मापांक के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली। गणित में किसी संख्या का मापांक क्या होता है

मापांक अभिव्यक्ति का निरपेक्ष मान है। कम से कम किसी तरह एक मॉड्यूल को नामित करने के लिए, यह सीधे कोष्ठक का उपयोग करने के लिए प्रथागत है। वह मान जो सम कोष्ठकों में संलग्न है, वह मान है जिसे मॉड्यूलो लिया जाता है। किसी भी माड्यूल को हल करने की प्रक्रिया में उन्हीं प्रत्यक्ष कोष्ठकों को खोलना होता है, जिन्हें गणितीय भाषा में माड्यूलर कोष्ठक कहते हैं। उनका खुलासा कुछ निश्चित नियमों के अनुसार होता है। साथ ही, मॉड्यूल को हल करने के क्रम में, उन भावों के मूल्यों के सेट भी होते हैं जो मॉड्यूल कोष्ठक में थे। ज्यादातर मामलों में, मॉड्यूल का विस्तार इस तरह से किया जाता है कि अभिव्यक्ति जो सबमॉड्यूल थी, शून्य मान सहित सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान प्राप्त करती है। यदि हम मॉड्यूल के स्थापित गुणों से शुरू करते हैं, तो प्रक्रिया में मूल अभिव्यक्ति से विभिन्न समीकरण या असमानताएँ संकलित की जाती हैं, जिन्हें तब हल करने की आवश्यकता होती है। आइए जानें कि मॉड्यूल को कैसे हल किया जाए।

समाधान प्रक्रिया

मॉड्यूल का समाधान मॉड्यूल के साथ मूल समीकरण लिखने से शुरू होता है। मापांक के साथ समीकरणों को कैसे हल किया जाए, इस सवाल का जवाब देने के लिए, आपको इसे पूरी तरह से खोलने की जरूरत है। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, मॉड्यूल का विस्तार किया जाता है। सभी मॉड्यूलर अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाना चाहिए। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इसकी संरचना में शामिल अज्ञात मात्राओं के किन मूल्यों पर, कोष्ठक में मॉड्यूलर अभिव्यक्ति गायब हो जाती है। ऐसा करने के लिए, यह मॉड्यूलर कोष्ठक में अभिव्यक्ति को शून्य करने के लिए पर्याप्त है, और फिर परिणामी समीकरण के समाधान की गणना करें। पाए गए मान दर्ज किए जाने चाहिए। उसी तरह, आपको इस समीकरण में सभी मॉड्यूल के लिए सभी अज्ञात चरों का मान निर्धारित करने की भी आवश्यकता है। अगला, भावों में चर के अस्तित्व के सभी मामलों की परिभाषा और विचार से निपटना आवश्यक है जब वे मूल्य शून्य से भिन्न होते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल असमानता में सभी मॉड्यूलों के अनुरूप असमानताओं की कुछ प्रणाली लिखनी होगी। असमानताओं को तैयार किया जाना चाहिए ताकि वे सभी उपलब्ध और कवर कर सकें संभावित मानएक चर के लिए जो संख्या रेखा पर पाया जाता है। फिर आपको विज़ुअलाइज़ेशन के लिए इसी संख्या रेखा को खींचने की आवश्यकता है, जिस पर भविष्य में सभी प्राप्त मूल्यों को रखा जाए।

अब लगभग हर काम ऑनलाइन किया जा सकता है। मॉड्यूल नियमों का अपवाद नहीं है। आप इसे कई आधुनिक संसाधनों में से किसी एक पर ऑनलाइन हल कर सकते हैं। चर के वे सभी मान जो शून्य मॉड्यूल में हैं, एक विशेष बाधा होगी जिसका उपयोग मॉड्यूलर समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में किया जाएगा। मूल समीकरण में, अभिव्यक्ति के चिह्न को बदलते हुए, सभी उपलब्ध मॉड्यूलर कोष्ठकों का विस्तार करना आवश्यक है ताकि वांछित चर के मान उन मानों के साथ मेल खाते हैं जो संख्या रेखा पर दिखाई दे रहे हैं। परिणामी समीकरण को हल किया जाना चाहिए। चर का मान, जो समीकरण को हल करने के दौरान प्राप्त किया जाएगा, मॉड्यूल द्वारा निर्धारित प्रतिबंध के विरुद्ध जाँच की जानी चाहिए। यदि चर का मान शर्त को पूरी तरह से संतुष्ट करता है, तो यह सही है। सभी जड़ें जो समीकरण को हल करने के दौरान प्राप्त की जाएंगी, लेकिन बाधाओं में फिट नहीं होंगी, उन्हें त्याग दिया जाना चाहिए।

