Vse formule za pravilno trikotno piramido. Piramida in njeni elementi

Hipoteza: verjamemo, da je popolnost oblike piramide posledica matematičnih zakonov, ki so del njene oblike.

Cilj: Ko ste preučili piramido kot geometrijsko telo, razložite popolnost njene oblike.

Naloge:

1. Podajte matematično definicijo piramide.

2. Preučite piramido kot geometrijsko telo.

3. Razumeti, kakšno matematično znanje so Egipčani vključili v svoje piramide.

Zasebna vprašanja:

1. Kaj je piramida kot geometrijsko telo?

2. Kako je mogoče edinstveno obliko piramide razložiti z matematičnega vidika?

3. Kaj pojasnjuje geometrijske čudeže piramide?

4. Kaj pojasnjuje popolnost oblike piramide?

Opredelitev piramide.

PIRAMIDA (iz grške pyramis, gen. pyramidos) - polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa so trikotniki, ki imajo skupno oglišče (risba). Piramide glede na število vogalov baze delimo na trikotne, štirikotne itd.

PIRAMIDA - monumentalna zgradba, ki ima geometrijsko obliko piramide (včasih tudi stopničaste ali stolpaste). Piramide so ime za velikanske grobnice staroegipčanskih faraonov 3.-2. tisočletja pr. e., kot tudi starodavni ameriški tempeljski podstavki (v Mehiki, Gvatemali, Hondurasu, Peruju), povezani s kozmološkimi kulti.

Možno je, da grška beseda "piramida" izhaja iz egipčanskega izraza per-em-us, torej iz izraza, ki pomeni višino piramide. Izjemni ruski egiptolog V. Struve je menil, da grški "puram...j" izvira iz staroegipčanskega "p"-mr".

Iz zgodovine. Po preučevanju gradiva v učbeniku "Geometrija" avtorjev Atanasyan. Butuzova in drugih, smo izvedeli, da: Polieder, sestavljen iz n-kotnika A1A2A3 ... An in n trikotnikov PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, se imenuje piramida. Mnogokotnik A1A2A3 ... An je osnova piramide, trikotniki PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 pa so stranski obrazi piramide, P – vrh piramide, segmenti PA1, PA2,…, PAn – stranski robovi.

Vendar ta definicija piramide ni vedno obstajala. Na primer, starogrški matematik, avtor teoretičnih razprav o matematiki, ki je prišel do nas, Evklid, definira piramido kot trdno figuro, omejeno z ravninami, ki se zbližujejo iz ene ravnine v eno točko.

Toda ta definicija je bila kritizirana že v starih časih. Zato je Heron predlagal naslednjo definicijo piramide: "To je figura, omejena s trikotniki, ki se zbirajo v eni točki in katere osnova je mnogokotnik."

Naša skupina je po primerjavi teh definicij prišla do zaključka, da nimajo jasne formulacije pojma "temelj".

Preučili smo te definicije in našli definicijo Adriena Marie Legendra, ki je leta 1794 v svojem delu "Elementi geometrije" definiral piramido takole: "Piramida je trdna figura, ki jo sestavljajo trikotniki, ki se zbirajo v eni točki in končajo na različnih straneh ravno podlago."

Zdi se nam, da zadnja definicija daje jasno predstavo o piramidi, saj govori o tem, da je osnova ravna. Druga definicija piramide se je pojavila v učbeniku iz 19. stoletja: "piramida je telesni kot, ki ga seka ravnina."

Piramida kot geometrijsko telo.

to. Piramida je polieder, katerega ena ploskev (osnova) je mnogokotnik, ostale ploskve (stranice) pa so trikotniki, ki imajo eno skupno oglišče (oglišče piramide).

Navpičnica, ki je potegnjena z vrha piramide na ravnino osnove, se imenuje višinah piramide.

Poleg poljubne piramide obstajajo pravilna piramida na osnovi katerega je pravilen mnogokotnik in prisekana piramida.

Na sliki je piramida PABCD, ABCD je njena osnova, PO je njena višina.

Območje polna površina piramida je vsota ploščin vseh njenih ploskev.

Polna = Sstran + Smain, Kje Stran– vsota površin stranskih ploskev.

Prostornina piramide se najde po formuli:

V=1/3Sbas. h, kjer Sbas. - osnovna površina, h- višina.

Os pravilne piramide je premica, ki vsebuje njeno višino.
Apotem ST je višina stranske ploskve pravilne piramide.

Območje stranske ploskve pravilne piramide je izraženo na naslednji način: Sstran. =1/2P h, kjer je P obseg baze, h- višina stranske ploskve (apotem pravilne piramide). Če piramido seka ravnina A’B’C’D’, vzporedna z osnovo, potem:

1) stranska rebra in višina so s to ravnino razdeljeni na sorazmerne dele;

2) v prerezu dobimo mnogokotnik A’B’C’D’, podoben osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove prisekane piramide– podobna mnogokotnika ABCD in A`B`C`D`, stranske ploskve so trapezi.

Višina prisekana piramida - razdalja med bazami.

Okrnjena glasnost piramido najdemo po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne prisekane piramide je izražen kot sledi: Sstran = ½(P+P') h, kjer sta P in P’ obsega baz, h- višina stranske ploskve (apotem pravilne prisekane pirame

Odseki piramide.

Odseki piramide z ravninami, ki potekajo skozi njen vrh, so trikotniki.

Odsek, ki poteka skozi dva nesosednja stranska robova piramide, se imenuje diagonalni odsek.

Če prerez poteka skozi točko na stranskem robu in strani podnožja, bo njegova sled do ravnine podnožja piramide ta stran.

Odsek, ki poteka skozi točko, ki leži na obrazu piramide, in dano sled odseka na osnovni ravnini, potem je treba konstrukcijo izvesti na naslednji način:

· poiščejo presečišče ravnine dane ploskve in sled prereza piramide ter jo označijo;

zgradite premico, ki poteka skozi dano točko in nastalo presečišče;

· ponovite te korake za naslednje obraze.

