno od 7/12 in ga označimo s črko X , nato 7/12 X = 1, torej X = 1: 7 / 12 ali X = 12 / 7 .

Tu smo predstavili koncept recipročnih števil, da bi nekoliko dopolnili informacije o deljenju ulomkov.

Ko število 6 delimo s 3/5, naredimo naslednje:

Posebej bodi pozoren na izraz in ga primerjaj z danim: .

Če vzamemo izraz ločeno, brez povezave s prejšnjim, potem je nemogoče rešiti vprašanje, od kod izvira: iz deljenja 6 s 3/5 ali iz množenja 6 s 5/3. V obeh primerih se zgodi isto. Zato lahko rečemo da lahko deljenje enega števila z drugim nadomestimo z množenjem dividende z inverzno vrednostjo delitelja.

Primeri, ki jih navajamo spodaj, v celoti potrjujejo to ugotovitev.

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomba: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Na primer:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ni treba ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Na primer:

Če naletite na množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju naredimo ulomek iz celega števila z enico v imenovalcu - in nadaljujte! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako naj ta ulomek izgleda spodobno? Da, zelo preprosto! Uporabite delitev na dve točki:

A ne pozabite na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Ali čutite razliko? 4 in 1/9!

Kaj določa vrstni red delitve? Ali z oklepaji ali (kot tukaj) z dolžino vodoravnih črt. Razvijte svoje oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli in pomnoži po vrsti, od leve proti desni!

In še ena zelo preprosta in pomembna tehnika. Pri dejanjih z diplomami vam bo zelo koristilo! Eno delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In to se vedno zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat enak ulomek, le da je obrnjen na glavo.

To je to za operacije z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Opomba praktičen nasvet, pa jih bo (napak) manj!

Praktični nasveti:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso splošne besede, ne dobre želje! To je nujno! Vse izračune na Enotnem državnem izpitu naredite kot popolno nalogo, osredotočeno in jasno. Bolje je, da v svoj osnutek napišete dve dodatni vrstici, kot da se zamočite pri miselnih izračunih.

2. V zgledih z različni tipi ulomki - pojdite na navadne ulomke.

3. Zmanjšamo vse frakcije, dokler se ne ustavijo.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.

Tukaj so naloge, ki jih morate zagotovo opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale o tej temi in praktične nasvete. Oceni, koliko primerov si uspel pravilno rešiti. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...

Ne pozabite - pravilen odgovor je prejeto od drugič (zlasti tretjič) čas ne šteje! Tako je kruto življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je že priprava na enotni državni izpit. Primer rešimo, preverimo, rešimo naslednjega. Odločili smo se za vse - ponovno preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.

Izračunajte:

Ste se odločili?

Iščemo odgovore, ki ustrezajo vašim. Namenoma sem jih zapisal neurejeno, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Zdaj delamo zaključke. Če je vse uspelo, sem vesel zate! Osnovni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne...

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak to rešljiv Težave.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Množenje celega števila z ulomkom ni težka naloga. Obstajajo pa podrobnosti, ki ste jih verjetno razumeli v šoli, a ste jih od takrat pozabili.

Kako pomnožiti celo število z ulomkom - nekaj izrazov

Če se spomnite, kaj sta števec in imenovalec ter kako se pravi ulomek razlikuje od nepravilnega, preskočite ta odstavek. Je za tiste, ki so popolnoma pozabili na teorijo.

Števec je zgornji del ulomki so tisto, kar delimo. Imenovalec je nižji. To je tisto, po čemer se delimo.
Pravi ulomek je tisti, katerega števec je manjši od imenovalca. Nepravi ulomek je tisti, katerega števec je večji ali enak imenovalcu.

Kako pomnožiti celo število z ulomkom

Pravilo množenja celega števila z ulomkom je zelo preprosto – števec pomnožimo s celim številom, imenovalca pa se ne dotikamo. Na primer: dva pomnožena z eno petino - dobimo dve petini. Štiri pomnoženo s tremi šestnajstinami je enako dvanajst šestnajstin.

Zmanjšanje

V drugem primeru lahko dobljeno frakcijo zmanjšamo.
Kaj to pomeni? Upoštevajte, da sta števec in imenovalec tega ulomka deljiva s štiri. Obe števili delite z skupni delilnik in se imenuje zmanjševanje ulomka. Dobimo tri četrtine.

Nepravilni ulomki

Toda predpostavimo, da pomnožimo štiri z dvema petinama. Izkazalo se je osem petin. To je nepravilen ulomek.
Vsekakor jo je treba pripeljati prava vrsta. Če želite to narediti, morate iz njega izbrati celoten del.
Tukaj morate uporabiti deljenje z ostankom. Kot ostanek dobimo ena in tri.
Eno celo in tri petine so naš pravi ulomek.

Petintrideset osmink je nekoliko težje spraviti v pravilno obliko.Število, ki je najbližje sedemintridesetim in je deljivo z osem, je dvaintrideset. Pri deljenju dobimo štiri. Od petintrideset odštejemo dvaintrideset in dobimo tri. Rezultat: štiri cele in tri osmine.

Enakost števca in imenovalca. In tukaj je vse zelo preprosto in lepo. Če sta števec in imenovalec enaka, je rezultat preprosto ena.

) in imenovalec za imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).

Formula za množenje ulomkov:

Na primer:

Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.

Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.

Deljenje ulomkov z naravnimi števili.

Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:

Množenje mešanih ulomkov.

Pravila za množenje ulomkov (mešano):

• pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
• množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
• zmanjšati delež;
• Če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.

Opomba!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravih ulomkov, nato pa pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.

Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadni ulomek na številko.

Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.

Iz zgornjega primera je razvidno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.

Večnadstropni ulomki.

V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:

Če želite tak ulomek prenesti v običajno obliko, uporabite deljenje na 2 točki:

Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.

Opomba, Na primer:

Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.

2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov pojdite na vrsto navadnih ulomkov.

3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.

4. Večnivojske ulomke pretvorimo v navadne z deljenjem na 2 točki.

5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.