छात्रों के लिए सबसे कठिन विषयों में से एक मॉड्यूलस चिह्न के तहत चर वाले समीकरणों को हल करना है। आइए पहले देखें कि यह किससे जुड़ा है? क्यों, उदाहरण के लिए, अधिकांश बच्चे द्विघात समीकरणों को पागल की तरह क्लिक करते हैं, लेकिन एक मॉड्यूल के रूप में सबसे जटिल अवधारणा से इतनी दूर इतनी सारी समस्याएं हैं?

मेरी राय में, ये सभी कठिनाइयाँ एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट रूप से तैयार किए गए नियमों की कमी से जुड़ी हैं। हाँ, निर्णय लेना द्विघात समीकरण, छात्र निश्चित रूप से जानता है कि उसे पहले विविक्तकर सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है, और फिर द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र। लेकिन क्या होगा अगर समीकरण में एक मॉड्यूल का सामना करना पड़े? हम मामले में कार्रवाई की आवश्यक योजना का स्पष्ट रूप से वर्णन करने का प्रयास करेंगे जब समीकरण में मापांक चिह्न के तहत अज्ञात हो। हम प्रत्येक मामले के लिए कई उदाहरण देते हैं।

लेकिन पहले, आइए याद करें मॉड्यूल परिभाषा. तो, संख्या का मापांक एसंख्या ही अगर कहा जाता है एगैर-नकारात्मक और -एयदि संख्या एशून्य से कम। आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

|ए| = एक अगर एक ≥ 0 और | एक | = -एक अगर ए< 0

के बोल ज्यामितीय भावमॉड्यूल, यह याद रखना चाहिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या अक्ष पर एक निश्चित बिंदु से मेल खाती है - इसके लिए समन्वय। तो, एक मॉड्यूल या निरपेक्ष मूल्यसंख्या इस बिंदु से संख्या अक्ष के मूल तक की दूरी है। दूरी हमेशा धनात्मक संख्या के रूप में दी जाती है। इस प्रकार, किसी का मॉड्यूल ऋणात्मक संख्याएक धनात्मक संख्या है। वैसे, इस स्तर पर भी कई छात्र भ्रमित होने लगते हैं। मॉड्यूल में कोई भी संख्या हो सकती है, लेकिन मॉड्यूल को लागू करने का परिणाम हमेशा एक सकारात्मक संख्या होती है।

अब चलिए समीकरणों को हल करने की ओर बढ़ते हैं।

1. रूप के एक समीकरण पर विचार करें |x| = c, जहाँ c एक वास्तविक संख्या है। मॉड्यूलस की परिभाषा का उपयोग करके इस समीकरण को हल किया जा सकता है।

हम सभी वास्तविक संख्याओं को तीन समूहों में विभाजित करते हैं: वे जो शून्य से अधिक हैं, वे जो शून्य से कम हैं, और तीसरा समूह संख्या 0 है। हम आरेख के रूप में समाधान लिखते हैं:

(±सी अगर सी > 0

अगर |x| = सी, तो एक्स = (0 अगर सी = 0

(कोई जड़ नहीं अगर साथ< 0

1) |एक्स| = 5, क्योंकि 5 > 0, तो x = ±5;

2) |एक्स| = -5, क्योंकि -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |एक्स| = 0, तो x = 0।

2. रूप का एक समीकरण |f(x)| = b, जहाँ b > 0. इस समीकरण को हल करने के लिए, मापांक से छुटकारा पाना आवश्यक है। हम इसे इस प्रकार करते हैं: f(x) = b या f(x) = -b। अब प्राप्त समीकरणों में से प्रत्येक को अलग-अलग हल करना आवश्यक है। यदि मूल समीकरण में b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, क्योंकि 4> 0, फिर

x + 2 = 4 या x + 2 = -4

2) |x 2 - 5| = 11, क्योंकि 11> 0, फिर

x 2 - 5 = 11 या x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 कोई जड़ नहीं