, kar ustreza razmerju krakov pravokotnega trikotnika 4:3. To razmerje nog ustreza dobro znanemu pravokotnemu trikotniku s stranicami 3:4:5, ki se imenuje "popolni", "sveti" ali "egipčanski" trikotnik. Po mnenju zgodovinarjev je "egipčanski" trikotnik dobil magični pomen. Plutarh je zapisal, da so Egipčani primerjali naravo vesolja s »svetim« trikotnikom; navpični krak so simbolično primerjali z možem, osnovo z ženo in hipotenuzo s tistim, kar je rojeno iz obeh.

Za trikotnik 3:4:5 velja enakost: 32 + 42 = 52, kar izraža Pitagorov izrek. Ali niso egiptovski svečeniki želeli ovekovečiti tega izreka s postavitvijo piramide, ki temelji na trikotniku 3:4:5? Težko je najti uspešnejši primer za ponazoritev Pitagorovega izreka, ki so ga Egipčani poznali že dolgo preden ga je odkril Pitagora.

Tako so si briljantni ustvarjalci egipčanskih piramid prizadevali presenetiti daljne potomce z globino svojega znanja in to so dosegli z izbiro "zlatega" pravokotnega trikotnika kot "glavne geometrijske ideje" za Keopsovo piramido in "sveto" ali »egipčanski« za Kefrenovo piramido.

Znanstveniki v svojih raziskavah zelo pogosto uporabljajo lastnosti piramid s proporci zlatega reza.

Pri matematiki enciklopedični slovar Podana je naslednja definicija zlatega reza - to je harmonična delitev, delitev v skrajnem in povprečnem razmerju - delitev odseka AB na dva dela tako, da je njegov večji del AC povprečno sorazmerje med celotnim odsekom AB in njegovim manjši del SV.

Algebraična določitev zlatega reza segmenta AB = a zmanjša na reševanje enačbe a: x = x: (a – x), pri čemer je x približno enak 0,62a. Razmerje x lahko izrazimo kot ulomke 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kjer so 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonaccijeva števila.

Geometrijska konstrukcija zlatega reza segmenta AB je izvedena na naslednji način: v točki B je obnovljena pravokotnica na AB, na njej je položen segment BE = 1/2 AB, A in E sta povezana, DE = BE je odpuščen in končno je AC = AD, potem je izpolnjena enakost AB: CB = 2:3.

zlata sredina pogosto uporabljen v umetniških delih, arhitekturi in v naravi. Živa primera sta skulptura Apolona Belvedere in Partenon. Pri gradnji Partenona je bilo uporabljeno razmerje med višino stavbe in njeno dolžino in to razmerje je 0,618. Predmeti okoli nas so tudi primeri zlatega reza, na primer, vezave mnogih knjig imajo razmerje med širino in dolžino blizu 0,618. Če upoštevamo razporeditev listov na skupnem steblu rastlin, lahko opazimo, da se med vsakima dvema paroma listov tretji nahaja na zlatem rezu (diapozitivi). Vsak od nas »nosi« zlati rez s seboj »v rokah« - to je razmerje med falangami prstov.

Zahvaljujoč odkritju več matematičnih papirusov so se egiptologi naučili nekaj o staroegipčanskih sistemih računanja in merjenja. Naloge, ki jih vsebujejo, so reševali pisarji. Eden najbolj znanih je Rhindov matematični papirus. S proučevanjem teh problemov so egiptologi izvedeli, kako so stari Egipčani obravnavali različne količine, ki so se pojavile pri računanju mer teže, dolžine in prostornine, ki so pogosto vključevale ulomke, pa tudi, kako so ravnali s koti.

Stari Egipčani so uporabljali metodo izračunavanja kotov na podlagi razmerja med višino in osnovo pravokotnega trikotnika. Vsak kot so izrazili v jeziku gradienta. Gradient naklona je bil izražen kot razmerje celih števil, imenovano "seced". Richard Pillins v Mathematics in the Age of the Pharaohs pojasnjuje: »Seked pravilne piramide je naklon katere koli od štirih trikotnih ploskev glede na ravnino osnove, merjen z n-tim številom vodoravnih enot na navpično enoto višine. . Tako je ta merska enota enakovredna našemu sodobnemu kotangensu kota naklona. Zato je egipčanska beseda "odcepljena" sorodna naši sodobna beseda"gradient"".

Numerični ključ do piramid je v razmerju med njihovo višino in osnovo. Praktično gledano je to najlažji način, da naredimo šablone, ki so potrebne za stalno preverjanje pravilnega kota naklona skozi celotno konstrukcijo piramide.

Egiptologi bi nas z veseljem prepričali, da je vsak faraon hrepenel po izražanju svoje individualnosti, od tod tudi razlike v naklonskih kotih vsake piramide. Lahko pa obstaja še en razlog. Morda so vsi želeli utelešati različne simbolne asociacije, skrite v različnih razmerjih. Vendar pa se kot Khafrejeve piramide (ki temelji na trikotniku (3:4:5) pojavlja v treh problemih, ki jih predstavljajo piramide v Rhindovem matematičnem papirusu). Tako so ta odnos dobro poznali stari Egipčani.

Če smo pošteni do egiptologov, ki trdijo, da stari Egipčani niso poznali trikotnika 3:4:5, dolžina hipotenuze 5 ni bila nikoli omenjena. Ampak matematične težave vprašanja v zvezi s piramidami se vedno odločajo na podlagi drugega kota - razmerja med višino in osnovo. Ker dolžina hipotenuze ni bila nikoli omenjena, je bilo ugotovljeno, da Egipčani nikoli niso izračunali dolžine tretje stranice.

