Kaj pomeni pravilna štirikotna piramida? Piramida. Pravilna piramida

Volumetrična figura, ki se pogosto pojavlja pri geometrijskih nalogah, je piramida. Najenostavnejša od vseh figur v tem razredu je trikotna. V tem članku bomo podrobno analizirali osnovne formule in lastnosti pravilne

Geometrijske ideje o figuri

Preden nadaljujemo z obravnavo lastnosti pravilne trikotne piramide, si poglejmo podrobneje, o kakšni figuri govorimo.

Predpostavimo, da v tridimenzionalnem prostoru obstaja poljuben trikotnik. Izberimo poljubno točko v tem prostoru, ki ne leži v ravnini trikotnika in jo povežimo s tremi oglišči trikotnika. Dobili smo trikotno piramido.

Sestavljen je iz 4 strani, ki so vse trikotniki. Točki, kjer se tri ploskve srečajo, imenujemo oglišča. Številka jih ima tudi štiri. Črte presečišča dveh ploskev so robovi. Zadevna piramida ima robove 6. Spodnja slika prikazuje primer te figure.

Ker lik tvorijo štiri stranice, ga imenujemo tudi tetraeder.

Pravilna piramida

Zgoraj smo obravnavali poljubno figuro s trikotno osnovo. Zdaj pa predpostavimo, da narišemo pravokoten segment od vrha piramide do njenega dna. Ta segment se imenuje višina. Očitno lahko narišete 4 različne višine figure. Če višina seka trikotno osnovo v geometrijskem središču, se taka piramida imenuje ravna.

Ravna piramida, katere osnova je enakostranični trikotnik, se imenuje pravilna. Zanjo so vsi trije trikotniki, ki tvorijo stransko površino figure, enakokraki in enaki drug drugemu. Poseben primer pravilne piramide je situacija, ko so vse štiri stranice enakostranični enaki trikotniki.

Razmislimo o lastnostih pravilne trikotne piramide in podamo ustrezne formule za izračun njenih parametrov.

Osnovna stranica, višina, stranski rob in apotem

Katera koli dva od navedenih parametrov enolično določata drugi dve značilnosti. Predstavimo formule, ki te količine povezujejo.

Predpostavimo, da je stranica osnove pravilne trikotne piramide a. Dolžina njegovega stranskega roba je b. Kolikšna bosta višina pravilne trikotne piramide in njenega apotema?

Za višino h dobimo izraz:

Ta formula izhaja iz Pitagorovega izreka, za katerega so stranski rob, višina in 2/3 višine osnove.

Apotem piramide je višina za vsako stranski trikotnik. Dolžina apoteme a b je enaka:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Iz teh formul je jasno razvidno, da bo apotem vedno večji od višine piramide, ne glede na stran osnove trikotne pravilne piramide in dolžino njenega stranskega roba.

Predstavljeni formuli vsebujeta vse štiri linearne karakteristike zadevne figure. Torej, glede na znani dve izmed njih, lahko ostale najdete z reševanjem sistema zapisanih enačb.

Volumen figure

Za absolutno vsako piramido (vključno z nagnjeno) je mogoče določiti vrednost prostornine prostora, ki jo omejuje, če poznamo višino figure in površino njene osnove. Ustrezna formula je:

Če ta izraz uporabimo za zadevno sliko, dobimo naslednjo formulo:

Kjer je višina pravilne trikotne piramide h in njena osnovna stranica a.

Ni težko dobiti formule za prostornino tetraedra, v katerem so vse stranice med seboj enake in predstavljajo enakostranične trikotnike. V tem primeru je prostornina figure določena s formulo:

To pomeni, da je enolično določena z dolžino stranice a.

Površina

Nadaljujmo z obravnavanjem lastnosti pravilne trikotne piramide. Skupna površina vseh ploskev figure se imenuje njena površina. Slednje je mogoče priročno preučiti z upoštevanjem ustreznega razvoja. Spodnja slika prikazuje, kako izgleda razvoj pravilne trikotne piramide.

Predpostavimo, da poznamo višino h in stranico osnove a figure. Potem bo površina njegove osnove enaka:

Vsak šolar lahko dobi ta izraz, če se spomni, kako najti območje trikotnika, in upošteva tudi, da je višina enakostraničnega trikotnika tudi simetrala in mediana.

Stranska površina, ki jo tvorijo trije enaki enakokraki trikotniki, je:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ta enakost izhaja iz izraza apoteme piramide glede na višino in dolžino baze.

Skupna površina figure je:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Upoštevajte, da bo za tetraeder, v katerem so vse štiri stranice enaki enakostranični trikotniki, ploščina S enaka:

Lastnosti pravilne prisekane trikotne piramide

Če je vrh obravnavane trikotne piramide odrezan z ravnino, ki je vzporedna z osnovo, potem preostala Spodnji del bomo imenovali prisekana piramida.