3) |x 2 – 5x| = -8, क्योंकि -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. फॉर्म का एक समीकरण |f(x)| = जी (एक्स)। मॉड्यूल के अर्थ के अनुसार, इस तरह के समीकरण का समाधान होगा यदि यह दाहिना भागशून्य से अधिक या उसके बराबर, यानी जी(एक्स) ≥ 0. तो हमारे पास है:

एफ (एक्स) = जी (एक्स)या एफ (एक्स) = -जी (एक्स).

1) |2x – 1| = 5x - 10. यदि 5x - 10 ≥ 0 है तो इस समीकरण के मूल होंगे। यहीं से ऐसे समीकरणों का हल शुरू होता है।

1. ओ.डी.जेड. 5x - 10 ≥ 0

2. समाधान:

2x - 1 = 5x - 10 या 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z को मिलाएं। और समाधान, हमें मिलता है:

रूट x \u003d 11/7 O.D.Z के अनुसार फिट नहीं होता है, यह 2 से कम है, और x \u003d 3 इस स्थिति को संतुष्ट करता है।

उत्तर: एक्स = 3

2) |एक्स - 1| \u003d 1 - एक्स 2।

1. ओ.डी.जेड. 1 - x 2 ≥ 0। आइए अंतराल विधि का उपयोग करके इस असमानता को हल करें:

(1 - एक्स) (1 + एक्स) ≥ 0

2. समाधान:

x - 1 \u003d 1 - x 2 या x - 1 \u003d - (1 - x 2)

एक्स 2 + एक्स - 2 = 0 एक्स 2 - एक्स = 0

x = -2 या x = 1 x = 0 या x = 1

3. घोल और O.D.Z को मिलाएं:

केवल मूल x = 1 और x = 0 उपयुक्त हैं।

उत्तर: x = 0, x = 1।

4. रूप का एक समीकरण |f(x)| = |जी(एक्स)|. ऐसा समीकरण निम्नलिखित दो समीकरणों f(x) = g(x) या f(x) = -g(x) के बराबर है।

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. यह समीकरण निम्नलिखित दो के बराबर है:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 या x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 या x = 4 x = 2 या x = 1

उत्तर: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4।

5. प्रतिस्थापन विधि (परिवर्तनीय परिवर्तन) द्वारा हल किए गए समीकरण। यह विधिसमाधानों में व्याख्या करना सबसे आसान है विशिष्ट उदाहरण. तो, एक मापांक के साथ एक द्विघात समीकरण दिया जाए:

एक्स 2 - 6|एक्स| + 5 = 0. मॉड्यूल x 2 = |x| की संपत्ति से 2 , इसलिए समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

|एक्स| 2–6|x| + 5 = 0. चलिए बदलाव करते हैं |x| = टी ≥ 0, तो हमारे पास होगा:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0। इस समीकरण को हल करते हुए, हमें वह t \u003d 1 या t \u003d 5 मिलता है। आइए प्रतिस्थापन पर लौटें:

|एक्स| = 1 या |x| = 5

x = ±1 x = ±5

उत्तर: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5।

आइए एक और उदाहरण देखें:

एक्स 2 + |एक्स| – 2 = 0. मॉड्यूल x 2 = |x| की संपत्ति से 2, तो

|एक्स| 2 + |x| – 2 = 0. चलिए बदलाव करते हैं |x| = टी ≥ 0, फिर:

t 2 + t - 2 \u003d 0. इस समीकरण को हल करते हुए, हमें t \u003d -2 या t \u003d 1 मिलता है। आइए प्रतिस्थापन पर लौटें:

|एक्स| = -2 या |x| = 1

कोई जड़ नहीं x = ± 1

उत्तर: x = -1, x = 1।

6. एक अन्य प्रकार के समीकरण "जटिल" मापांक वाले समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों में ऐसे समीकरण शामिल होते हैं जिनमें "मॉड्यूल के भीतर मॉड्यूल" होते हैं। मॉड्यूल के गुणों का उपयोग करके इस प्रकार के समीकरणों को हल किया जा सकता है।

1) |3 – |x|| = 4. हम दूसरे प्रकार के समीकरणों की तरह ही कार्य करेंगे। क्योंकि 4 > 0, तो हमें दो समीकरण मिलते हैं:

3 - |x| = 4 या 3 - |x| = -4।

अब प्रत्येक समीकरण में मॉड्यूल x को व्यक्त करते हैं, फिर |x| = -1 या |x| = 7.