Razmerja med višino in osnovo, uporabljena v piramidah v Gizi, so nedvomno poznali stari Egipčani. Možno je, da so bila ta razmerja za vsako piramido izbrana poljubno. Vendar je to v nasprotju s pomenom, ki se pripisuje simboliki številk v vseh vrstah egipčanske likovne umetnosti. Zelo verjetno je, da so bili takšni odnosi pomembni, ker so izražali posebne verske ideje. Z drugimi besedami, celoten kompleks Gize je bil podrejen skladni zasnovi, zasnovani tako, da odraža določeno božansko temo. To bi pojasnilo, zakaj so oblikovalci izbrali različne kote za tri piramide.

V Skrivnosti Oriona sta Bauval in Gilbert predstavila prepričljive dokaze, ki povezujejo piramide v Gizi z ozvezdjem Orion, zlasti z zvezdami Orionovega pasu.Ista konstelacija je prisotna v mitu o Izidi in Ozirisu in obstaja razlog za vsaka piramida kot predstavitev enega od treh glavnih božanstev – Ozirisa, Izide in Horusa.

»GEOMETRIJSKI« ČUDEŽI.

Med veličastnimi piramidami Egipta zavzema posebno mesto Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Preden začnemo analizirati obliko in velikost Keopsove piramide, se spomnimo, kakšen sistem ukrepov so uporabljali Egipčani. Egipčani so imeli tri enote za dolžino: "komolec" (466 mm), ki je bil enak sedmim "dlani" (66,5 mm), kar je bilo enako štirim "prstom" (16,6 mm).

Analizirajmo razsežnosti Keopsove piramide (slika 2) po argumentih, podanih v čudoviti knjigi ukrajinskega znanstvenika Nikolaja Vasjutinskega »Zlati delež« (1990).

Večina raziskovalcev se strinja, da je dolžina stranice baze piramide npr. GF enako L= 233,16 m Ta vrednost skoraj natančno ustreza 500 "komolcem". Popolna skladnost s 500 "komolci" bo dosežena, če se šteje, da je dolžina "komolca" enaka 0,4663 m.

Višina piramide ( H) raziskovalci ocenjujejo različno od 146,6 do 148,2 m. In glede na sprejeto višino piramide se spreminjajo vsa razmerja njenih geometrijskih elementov. Kaj je razlog za razlike v ocenah višine piramide? Dejstvo je, da je Cheopsova piramida, strogo gledano, okrnjena. Njena zgornja ploščad danes meri približno 10 ´ 10 m, pred stoletjem pa je bila 6 ´ 6 m. Očitno je bil vrh piramide razstavljen in ne ustreza prvotnemu.

Pri ocenjevanju višine piramide je treba to upoštevati fizični dejavnik, kot "osnutek" strukture. zadaj dolgo časa pod vplivom kolosalnega pritiska (ki je dosegel 500 ton na 1 m2 spodnje površine) se je višina piramide zmanjšala glede na prvotno višino.

Kakšna je bila prvotna višina piramide? To višino je mogoče ponovno ustvariti z iskanjem osnovne "geometrijske ideje" piramide.

Slika 2.

Leta 1837 je angleški polkovnik G. Wise izmeril kot naklona ploskev piramide: izkazalo se je, da je enak a= 51°51". To vrednost še danes priznava večina raziskovalcev. Navedena vrednost kota ustreza tangenti (tg a), enako 1,27306. Ta vrednost ustreza razmerju višine piramide AC do polovice svoje osnove C.B.(slika 2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

In tukaj je raziskovalce čakalo veliko presenečenje!.png" width="25" height="24">= 1,272. Primerjava te vrednosti z vrednostjo tg a= 1,27306, vidimo, da so te vrednosti zelo blizu druga drugi. Če vzamemo kot a= 51°50", to pomeni, da ga zmanjšate za samo eno kotno minuto, nato vrednost a bo postalo enako 1,272, kar pomeni, da bo sovpadalo z vrednostjo. Opozoriti je treba, da je leta 1840 G. Wise ponovil svoje meritve in pojasnil, da je vrednost kota a=51°50".

Te meritve so raziskovalce pripeljale do naslednje zelo zanimive hipoteze: trikotnik ACB Keopsove piramide je temeljil na relaciji AC / C.B. = = 1,272!

Razmislite zdaj o pravokotnem trikotniku ABC, pri katerem je razmerje nog A.C. / C.B.= (slika 2). Če zdaj dolžine stranic pravokotnika ABC določi z x, l, z, pri čemer upoštevajte tudi, da razmerje l/x= , potem je v skladu s Pitagorovim izrekom dolžina z se lahko izračuna po formuli:

Če sprejmemo x = 1, l= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3."Zlati" pravokotni trikotnik.

Pravokotni trikotnik, katerega stranice so povezane kot t:zlati" pravokotni trikotnik.

Potem, če za osnovo vzamemo hipotezo, da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlati" pravokotni trikotnik, potem lahko od tu zlahka izračunamo "načrtno" višino Keopsove piramide. Je enako:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Izpeljimo zdaj nekaj drugih razmerij za Keopsovo piramido, ki izhajajo iz »zlate« hipoteze. Zlasti bomo našli razmerje med zunanjo površino piramide in površino njene baze. Da bi to naredili, vzamemo dolžino noge C.B. na enoto, to je: C.B.= 1. Potem pa dolžina stranice baze piramide GF= 2, in površina baze EFGH bo enakovreden SEFGH = 4.

Zdaj izračunajmo površino stranske ploskve Keopsove piramide SD. Ker višina AB trikotnik AEF enako t, potem bo površina stranske ploskve enaka SD = t. Potem bo skupna površina vseh štirih stranskih ploskev piramide enaka 4 t, in razmerje med celotno zunanjo površino piramide in površino baze bo enako zlatemu rezu! To je to - glavna geometrijska skrivnost Keopsove piramide!

Skupina »geometrijskih čudežev« Keopsove piramide vključuje resnične in navidezne lastnosti odnosov med različnimi dimenzijami v piramidi.