V primeru trikotne osnove je rezultat opisanega načina rezanja nov trikotnik, ki je prav tako enakostranični, vendar ima krajšo stranico kot stranica osnove. Spodaj je prikazana prisekana trikotna piramida.

Vidimo, da je ta številka že omejena z dvema trikotnima osnovama in tremi enakokrakimi trapezi.

Predpostavimo, da je višina nastale figure enaka h, dolžini stranic spodnje in zgornje baze sta a 1 oziroma a 2, apotem (višina trapeza) pa je enak a b. Nato lahko površino prisekane piramide izračunamo po formuli:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Tukaj je prvi izraz območje stranske površine, drugi izraz je območje trikotnih baz.

Prostornina figure se izračuna na naslednji način:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Za nedvoumno določitev značilnosti prisekane piramide je potrebno poznati njene tri parametre, kot dokazujejo podane formule.

Video lekcija 2: Problem piramide. Prostornina piramide

Video vadnica 3: Problem piramide. Pravilna piramida

Predavanje: Piramida, njena osnova, stranska rebra, višina, stransko površino; trikotna piramida; redna piramida

Piramida, njene lastnosti

Piramida je tridimenzionalno telo, ki ima na svoji osnovi mnogokotnik, vse njegove ploskve pa so sestavljene iz trikotnikov.

Poseben primer piramide je stožec s krogom na dnu.

Oglejmo si glavne elemente piramide:

Apotema- to je segment, ki povezuje vrh piramide s sredino spodnjega roba stranske ploskve. Z drugimi besedami, to je višina roba piramide.

Na sliki lahko vidite trikotnike ADS, ABS, BCS, CDS. Če natančno pogledate imena, lahko vidite, da ima vsak trikotnik v imenu eno skupno črko - S. To pomeni, da se vse stranske ploskve (trikotniki) zbližajo v eni točki, ki se imenuje vrh piramide. .

Segment OS, ki povezuje oglišče s točko presečišča diagonal osnove (v primeru trikotnikov - v točki presečišča višin), se imenuje višina piramide.

Diagonalni odsek je ravnina, ki poteka skozi vrh piramide, kot tudi ena od diagonal baze.

Ker je stranska površina piramide sestavljena iz trikotnikov, je treba za iskanje skupne površine stranske površine najti površino vsake ploskve in ju sešteti. Število in oblika ploskev je odvisna od oblike in velikosti strani mnogokotnika, ki leži na dnu.

Edina ravnina v piramidi, ki ne pripada njenemu vrhu, se imenuje osnova piramide.

Na sliki vidimo, da je osnova paralelogram, lahko pa je poljuben poljuben mnogokotnik.

Lastnosti:

Razmislite o prvem primeru piramide, v kateri ima robove enake dolžine:

• Okoli vznožja takšne piramide lahko narišemo krog. Če projicirate vrh takšne piramide, bo njena projekcija v središču kroga.
• Koti na dnu piramide so na vsaki strani enaki.
• pri čemer zadosten pogoj na dejstvo, da lahko opišemo krog okoli vznožja piramide, lahko pa tudi domnevamo, da so vsi robovi različne dolžine, lahko upoštevamo enake kote med osnovo in vsakim robom ploskev.

Če naletite na piramido, v kateri so koti med stranskimi ploskvami in osnovo enaki, potem veljajo naslednje lastnosti:

• Znal boš opisati krog okoli vznožja piramide, katerega vrh je projiciran točno v središče.
• Če narišete vsak stranski rob višine do podlage, bosta enako dolga.
• Če želite najti stransko površino takšne piramide, je dovolj, da poiščete obod osnove in ga pomnožite s polovico dolžine višine.
• S bp = 0,5P oc H.
• Vrste piramid.
• Glede na to, kateri mnogokotnik leži na dnu piramide, so lahko trikotne, štirikotne itd. Če na dnu piramide leži pravilen mnogokotnik (z enake stranice), potem se bo taka piramida imenovala pravilna.

Pravilna trikotna piramida

Tukaj lahko najdete osnovne informacije o piramidah ter povezanih formulah in konceptih. Vsi se preučujejo z inštruktorjem matematike kot pripravo na enotni državni izpit.

Razmislite o ravnini, poligonu , ki leži v njej in točka S, ki ne leži v njej. Povežimo S z vsemi oglišči mnogokotnika. Nastali polieder imenujemo piramida. Segmenti se imenujejo stranska rebra. Poligon imenujemo osnova, točka S pa vrh piramide. Glede na število n se piramida imenuje trikotna (n=3), štirikotna (n=4), peterokotna (n=5) itd. Alternativno ime za trikotno piramido je tetraeder. Višina piramide je navpičnica, ki se spušča z njenega vrha na ravnino osnove.