हम परिणामी समीकरणों में से प्रत्येक को हल करते हैं। पहले समीकरण में कोई जड़ नहीं है, क्योंकि -1< 0, а во втором x = ±7.

उत्तर x = -7, x = 7।

2) |3 + |x + 1|| = 5. हम इस समीकरण को इसी प्रकार हल करते हैं:

3 + |x + 1| = 5 या 3 + |x + 1| = -5

|एक्स + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 या x + 1 = -2। कोई जड़ नहीं है।

उत्तर: x = -3, x = 1।

एक मापांक के साथ समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि भी है। यह अंतराल विधि है। लेकिन हम इस पर आगे विचार करेंगे।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

मापांक के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करनाअक्सर समस्याएं पैदा करता है। हालाँकि, यदि आप अच्छी तरह से समझते हैं कि क्या है किसी संख्या का निरपेक्ष मान, और मॉडुलो साइन वाले एक्सप्रेशन को सही तरीके से कैसे एक्सपैंड करें, फिर समीकरण में उपस्थिति मॉड्यूल साइन के तहत अभिव्यक्तिउसके समाधान में बाधक नहीं बनता।

थोड़ा सिद्धांत। प्रत्येक संख्या की दो विशेषताएँ होती हैं: संख्या का निरपेक्ष मान और उसका चिह्न।

उदाहरण के लिए, संख्या +5, या सिर्फ 5 में "+" चिह्न और 5 का पूर्ण मान है।

संख्या -5 में "-" चिह्न और 5 का पूर्ण मान है।

संख्या 5 और -5 के पूर्ण मान 5 हैं।

संख्या x के निरपेक्ष मान को संख्या का मापांक कहा जाता है और इसे |x| द्वारा निरूपित किया जाता है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, किसी संख्या का मापांक स्वयं संख्या के बराबर होता है, यदि यह संख्या शून्य से अधिक या उसके बराबर है, और इस संख्या के विपरीत चिह्न के साथ, यदि यह संख्या ऋणात्मक है।

यह किसी भी भाव पर लागू होता है जो मॉड्यूल चिह्न के अंतर्गत होता है।

मॉड्यूल विस्तार नियम इस तरह दिखता है:

|f(x)|= f(x) अगर f(x) ≥ 0, और

|f(x)|= - f(x) अगर f(x)< 0

उदाहरण के लिए |x-3|=x-3 अगर x-3≥0 और |x-3|=-(x-3)=3-x अगर x-3<0.

मापांक चिह्न के अंतर्गत एक व्यंजक युक्त समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले यह करना होगा मॉड्यूल विस्तार नियम द्वारा मॉड्यूल का विस्तार करें.

तब हमारा समीकरण या असमानता बदल जाती है दो अलग-अलग संख्यात्मक अंतरालों पर मौजूद दो अलग-अलग समीकरणों में।

एक समीकरण एक संख्यात्मक अंतराल पर मौजूद है जिस पर मॉड्यूलस चिह्न के तहत अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक है।

और दूसरा समीकरण अंतराल पर मौजूद है जिस पर मॉड्यूलस चिह्न के तहत अभिव्यक्ति नकारात्मक है।

आइए एक साधारण उदाहरण पर विचार करें।

आइए समीकरण को हल करें:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. आइए मॉड्यूल खोलें।

|x-3|=x-3 अगर x-3≥0, यानी अगर x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x अगर x-3<0, т.е. если х<3

2. हमें दो संख्यात्मक अंतराल मिले: x≥3 और x<3.

विचार करें कि प्रत्येक अंतराल पर मूल समीकरण किस समीकरण में परिवर्तित होता है:

ए) x≥3 |x-3|=x-3 के लिए, और हमारा समीकरण ऐसा दिखता है:

ध्यान! यह समीकरण केवल अंतराल x≥3 पर मौजूद है!