Praviloma se pridobijo pri iskanju določenih "konstant", zlasti števila "pi" (Ludolfovo število), ki je enako 3,14159 ...; razlogov naravni logaritmi"e" (Neperjevo število), enako 2,71828 ...; številka "F", številka "zlatega reza", enaka na primer 0,618 ... itd.

Poimenujete lahko na primer: 1) Lastnina Herodota: (Višina)2 = 0,5 art. osnovni x Apotem; 2) Lastnina V. Cena: Višina: 0,5 čl. osnova = kvadratni koren iz "F"; 3) Lastnost M. Eista: Obseg baze: 2 Višina = "Pi"; v drugačni interpretaciji - 2 žlici. osnovni : Višina = "Pi"; 4) Lastnost G. Edge: Polmer včrtanega kroga: 0,5 art. osnovni = "F"; 5) Lastnina K. Kleppischa: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. .osnova X Apotem) + (čl. osnova)2). itd. Takšnih lastnosti lahko najdete veliko, še posebej, če povežete dve sosednji piramidi. Na primer, kot »Lastnosti A. Arefjeva« je mogoče omeniti, da je razlika v prostornini Keopsove in Kefrenove piramide enaka dvakratni prostornini Mikerinove piramide ...

Mnogi zanimive določbe Zlasti je gradnja piramid v skladu z "zlatim rezom" opisana v knjigah D. Hambidgea "Dinamična simetrija v arhitekturi" in M. Gicka "Estetika sorazmernosti v naravi in ​​umetnosti." Spomnimo se, da je »zlati rez« delitev segmenta v takšnem razmerju, da je del A tolikokrat večji od dela B, kolikokrat je A manjši od celotnega segmenta A + B. Razmerje A/B je enako številu "F" == 1,618 ... Uporaba "zlatega reza" ni navedena samo v posameznih piramidah, ampak tudi v celotnem kompleksu piramid v Gizi.

Najbolj zanimivo pa je, da ena in ista Keopsova piramida preprosto »ne more« vsebovati toliko čudovitih lastnosti. Če vzamemo določeno lastnost eno za drugo, jo je mogoče "vgraditi", vendar se vse ne prilegajo hkrati - ne sovpadajo, nasprotujejo si. Če torej na primer pri preverjanju vseh lastnosti na začetku vzamemo isto stran baze piramide (233 m), potem bodo tudi višine piramid z različnimi lastnostmi različne. Z drugimi besedami, obstaja določena "družina" piramid, ki so navzven podobne Keopsovi, vendar ustrezajo različne lastnosti. Upoštevajte, da v "geometrijskih" lastnostih ni nič posebej čudežnega - veliko se pojavi čisto samodejno, iz lastnosti same figure. Za "čudež" je treba šteti le nekaj, kar je bilo za stare Egipčane očitno nemogoče. Sem sodijo zlasti »kozmični« čudeži, pri katerih meritve Keopsove piramide ali piramidnega kompleksa v Gizi primerjajo z nekaterimi astronomskimi meritvami in navajajo »sode« številke: milijonkrat manj, milijardokrat manj in tako naprej Poglejmo nekaj "kozmičnih" odnosov.

Ena od izjav je: "če delite stran baze piramide s točno dolžino leta, dobite natanko 10 milijonink zemeljske osi." Izračunaj: 233 delimo s 365, dobimo 0,638. Polmer Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je pravzaprav nasprotna prejšnji. F. Noetling je poudaril, da če uporabimo "egipčanski komolec", ki ga je sam izumil, bo stran piramide ustrezala "najbolj natančnemu trajanju sončnega leta, izraženemu na najbližjo milijardo dneva" - 365.540. 903.777.

Izjava P. Smitha: "Višina piramide je natanko milijarda razdalje od Zemlje do Sonca." Čeprav je običajna višina 146,6 m, jo ​​je Smith vzel za 148,2 m. Po sodobnih radarskih meritvah je velika pol os zemeljske orbite 149.597.870 + 1,6 km. To je povprečna razdalja od Zemlje do Sonca, vendar je v periheliju 5.000.000 kilometrov manj kot v afelu.

Še zadnja zanimiva izjava:

"Kako lahko razložimo, da so mase Keopsove, Kefrenove in Mikerinove piramide povezane med seboj, kot so mase planetov Zemlje, Venere, Marsa?" Izračunajmo. Mase treh piramid so: Khafre - 0,835; Keops - 1000; Mikerin - 0,0915. Razmerja mas treh planetov: Venera - 0,815; Zemlja - 1.000; Mars - 0,108.

Torej kljub skepticizmu opazimo dobro znano harmonijo konstrukcije izjav: 1) višina piramide, kot črta, ki "gre v vesolje", ustreza razdalji od Zemlje do Sonca; 2) stran baze piramide, ki je najbližja "substratu", to je Zemlji, je odgovorna za zemeljski polmer in zemeljsko kroženje; 3) prostornine piramide (beri - mase) ustrezajo razmerju mas planetov, ki so najbližje Zemlji. Podobno »šifro« lahko zasledimo na primer v čebeljem jeziku, ki ga je analiziral Karl von Frisch. Vendar se bomo zaenkrat vzdržali komentarjev na to temo.

PIRAMIDNA OBLIKA

Slavna tetraedrska oblika piramid ni nastala takoj. Skiti so izdelovali pokope v obliki zemeljskih gričev - gomil. Egipčani so gradili "hribe" iz kamna - piramide. Prvič se je to zgodilo po združitvi Zgornjega in Spodnjega Egipta, v 28. stoletju pred našim štetjem, ko je bil ustanovitelj tretje dinastije faraon Džoser (Zoser) postavljen pred nalogo krepitve enotnosti države.