Piramida se imenuje pravilna, če pravilni mnogokotnik, osnova nadmorske višine piramide (osnova navpičnice) pa je njeno središče.

Komentar mentorja:
Ne mešajte pojma "pravilna piramida" in " pravilni tetraeder" Pri pravilni piramidi stranski robovi niso nujno enaki robom osnove, pri pravilnem tetraedru pa je vseh 6 robov enakih. To je njegova definicija. Enostavno je dokazati, da enakost pomeni, da središče P mnogokotnika sovpada z osnovno višino, torej je pravilni tetraeder pravilna piramida.

Kaj je apotem?
Apotem piramide je višina njene stranske ploskve. Če je piramida pravilna, potem so vsi njeni apotemi enaki. Obratno ne drži.

Mentor matematike o svoji terminologiji: 80 % dela s piramidami je zgrajenega prek dveh vrst trikotnikov:
1) Vsebuje apotem SK in višino SP
2) Vsebuje stranski rob SA in njegovo projekcijo PA

Za poenostavitev sklicevanja na te trikotnike je bolj priročno, da učitelj matematike pokliče prvega od njih apothemal, in drugič obalni. Te terminologije žal ne boste našli v nobenem učbeniku in jo mora učitelj uvajati enostransko.

Formula za prostornino piramide:
1) , kjer je ploščina osnove piramide, in je višina piramide
2) , kjer je polmer včrtane krogle, in je ploščina polna površina piramide.
3) , kjer je MN razdalja med katerima koli križajočima se robovoma in je površina paralelograma, ki ga tvorijo razpolovišča štirih preostalih robov.

Lastnost osnove višine piramide:

Točka P (glej sliko) sovpada s središčem včrtanega kroga na dnu piramide, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:
1) Vsi apotemi so enaki
2) Vse stranske ploskve so enako nagnjene na podlago
3) Vsi apotemi so enako nagnjeni na višino piramide
4) Višina piramide je enako nagnjena na vse stranske ploskve

Komentar učitelja matematike: Upoštevajte, da imajo vse točke eno skupno stvar splošno lastnino: tako ali drugače so stranske ploskve vpletene povsod (apoteme so njihovi elementi). Zato lahko mentor ponudi manj natančno, a bolj priročno za učenje formulacijo: točka P sovpada s središčem včrtanega kroga, osnovo piramide, če obstajajo enaki podatki o njenih stranskih ploskvah. Da bi to dokazali, je dovolj pokazati, da so vsi trikotniki apotem enaki.

Točka P sovpada s središčem kroga, opisanega blizu vznožja piramide, če je izpolnjen eden od treh pogojev:
1) Vsi stranski robovi so enaki
2) Vsa stranska rebra so enako nagnjena na podlago
3) Vsa stranska rebra so enako nagnjena v višino

Piramida. Prisekana piramida

Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina piramida je razdalja od njenega vrha do ravnine baze. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek se imenuje odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskev in podnožja.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

2. Če so vsi stranski robovi piramide enake dolžine, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:

Kje V- volumen;

S osnova– osnovna površina;

H– višina piramide.

Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:

Kje str– osnovni obod;

h a– apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S osnova– osnovna površina;

V– prostornina pravilne piramide.

Prisekana piramida imenovan del piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida imenujemo del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.

Razlogi prisekana piramida - podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:

(4)

Kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;

S poln– skupna površina;

S stran– bočna površina;

H- višina;

V– prostornina prisekane piramide.

Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:

Kje str 1 , str 2 – obodi baz;

h a– apotem pravilne prisekane piramide.

Primer 1. V desni trikotna piramida diedrski kot pri dnu je 60º. Poiščite tangens kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.

rešitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, kar pomeni, da je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge SO in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O odsek črte BD je razdeljen na dele: in Iz najdemo SO: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prisekane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov enaki cm in cm, njena višina pa je 4 cm.

rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice baz so enake 2 cm oziroma 8 cm, kar pomeni površine baz in Če nadomestimo vse podatke v formulo, izračunamo prostornino prisekane piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. ker (glej sliko 20) in Po drugi strani v redu– krogu včrtan polmer in OM– polmer vpisan v krog:

MK = DE.

Po Pitagorovem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsak stranski rob tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.

rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti ploščin in ploščine trapeza ABCD.

Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Z uporabo izreka o območju pravokotne projekcije ravninske figure dobimo:

Enako pomeni Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.

Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo