Reševanje preprostih linearnih enačb. Linearne enačbe: formule in primeri. Neenačbe in njihova rešitev

Učenje reševanja enačb je ena glavnih nalog, ki jih algebra postavlja za učence. Začenši z najpreprostejšim, ko je sestavljen iz ene neznanke, in naprej do vse bolj zapletenih. Če niste obvladali dejanj, ki jih je treba izvesti z enačbami iz prve skupine, boste težko razumeli druge.

Za nadaljevanje pogovora se morate dogovoriti o zapisu.

Splošna oblika linearne enačbe z eno neznanko in princip njene rešitve

Vsaka enačba, ki jo lahko zapišemo takole:

a * x = b,

klical linearni. To je splošna formula. Toda pogosto so v nalogah linearne enačbe zapisane v implicitni obliki. Nato je treba izvesti enake transformacije, da dobimo splošno sprejet zapis. Ti ukrepi vključujejo:

• odpiranje oklepaja;
• premikanje vseh izrazov s spremenljivo vrednostjo v leva stran enakost, ostalo pa na desno;
• zmanjšanje podobnih pogojev.

V primeru, da je v imenovalcu ulomka neznana količina, morate določiti njene vrednosti, pri katerih izraz ne bo imel smisla. Z drugimi besedami, poznati morate domeno definicije enačbe.

Načelo, po katerem se rešujejo vse linearne enačbe, se zmanjša na to, da se vrednost na desni strani enačbe deli s koeficientom pred spremenljivko. To pomeni, da bo "x" enako b/a.

Posebni primeri linearnih enačb in njihove rešitve

Med razmišljanjem se lahko pojavijo trenutki, ko linearne enačbe vzamejo enega od posebne vrste. Vsak od njih ima specifično rešitev.

V prvi situaciji:

a * x = 0 in a ≠ 0.

Rešitev takšne enačbe bo vedno x = 0.

V drugem primeru ima "a" vrednost enako nič:

0 * x = 0.

Odgovor na takšno enačbo bo poljubno število. To pomeni, da ima neskončno število korenin.

Tretja situacija izgleda takole:

0 * x = in, kjer je v ≠ 0.

Ta enačba nima smisla. Ker ni korenin, ki bi ga zadovoljile.

Splošni pogled na linearno enačbo z dvema spremenljivkama

Iz njegovega imena postane jasno, da sta v njem že dve neznani količini. Linearne enačbe v dveh spremenljivkah videti takole:

a * x + b * y = c.

Ker sta v zapisu dve neznanki, bo odgovor videti kot par števil. To pomeni, da ni dovolj, da določite samo eno vrednost. To bo nepopoln odgovor. Par količin, za katere enačba postane identiteta, je rešitev enačbe. Poleg tega je v odgovoru vedno najprej zapisana spremenljivka, ki je prva v abecedi. Včasih pravijo, da ga te številke zadovoljijo. Poleg tega je lahko takšnih parov neskončno veliko.

Kako rešiti linearno enačbo z dvema neznankama?

Če želite to narediti, morate samo izbrati kateri koli par številk, ki se izkaže za pravilnega. Zaradi poenostavitve lahko vzamete eno od neznank enako praštevilu in nato poiščete drugo.

Pri reševanju morate pogosto izvesti korake za poenostavitev enačbe. Imenujejo se transformacije identitete. Poleg tega za enačbe vedno veljajo naslednje lastnosti:

• vsak člen lahko premaknemo na nasprotni del enačbe tako, da njegov predznak zamenjamo z nasprotnim;
• Levo in desno stran katere koli enačbe je dovoljeno deliti z istim številom, če ni enako nič.

Primeri nalog z linearnimi enačbami

Prva naloga. Rešite linearne enačbe: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

V enačbi, ki je prva na tem seznamu, preprosto delite 20 s 4. Rezultat bo 5. To je odgovor: x = 5.