In tukaj, po mnenju zgodovinarjev, pomembno vlogo»Novi koncept oboževanja« kralja je igral vlogo pri krepitvi centralne oblasti. Čeprav so se kraljevi pokopi odlikovali z večjim sijajem, se načeloma niso razlikovali od grobnic dvornih plemičev, bile so enake strukture - mastabe. Nad komoro s sarkofagom, v katerem je bila mumija, je bil nasut pravokoten hrib majhnih kamnov, kjer je bila nato postavljena majhna zgradba iz velikih kamnitih blokov - "mastaba" (v arabščini - "klop"). Faraon Džoser je postavil prvo piramido na mestu mastabe svojega predhodnika Sanakhta. Bila je stopničasta in je bila vidna prehodna stopnja od ene arhitekturne oblike do druge, od mastabe do piramide.

Na ta način je modrec in arhitekt Imhotep, ki so ga kasneje imeli za čarovnika in so ga Grki istovetili z bogom Asklepijem, »vzgojil« faraona. Bilo je, kot da bi postavili šest mastab v vrsto. Poleg tega je prva piramida zasedla površino 1125 x 115 metrov, z ocenjeno višino 66 metrov (po egiptovskih standardih - 1000 "dlani"). Sprva je arhitekt načrtoval gradnjo mastabe, vendar ne podolgovate, ampak kvadratne oblike. Kasneje so ga razširili, a ker je bil prizidek nižji, se je zdelo, da sta stopnici dve.

Takšna situacija arhitekta ni zadovoljila in na zgornjo ploščad ogromne ravne mastabe je Imhotep postavil še tri, ki so se postopoma zmanjševale proti vrhu. Grobnica se je nahajala pod piramido.

Znanih je še več stopničastih piramid, pozneje pa so graditelji prešli na gradnjo nam bolj znanih tetraedrskih piramid. Zakaj pa ne trikotne ali recimo osmerokotne? Posredni odgovor daje dejstvo, da so skoraj vse piramide popolnoma usmerjene vzdolž štirih kardinalnih smeri in imajo torej štiri stranice. Poleg tega je bila piramida "hiša", lupina štirikotne pogrebne komore.

Toda kaj je določilo kot naklona obrazov? V knjigi "Načelo proporcij" je temu posvečeno celotno poglavje: "Kaj bi lahko določilo kote naklona piramid." Zlasti je navedeno, da je »podoba, h kateri gravitirajo velike piramide Starega kraljestva, trikotnik s pravim kotom na vrhu.

V vesolju je to pol-oktaeder: piramida, v kateri so robovi in ​​stranice baze enaki, robovi so enakostranični trikotniki.« Nekatera razmišljanja o tej temi so podana v knjigah Hambidgea, Gicka in drugih.

Kakšna je prednost pol-oktaedrskega kota? Po opisih arheologov in zgodovinarjev so se nekatere piramide zrušile pod lastno težo. Potreben je bil »kot dolgoživosti«, kot, ki je energijsko najbolj zanesljiv. Povsem empirično lahko ta kot vzamemo iz vrhnega kota v kupu razpadajočega suhega peska. Če pa želite dobiti natančne podatke, morate uporabiti model. Če vzamete štiri trdno pritrjene krogle, morate nanje postaviti peto in izmeriti kote naklona. Tu pa lahko naredite napako, zato pomaga teoretični izračun: središča kroglic morate povezati s črtami (miselno). Osnova bo kvadrat s stranico, ki je enaka dvakratnemu polmeru. Kvadrat bo samo osnova piramide, katere dolžina robov bo prav tako enaka dvakratnemu polmeru.

Tako nam bo tesno pakiranje kroglic, kot je 1:4, dalo navaden pol-oktaeder.

Vendar, zakaj mnoge piramide, ki gravitirajo k podobni obliki, kljub temu ne ohranijo? Verjetno se piramide starajo. V nasprotju s slavnim izrekom:

"Vse na svetu se boji časa in čas se boji piramid," zgradbe piramid se morajo starati, v njih se lahko in morajo zgoditi ne le procesi zunanjega preperevanja, ampak tudi procesi notranjega "krčenja", iz katerega piramide lahko postanejo nižje. Krčenje je možno tudi zato, ker so, kot je razkrilo delo D. Davidovitsa, stari Egipčani uporabljali tehnologijo izdelave blokov iz apnenih drobcev, z drugimi besedami, iz "betona". Prav podobni procesi bi lahko pojasnili razlog za uničenje piramide Medum, ki leži 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 let, dimenzije baze so 146 x 146 m, višina 118 m. »Zakaj je tako iznakažena?« se sprašuje V. Zamarovsky.« Običajna sklicevanja na uničujoče učinke časa in »uporabo kamna za druge zgradbe« tukaj niso primerna.

Navsezadnje je večina njenih blokov in obloženih plošč ostala na svojem mestu do danes, v ruševinah ob njenem vznožju." Kot bomo videli, nas številne določbe celo navajajo na razmišljanje, da je tudi znamenita Keopsova piramida "skrčena". v vsakem primeru so na vseh starodavnih slikah piramide koničaste ...

Oblika piramid bi lahko nastala tudi s posnemanjem: kakšni naravni vzorci, »čudežna popolnost«, recimo kakšni kristali v obliki oktaedra.

Podobni kristali so lahko diamantni in zlati kristali. Značilno veliko število"prekrivajoči" znaki za koncepte, kot so faraon, sonce, zlato, diamant. Povsod - plemenito, briljantno (briljantno), odlično, brezhibno in tako naprej. Podobnosti niso naključne.

Solarni kult je bil, kot je znano, pomemben del religije Starodavni Egipt. »Ne glede na to, kako prevajamo ime največje piramide,« ugotavlja eden od sodobnih priročnikov »The Sky of Khufu« ali »The Skyward Khufu«, je to pomenilo, da je kralj sonce.« Če si je Khufu v sijaju svoje moči predstavljal, da je drugo sonce, potem je njegov sin Djedef-Ra postal prvi izmed egiptovskih kraljev, ki se je imenoval »sin Raja«, to je sin Sonca. Sonce je skoraj pri vseh ljudstvih simbolizirala »sončna kovina«, zlato. "Velik disk svetlega zlata" - tako so Egipčani imenovali našo dnevno svetlobo. Egipčani so odlično poznali zlato, poznali so njegove izvorne oblike, kjer se zlati kristali lahko pojavijo v obliki oktaedrov.