आइए कोष्ठक खोलें, समान सदस्य दें:

और इस समीकरण को हल करें।

इस समीकरण की जड़ें हैं:

एक्स 1 \u003d 0, एक्स 2 \u003d 3

ध्यान! चूंकि समीकरण x-3=-x 2 +4x-3 केवल अंतराल x≥3 पर मौजूद है, हम केवल उन जड़ों में रुचि रखते हैं जो इस अंतराल से संबंधित हैं। यह प्रतिबंध केवल x 2 =3 को संतुष्ट करता है।

बी) एक्स पर<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

ध्यान! यह समीकरण केवल अंतराल x पर मौजूद है<3!

चलिए कोष्ठक खोलते हैं और समान पद देते हैं। हमें समीकरण मिलता है:

एक्स 1 \u003d 2, एक्स 2 \u003d 3

ध्यान! चूँकि समीकरण 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 केवल अंतराल x पर मौजूद है<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

इसलिए: पहले अंतराल से हम केवल मूल x = 3 लेते हैं, दूसरे से - मूल x = 2।

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के बीच प्रति मॉड्यूल उदाहरणअक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जहाँ आपको खोजने की आवश्यकता होती है मॉड्यूल जड़ें मॉड्यूल में, यानी फॉर्म का एक समीकरण
||a*x-b|-c|=k*x+m .
यदि k=0 , अर्थात, दाहिनी ओर एक स्थिरांक (m) के बराबर है, तो समाधान खोजना आसान है रेखांकन मॉड्यूल के साथ समीकरण।नीचे कार्यप्रणाली है डबल मॉड्यूल की तैनातीसामान्य अभ्यास के उदाहरणों पर। मॉड्यूल के साथ समीकरणों की गणना के लिए एल्गोरिदम को अच्छी तरह से समझें, ताकि नियंत्रण, परीक्षण और सिर्फ जानने में समस्या न हो।

उदाहरण 1 मॉड्यूल में समीकरण मॉड्यूल को हल करें |3|x|-5|=-2x-2।
समाधान: हमेशा आंतरिक मॉड्यूल से समीकरणों का विस्तार करना शुरू करें
|x|=0 <->एक्स = 0।
बिंदु x=0 पर, मापांक वाले समीकरण को 2 से विभाजित किया जाता है।
एक्स के लिए< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
x>0 या बराबर के लिए, मापांक का विस्तार करने पर हमें मिलता है
|3x-5|=-2x-2 .
आइए समीकरण को हल करेंनकारात्मक चर के लिए (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

पहले समीकरण से, हम पाते हैं कि समाधान (-1) से अधिक नहीं होना चाहिए, अर्थात

यह प्रतिबंध पूरी तरह से उस क्षेत्र से संबंधित है जिसमें हम हल कर रहे हैं। पहले और दूसरे सिस्टम में समानता के विपरीत पक्षों पर चर और स्थिरांक को स्थानांतरित करते हैं

और एक समाधान खोजें


दोनों मान उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर विचार किया जा रहा है, अर्थात वे जड़ हैं।
सकारात्मक चर के लिए मॉड्यूल वाले समीकरण पर विचार करें
|3x-5|=-2x-2.
मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त होती हैं

पहले समीकरण से, जो दो प्रणालियों के लिए सामान्य है, हम परिचित स्थिति प्राप्त करते हैं

जो, जिस सेट पर हम एक समाधान की तलाश कर रहे हैं, उसके साथ चौराहे पर, एक खाली सेट (कोई चौराहे बिंदु नहीं) देता है। तो मॉड्यूल के साथ मॉड्यूल की जड़ें केवल मूल्य हैं
एक्स = -3; एक्स = -1.4।