Tretja enačba zahteva izvedbo transformacije identitete. Sestavljen bo iz odpiranja oklepajev in prinašanja podobnih pogojev. Po prvem koraku bo enačba prevzela obliko: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Nato morate vse neznanke premakniti na levo stran enačbe, ostale pa na desno. Enačba bo videti takole: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Po dodajanju podobnih členov: 14x = 16. Zdaj je videti enako kot prva in njeno rešitev je enostavno najti. Odgovor bo x=8/7. Toda v matematiki bi morali izolirati cel del od nepravilnega ulomka. Nato bo rezultat preoblikovan in "x" bo enak enemu celemu in eni sedmini.

V preostalih primerih so spremenljivke v imenovalcu. To pomeni, da morate najprej ugotoviti, pri katerih vrednostih so definirane enačbe. Če želite to narediti, morate izključiti številke, pri katerih gredo imenovalci na nič. V prvem primeru je "-4", v drugem pa "-3". To pomeni, da je treba te vrednosti izključiti iz odgovora. Po tem morate obe strani enakosti pomnožiti z izrazi v imenovalcu.

Če odpremo oklepaje in dodamo podobne člene, v prvi od teh enačb dobimo: 5x + 15 = 4x + 16, v drugi pa 5x + 15 = 4x + 12. Po transformacijah bo rešitev prve enačbe x = -1. Drugi se izkaže za enak "-3", kar pomeni, da slednji nima rešitev.

Druga naloga. Rešite enačbo: -7x + 2y = 5.

Recimo, da je prva neznanka x = 1, potem bo enačba v obliki -7 * 1 + 2y = 5. Če premaknemo faktor "-7" na desno stran enakosti in spremenimo njegov znak v plus, se izkaže, da 2y = 12. To pomeni y =6. Odgovor: ena od rešitev enačbe x = 1, y = 6.

Splošna oblika neenačbe z eno spremenljivko

Tukaj so predstavljene vse možne situacije za neenakosti:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤v.

Na splošno je videti kot preprosta linearna enačba, le da je enačaj nadomeščen z neenakostjo.

Pravila za identitetne transformacije neenakosti

Tako kot linearne enačbe je tudi neenakosti mogoče spremeniti v skladu z določenimi zakoni. Skratijo se na naslednje:

1. na levo in desno stran neenačbe lahko dodamo poljubno črko oz številski izraz, znak neenakosti pa bo ostal enak;
2. lahko tudi množite ali delite z istim pozitivnim številom, to spet ne spremeni predznaka;
3. Pri množenju ali deljenju z istim negativnim številom bo enakost ostala resnična, če je znak neenakosti obrnjen.

Splošni pogled na dvojne neenakosti

V nalogah lahko predstavimo naslednje neenakosti:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Imenuje se dvojna, ker je omejena z znaki neenakosti na obeh straneh. Rešuje se po enakih pravilih kot navadne neenakosti. In iskanje odgovora se zmanjša na vrsto enakih transformacij. Dokler ne dobimo najpreprostejšega.

Značilnosti reševanja dvojnih neenačb

Prva od njih je njegova slika na koordinatni osi. Te metode ni treba uporabljati za preproste neenakosti. Ampak v težkih primerih morda je preprosto potrebno.

Če želite prikazati neenakost, morate na osi označiti vse točke, ki so bile pridobljene med razmišljanjem. To so neveljavne vrednosti, ki so označene s preluknjanimi pikami, in vrednosti iz neenačb, pridobljenih po transformacijah. Tudi tukaj je pomembno pravilno risanje pik. Če je neenakost stroga, to je< или >, potem so te vrednosti izčrtane. Pri nestrogih neenačbah morajo biti točke osenčene.

Nato je treba navesti pomen neenakosti. To je mogoče storiti s senčenjem ali loki. Njihovo presečišče bo pokazalo odgovor.