»Sončni kamen« – diamant – je tu zanimiv tudi kot »vzorec oblik«. Ime diamanta je prišlo ravno iz arabskega sveta, "almas" - najtrši, najtrši, neuničljiv. Stari Egipčani so dobro poznali diamant in njegove lastnosti. Po mnenju nekaterih avtorjev so za vrtanje uporabljali celo bronaste cevi z diamantnimi rezalniki.

Danes je glavni dobavitelj diamantov Južna Afrika, vendar je tudi zahodna Afrika bogata z diamanti. Ozemlje Republike Mali se celo imenuje "diamantna dežela". Medtem pa na ozemlju Malija živijo Dogoni, s katerimi zagovorniki hipoteze o paleo-obisku polagajo veliko upov (glej spodaj). Diamanti niso mogli biti razlog za stike starih Egipčanov s to regijo. Kakorkoli že, možno je, da so stari Egipčani ravno s kopiranjem oktaedrov diamantnih in zlatih kristalov pobožali faraone, »neuničljive« kot diamant in »briljantne« kot zlato, Sončeve sinove, primerljive samo z njimi. do najčudovitejših stvaritev narave.

Zaključek:

Ko smo preučevali piramido kot geometrijsko telo, se seznanili z njenimi elementi in lastnostmi, smo se prepričali o utemeljenosti mnenja o lepoti oblike piramide.

Kot rezultat naše raziskave smo prišli do zaključka, da so Egipčani, ko so zbrali najdragocenejše matematično znanje, to utelešili v piramidi. Zato je piramida resnično najpopolnejša stvaritev narave in človeka.

BIBLIOGRAFIJA

"Geometrija: učbenik. za 7-9 razred. Splošna izobrazba institucije\ itd - 9. izd. - M .: Izobraževanje, 1999

Zgodovina matematike v šoli, M: "Prosveshchenie", 1982.

Geometrija 10-11 razreda, M: "Razsvetljenje", 2000

Peter Tompkins "Skrivnosti Velike Keopsove piramide", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Internetni viri

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Opredelitev. Stranski rob- to je trikotnik, v katerem en kot leži na vrhu piramide, nasprotna stran pa sovpada s stranjo baze (poligona).

Opredelitev. Stranska rebra- to so skupne stranice stranskih ploskev. Piramida ima toliko robov, kolikor je kotov mnogokotnika.

Opredelitev. Višina piramide- to je pravokotnik, spuščen od vrha do dna piramide.

Opredelitev. Apotema- to je pravokotna na stransko ploskev piramide, spuščena z vrha piramide na stran baze.

Opredelitev. Diagonalni odsek- to je odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze.

Opredelitev. Pravilna piramida je piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, višina pa se spušča v središče baze.

Prostornina in površina piramide

Formula. Prostornina piramide skozi osnovno površino in višino:

Lastnosti piramide

Če so vsi stranski robovi enaki, potem lahko okoli baze piramide narišemo krog, središče baze pa sovpada s središčem kroga. Tudi navpičnica, spuščena z vrha, poteka skozi središče osnove (kroga).

Če so vsi stranski robovi enaki, potem so nagnjeni na ravnino podnožja pod enakimi koti.

Stranska rebra so enaka, ko se tvorijo z ravnino baze enaki koti ali če je mogoče opisati krog okoli baze piramide.

Če so stranske ploskve nagnjene na ravnino podnožja pod enakim kotom, se lahko v osnovo piramide vpiše krog, vrh piramide pa se projicira v njeno središče.

Če sta stranski ploskvi nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom, sta apotemi stranskih ploskvi enaki.

Lastnosti pravilne piramide

1. Vrh piramide je enako oddaljen od vseh vogalov osnove.

2. Vsi stranski robovi so enaki.

3. Vsa stranska rebra so nagnjena pod enakim kotom na podlago.

4. Apoteme vseh stranskih ploskev so enake.

5. Ploščine vseh stranskih ploskev so enake.

6. Vse ploskve imajo enake diedrske (ploske) kote.

7. Okoli piramide lahko opišemo kroglo. Središče obrobljene krogle bo presečišče navpičnic, ki gredo skozi sredino robov.

8. Kroglo lahko vgradite v piramido. Središče včrtane krogle bo točka presečišča simetral, ki izhajajo iz kota med robom in bazo.

9. Če središče včrtane krogle sovpada s središčem obrobljene krogle, potem je vsota ravninskih kotov pri oglišču enaka π ali obratno, en kot je enak π/n, kjer je n število kotov na dnu piramide.

Povezava med piramido in kroglo

Kroglo je mogoče opisati okoli piramide, če je na dnu piramide polieder, okoli katerega je mogoče opisati krog (potrebno in zadosten pogoj). Središče krogle bo presečišče ravnin, ki potekajo pravokotno skozi središča stranskih robov piramide.

Okoli vsake trikotne ali pravilne piramide je vedno mogoče opisati kroglo.

Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v eni točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo središče krogle.

Povezava piramide s stožcem

Pravimo, da je stožec vpisan v piramido, če njuni oglišči sovpadata in je osnova stožca včrtana v osnovi piramide.

Stožec je mogoče vpisati v piramido, če so apoteme piramide med seboj enake.

Pravimo, da je stožec obpisan okoli piramide, če njuni oglišči sovpadata in je vznožje stožca obkroženo okoli vznožja piramide.

Okoli piramide lahko opišemo stožec, če so vsi stranski robovi piramide med seboj enaki.

Razmerje med piramido in valjem

Piramida se imenuje včrtana v valj, če vrh piramide leži na eni podlagi valja, osnova piramide pa je včrtana v drugo osnovo valja.

Okoli piramide lahko opišemo valj, če lahko opišemo krog okoli vznožja piramide.