उदाहरण 2 मॉड्यूलो ||x-1|-2|=3x-4 के साथ समीकरण को हल करें।
समाधान: आइए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करके प्रारंभ करें
|x-1|=0 <=>एक्स = 1।
एक सबमॉड्यूल फ़ंक्शन एक बार में साइन बदलता है। छोटे मूल्यों पर यह ऋणात्मक होता है, बड़े मूल्यों पर यह सकारात्मक होता है। इसके अनुसार, आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हमें मॉड्यूल के साथ दो समीकरण प्राप्त होते हैं
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
मापांक के साथ समीकरण के दाईं ओर जांचना सुनिश्चित करें, यह शून्य से अधिक होना चाहिए।
3x-4>=0 -> एक्स> = 4/3।
इसका अर्थ है कि पहले समीकरण को हल करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह x के लिए लिखा गया है< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4या x-3=4-3x;
4-3=3x-x या x+3x=4+3;
2x=1 या 4x=7;
x=1/2 या x=7/4।
हमें दो मान मिले, जिनमें से पहला अस्वीकार कर दिया गया है, क्योंकि यह वांछित अंतराल से संबंधित नहीं है। अंतिम समीकरण का एक हल x=7/4 है।

उदाहरण 3 मॉड्यूलो के साथ समीकरण को हल करें ||2x-5|-1|=x+3।
समाधान: आइए आंतरिक मॉड्यूल खोलें
|2x-5|=0 <=>एक्स=5/2=2.5।
बिंदु x=2.5 संख्यात्मक अक्ष को दो अंतरालों में विभाजित करता है। क्रमश, सबमॉड्यूल फ़ंक्शन 2.5 से गुजरने पर चिन्ह बदलता है। आइए हल के साथ शर्त लिखें दाईं ओरसापेक्ष समीकरण।
एक्स+3>=0 -> x>=-3.
तो समाधान मान (-3) से कम नहीं हो सकता है। आंतरिक मापांक के ऋणात्मक मान के लिए मापांक का विस्तार करते हैं
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
यह मॉड्यूल विस्तारित होने पर 2 समीकरण भी देगा
-2x+4=x+3 या 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 या 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 या x=7 ।
मूल्य x=7 अस्वीकार कर दिया गया है, क्योंकि हम अंतराल [-3;2.5] पर एक समाधान की तलाश कर रहे थे। अब x>2.5 के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें। हमें एक मॉड्यूल के साथ एक समीकरण मिलता है
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं
-2x+6=x+3 या 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 या 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 या x=9 ।
पहला मान x=1 शर्त x>2.5 को संतुष्ट नहीं करता है। तो इस अंतराल पर हमारे पास मापांक x=9 के साथ समीकरण की एक जड़ है, और उनमें से केवल दो हैं (x=1/3)। प्रतिस्थापन द्वारा, आप प्रदर्शन की गई गणनाओं की शुद्धता की जांच कर सकते हैं
उत्तर: x=1/3; एक्स = 9।

उदाहरण 4 डबल मॉड्यूल का समाधान खोजें ||3x-1|-5|=2x-3.
हल: समीकरण के आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें
|3x-1|=0 <=>एक्स = 1/3।
बिंदु x=2.5 संख्यात्मक अक्ष को दो अंतरालों में विभाजित करता है, और दिए गए समीकरण को दो स्थितियों में विभाजित करता है। हम दाहिनी ओर समीकरण के प्रकार के आधार पर समाधान के लिए शर्त लिखते हैं
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
यह इस प्रकार है कि हम मूल्यों में रुचि रखते हैं >=1.5 । इस प्रकार मॉड्यूलर समीकरण दो अंतराल देखें
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
परिणामी मॉड्यूल, विस्तारित होने पर, 2 समीकरणों में बांटा गया है
-3x-4=2x-3 या 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 या 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 या x=-7 ।
दोनों मान अंतराल में नहीं आते हैं, अर्थात, वे मॉड्यूल के साथ समीकरण के समाधान नहीं हैं। अगला, x>2.5 के लिए मापांक का विस्तार करें। हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम 2 रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं
3x-6=2x-3 या –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6या 2x+3x=6+3;
x=3 या 5x=9; एक्स=9/5=1.8।
पाया गया दूसरा मान x>2.5 शर्त को पूरा नहीं करता है, हम इसे अस्वीकार करते हैं।
अंत में हमारे पास मॉड्यूल x=3 के साथ समीकरण का एक मूल है।
हम एक चेक करते हैं
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
मापांक के साथ समीकरण का मूल सही ढंग से परिकलित किया गया है।
उत्तर: x=1/3; एक्स = 9।