Druga značilnost je povezana z njegovim snemanjem. Tukaj sta na voljo dve možnosti. Prva je končna neenakost. Drugi je v obliki intervalov. Z njim se zgodi, da se pojavijo težave. Odgovor v presledkih je vedno videti kot spremenljivka z oznako pripadnosti in oklepajem s številkami. Včasih je več presledkov, potem morate med oklepaje napisati simbol »in«. Ti znaki izgledajo takole: ∈ in ∩. Vlogo igrajo tudi presledki. Okrogla je postavljena, ko je točka izključena iz odgovora, pravokotna pa vključuje to vrednost. Znak neskončnosti je vedno v oklepaju.

Primeri reševanja neenačb

1. Rešite neenačbo 7 - 5x ≥ 37.

Po enostavnih transformacijah dobimo: -5x ≥ 30. Če delimo z “-5” dobimo naslednji izraz: x ≤ -6. To je že odgovor, lahko pa ga zapišemo tudi drugače: x ∈ (-∞; -6].

2. Reši dvojno neenačbo -4< 2x + 6 ≤ 8.

Najprej morate povsod odšteti 6. Dobite: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

V tem članku bomo obravnavali načelo reševanja takih enačb kot linearne enačbe. Zapišimo definicijo teh enačb in postavimo splošno obliko. Analizirajmo vse pogoje za iskanje rešitev linearne enačbe med drugim z uporabo praktičnih primerov.

Upoštevajte, da spodnji material vsebuje informacije o linearnih enačbah z eno spremenljivko. Linearne enačbe v dveh spremenljivkah so obravnavane v ločenem članku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj je linearna enačba

Definicija 1

Linearna enačba je enačba, zapisana na naslednji način:
a x = b, Kje x– spremenljivka, a in b- nekaj številk.

Ta formulacija je bila uporabljena v učbeniku algebre (7. razred) Yu.N. Makarycheva.

Primer 1

Primeri linearnih enačb bi bili:

3 x = 11(enačba z eno spremenljivko x pri a = 5 in b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( linearna enačba s spremenljivko l, Kje a = - 3, 1 in b = 0);

x = − 4 in − x = 5,37(linearne enačbe, kjer št a zapisano eksplicitno in enako 1 oziroma - 1. Za prvo enačbo b = - 4; za drugo - b = 5,37) in tako naprej.

Enak izobraževalno gradivo Obstajajo lahko različne definicije. Na primer, Vilenkin N.Y. Med linearne enačbe sodijo tudi tiste enačbe, ki jih lahko pretvorimo v obliko a x = b s prenašanjem izrazov iz enega dela v drugega s spremembo predznaka in prinašanjem podobnih izrazov. Če sledimo tej razlagi, enačba 5 x = 2 x + 6 – tudi linearno.

Toda učbenik algebre (7. razred) Mordkoviča A.G. daje naslednji opis:

Definicija 2

Linearna enačba v eni spremenljivki x je enačba oblike a x + b = 0, Kje a in b– nekatera števila, imenovana koeficienti linearne enačbe.

Primer 2

Primer linearnih enačb te vrste je lahko:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Obstajajo pa tudi primeri linearnih enačb, ki smo jih že uporabili zgoraj: oblike a x = b, na primer 6 x = 35.

Takoj se strinjamo, da bomo v tem članku pod linearno enačbo z eno spremenljivko razumeli napisano enačbo a x + b = 0, Kje x– spremenljivka; a, b – koeficienti. Ta oblika linearne enačbe se nam zdi najbolj upravičena, saj so linearne enačbe algebraične enačbe prve stopnje. In druge zgoraj navedene enačbe ter enačbe, podane z ekvivalentnimi transformacijami v obliki a x + b = 0, definiramo kot enačbe, ki se reducirajo na linearne enačbe.

S tem pristopom je enačba 5 x + 8 = 0 linearna in 5 x = − 8- enačba, ki se reducira na linearno.

Princip reševanja linearnih enačb

Poglejmo, kako ugotoviti, ali bo dana linearna enačba imela korenine in, če jih ima, koliko in kako jih določiti.