Opredelitev. Prisekana piramida (piramidalna prizma) je polieder, ki se nahaja med osnovo piramide in prerezno ravnino, vzporedno z osnovo. Tako ima piramida velika baza in manjšo osnovo, ki je podobna večji. Stranske ploskve so trapezaste.

Opredelitev. Trikotna piramida (tetraeder) je piramida, v kateri so tri ploskve in osnova poljubni trikotniki.

Tetraeder ima štiri ploskve in štiri oglišča ter šest robov, pri čemer katera koli dva roba nimata skupnih oglišč, vendar se ne dotikata.

Vsako oglišče je sestavljeno iz treh ploskev in robov, ki tvorijo trikotni kot.

Odsek, ki povezuje oglišče tetraedra s središčem nasprotne ploskve, se imenuje mediana tetraedra(GM).

Bimedian imenovan segment, ki povezuje središča nasprotnih robov, ki se ne dotikajo (KL).

Vse bimediane in mediane tetraedra se sekajo v eni točki (S). V tem primeru so bimediane razdeljene na pol, mediane pa v razmerju 3:1, začenši od vrha.

Opredelitev. Poševna piramida je piramida, pri kateri eden od robov z osnovo tvori top kot (β).

Opredelitev. Pravokotna piramida je piramida, pri kateri je ena od stranskih ploskev pravokotna na osnovo.

Opredelitev. Ostrokotna piramida- piramida, v kateri je apotem več kot polovica dolžine stranice baze.

Opredelitev. Topa piramida- piramida, pri kateri je apotem krajši od polovice stranice baze.

Opredelitev. Pravilni tetraeder- tetraeder, v katerem so vse štiri ploskve enakostranični trikotniki. Je eden izmed petih pravilnih mnogokotnikov. IN pravilni tetraeder vsi diedrski koti (med ploskvami) in triedrski koti (pri vrhu) so enaki.

Opredelitev. Pravokotni tetraeder je tetraeder s pravim kotom med tremi robovi na vrhu (robovi so pravokotni). Oblikujejo se trije obrazi pravokoten trikotni kot in ploskve so pravokotni trikotnik, osnova pa poljuben trikotnik. Apotem katere koli ploskve je enak polovici stranice osnove, na katero pade apotem.

Opredelitev. Izoedrski tetraeder imenujemo tetraeder, katerega stranske ploskve so med seboj enake, osnova pa je navaden trikotnik. Takšen tetraeder ima ploskve, ki so enakokraki trikotniki.

Opredelitev. Ortocentrični tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem se vse višine (navpičnice), ki so spuščene z vrha na nasprotno ploskev, sekajo v eni točki.

Opredelitev. Zvezdna piramida imenujemo polieder, katerega osnova je zvezda.

Opredelitev. Bipiramida- polieder, sestavljen iz dveh različnih piramid (piramide so lahko tudi odrezane), ki imata skupno osnovo, oglišči pa ležita vzdolž različne strani od ravnine baze.

Uvod

Ko smo začeli preučevati stereometrične figure, smo se dotaknili teme "Piramida". Ta tema nam je bila všeč, ker se piramida zelo pogosto uporablja v arhitekturi. In od našega bodoči poklic arhitektka, navdihnjena s to figuro, menimo, da nas lahko potisne k velikim projektom.

Trdnost arhitekturnih objektov je njihova najpomembnejša kakovost. Če povežemo moč, prvič, z materiali, iz katerih so ustvarjeni, in drugič, z značilnostmi oblikovalskih rešitev, se izkaže, da je moč konstrukcije neposredno povezana z geometrijsko obliko, ki je zanjo osnovna.

Z drugimi besedami, govorimo o o tistem geometrijskem liku, ki ga je mogoče obravnavati kot model ustrezne arhitekturne oblike. Izkazalo se je, da geometrijska oblika določa tudi trdnost arhitekturne strukture.

Egipčanske piramide že od antičnih časov veljajo za najbolj trpežne arhitekturne strukture. Kot veste, imajo obliko pravilnih štirikotnih piramid.

Prav ta geometrijska oblika zagotavlja največjo stabilnost zaradi velike osnovne površine. Po drugi strani pa oblika piramide zagotavlja, da se masa zmanjšuje z večanjem višine nad tlemi. Ti dve lastnosti naredita piramido stabilno in s tem močno v pogojih gravitacije.

Cilj projekta: naučite se nekaj novega o piramidah, poglobite svoje znanje in poiščite praktično uporabo.

Za dosego tega cilja je bilo potrebno rešiti naslednje naloge:

· Spoznajte zgodovinske podatke o piramidi

· Razmislite o piramidi kot geometrijski lik

· Najdi uporabo v življenju in arhitekturi

· Poiščite podobnosti in razlike med piramidami, ki se nahajajo na različnih koncih sveta

Teoretični del

Zgodovinski podatki

Začetek geometrije piramide je bil postavljen v starem Egiptu in Babilonu, vendar se je aktivno razvijal v Antična grčija. Prvi, ki je ugotovil prostornino piramide, je bil Demokrit, Evdoks iz Knida pa je to dokazal. Starogrški matematik Evklid je sistematiziral znanje o piramidi v XII zvezku svojih "Elementov" in izpeljal tudi prvo definicijo piramide: trdna figura, omejena z ravninami, ki se stekajo iz ene ravnine v eno točko.

Grobnice egiptovskih faraonov. Največje med njimi - Keopsova, Kefrenova in Mikerinova piramida v El Gizi - so v starih časih veljale za eno od sedmih čudes sveta. Gradnja piramide, v kateri so že Grki in Rimljani videli spomenik neslutenemu kraljevemu ponosu in krutosti, ki je celotno egiptovsko ljudstvo obsodila na nesmiselno gradnjo, je bila najpomembnejše kultno dejanje in naj bi očitno izražala mistično identiteto države in njenega vladarja. Prebivalstvo države je delalo na gradnji grobnice v delu leta, ki je bil prost kmetijskih del. Številna besedila pričajo o pozornosti in skrbi, ki so jo kralji sami (čeprav iz poznejšega časa) posvečali gradnji svoje grobnice in njenim graditeljem. Znane so tudi posebne kultne časti, ki so bile deležne piramide same.

Osnovni pojmi

Piramida imenujemo polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa so trikotniki, ki imajo skupno oglišče.

Apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha;

Stranski obrazi- trikotnika, ki se srečata na vrhu;

Stranska rebra- skupne stranice stranskih ploskev;

Vrh piramide- točka, ki povezuje stranska rebra in ne leži v ravnini baze;

Višina- pravokotni odsek, ki poteka skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca tega odseka sta vrh piramide in osnova navpičnice);

Diagonalni prerez piramide- odsek piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;

Osnova- mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.

Osnovne lastnosti pravilne piramide

Stranski robovi, stranske ploskve in apoteme so enaki.

Diedrski koti pri dnu so enaki.

Diedrski koti na stranskih robovih so enaki.

Vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh oglišč baze.

Vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh stranskih ploskev.

Osnovne piramidne formule

Območje stranske in celotne površine piramide.

Ploščina stranske površine piramide (polne in prisekane) je vsota površin vseh njenih stranskih ploskev, skupna površina je vsota površin vseh njenih ploskev.

Izrek: Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme piramide.

str- osnovni obod;

h- apotem.

Območje stranske in polne površine prisekane piramide.

str 1, str 2 - osnovni obodi;

h- apotem.

R- skupna površina pravilne prisekane piramide;

S stran- območje stranske površine pravilne prisekane piramide;

S 1 + S 2- osnovna površina

Prostornina piramide

Oblika Volumen ula se uporablja za kakršne koli piramide.

H- višina piramide.

Piramidni vogali

Koti, ki jih tvorita stranska ploskev in osnova piramide, se imenujejo diedrski koti na dnu piramide.

Diedrski kot tvorita dve navpičnici.

Za določitev tega kota morate pogosto uporabiti izrek treh pravokotnic.

Imenujemo kote, ki jih tvorita stranski rob in njegova projekcija na osnovno ravnino kot med stranskim robom in ravnino podnožja.

Imenuje se kot, ki ga tvorita stranska robova diedrski kot na stranskem robu piramide.

Imenuje se kot, ki ga tvorita stranska robova ene ploskve piramide kot na vrhu piramide.

Odseki piramide

Površina piramide je površina poliedra. Vsaka njena ploskev je ravnina, zato je odsek piramide, ki ga določa sečna ravnina, lomljena črta, sestavljena iz posameznih ravnih črt.

Diagonalni odsek

Odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne ležita na isti ploskvi, se imenuje diagonalni odsek piramide.

Vzporedni odseki

Izrek:

Če piramido seka ravnina, ki je vzporedna z osnovo, potem so stranski robovi in ​​višine piramide razdeljeni s to ravnino na sorazmerne dele;

Odsek te ravnine je mnogokotnik, podoben osnovi;

Ploščini odseka in osnove sta med seboj povezani kot kvadrata njunih razdalj od vrha.

Vrste piramid

Pravilna piramida– piramida, katere osnova je pravilni mnogokotnik, vrh piramide pa je projiciran v središče baze.

Za navadno piramido:

1. stranska rebra so enaka

2. stranski ploskvi sta enaki

3. apoteme so enake

4. diedrski koti pri dnu so enaki

5. diedrski koti na stranskih robovih so enaki

6. vsaka točka višine je enako oddaljena od vseh oglišč osnove

7. vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh stranskih robov

Prisekana piramida- del piramide, zaprt med njeno osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo.

Osnova in ustrezen prerez prirezane piramide se imenujeta osnove prisekane piramide.

Imenuje se navpičnica, ki poteka iz katere koli točke ene baze na ravnino druge višina prisekane piramide.

Naloge

št. 1. V desni štirikotna piramida točka O je središče osnovice, SO=8 cm, BD=30 cm Poiščite stranski rob SA.

Reševanje problema

št. 1. IN pravilna piramida vse ploskve in robovi so enaki.

Razmislite o OSB: OSB je pravokoten pravokotnik, ker.

SB 2 = SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramida v arhitekturi

Piramida je monumentalna zgradba v obliki običajne pravilne geometrijske piramide, v kateri straneh združiti v eno točko. Avtor: funkcionalni namen Piramide so bile v starih časih kraji pokopa ali kultnega čaščenja. Osnova piramide je lahko trikotna, štirikotna ali v obliki mnogokotnika s poljubnim številom oglišč, najpogostejša različica pa je štirikotna osnova.

Obstaja precejšnje število piramid, ki so jih zgradile različne kulture. starodavni svet predvsem kot templje ali spomenike. Velike piramide vključujejo egipčanske piramide.

Po vsej Zemlji lahko vidite arhitekturne strukture v obliki piramid. Piramidne zgradbe spominjajo na starodavne čase in izgledajo zelo lepo.

Egipčanske piramide največjih arhitekturnih spomenikov starega Egipta, vključno z enim od "sedmih čudes sveta", Keopsovo piramido. Od vznožja do vrha doseže 137,3 m, preden je izgubil vrh, je bila njegova višina 146,7 m.

Stavba radijske postaje v glavnem mestu Slovaške, ki spominja na obrnjeno piramido, je bila zgrajena leta 1983. Poleg pisarn in servisnih prostorov je znotraj prostornine precej prostorna koncertna dvorana, ki ima ene največjih orgel na Slovaškem.

Louvre, ki je »tih, nespremenjen in veličasten kot piramida«, je skozi stoletja doživel številne spremembe, preden je postal največji muzej na svetu. Nastal je kot trdnjava, ki jo je leta 1190 postavil Filip Avgust in je kmalu postala kraljeva rezidenca. Leta 1793 je palača postala muzej. Zbirke bogatimo z zapuščinami ali odkupi.