Definicija 3

Dejstvo prisotnosti korenin linearne enačbe je določeno z vrednostmi koeficientov a in b. Zapišimo te pogoje:

• pri a ≠ 0 linearna enačba ima en sam koren x = - b a ;
• pri a = 0 in b ≠ 0 linearna enačba nima korenin;
• pri a = 0 in b = 0 linearna enačba ima neskončno veliko korenin. V bistvu v v tem primeru katero koli število lahko postane koren linearne enačbe.

Dajmo razlago. Vemo, da je v procesu reševanja enačbe možno dano enačbo preoblikovati v enakovredno, kar pomeni, da ima enake korene kot izvirna enačba ali pa tudi nima korenin. Naredimo lahko naslednje enakovredne transformacije:

• prenesite izraz iz enega dela v drugega, spremenite znak v nasprotno;
• pomnožite ali delite obe strani enačbe z istim številom, ki ni nič.

Tako transformiramo linearno enačbo a x + b = 0, premikanje termina b z leve strani na desno s spremembo predznaka. Dobimo: a · x = − b .

Torej delimo obe strani enačbe s številom, ki ni nič A, kar ima za posledico enakost oblike x = - b a . Se pravi, kdaj a ≠ 0, izvirna enačba a x + b = 0 je enakovredna enakosti x = - b a, v kateri je koren - b a očiten.

S protislovjem je mogoče dokazati, da je najdeni koren edini. Najdeni koren - b a označimo kot x 1 . Predpostavimo, da obstaja še en koren linearne enačbe z oznako x 2 . In seveda: x 2 ≠ x 1, to pa je na podlagi definicije enakih števil skozi razliko enakovredno pogoju x 1 − x 2 ≠ 0 . Ob upoštevanju zgornjega lahko z zamenjavo korenov ustvarimo naslednje enakosti:
a x 1 + b = 0 in a x 2 + b = 0.
Lastnost številskih enakosti omogoča odštevanje delov enačb po členih:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, od tod: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 in naprej a · (x 1 − x 2) = 0 . Enakopravnost a · (x 1 − x 2) = 0 je napačno, ker je bilo predhodno navedeno, da a ≠ 0 in x 1 − x 2 ≠ 0 . Nastalo protislovje služi kot dokaz, da ko a ≠ 0 linearna enačba a x + b = 0 ima samo en koren.

Utemeljimo še dve klavzuli pogojev, ki vsebujejo a = 0.

Kdaj a = 0 linearna enačba a x + b = 0 bo zapisano kot 0 x + b = 0. Lastnost množenja števila z nič nam daje pravico, da trdimo, da je katero koli število vzeto za x, ki ga nadomesti z enakostjo 0 x + b = 0, dobimo b = 0 . Enakost velja za b = 0; v drugih primerih, ko b ≠ 0, enakost postane lažna.

Torej kdaj a = 0 in b = 0 , katero koli število lahko postane koren linearne enačbe a x + b = 0, saj ko so ti pogoji izpolnjeni, namesto tega nadomesti x poljubno število, dobimo pravilno številsko enakost 0 = 0 . Kdaj a = 0 in b ≠ 0 linearna enačba a x + b = 0 sploh ne bo imelo korenin, saj, ko so izpolnjeni podani pogoji, namesto tega zamenja x poljubno število, dobimo napačno številsko enakost b = 0.

Vsi zgornji premisleki nam dajejo priložnost, da zapišemo algoritem, ki omogoča iskanje rešitve katere koli linearne enačbe:

• glede na vrsto zapisa določimo vrednosti koeficientov a in b in jih analizirati;
• pri a = 0 in b = 0 enačba bo imela neskončno veliko korenin, tj. poljubno število bo postalo koren dane enačbe;
• pri a = 0 in b ≠ 0
• pri a, ki je različen od nič, začnemo iskati edini koren izvirne linearne enačbe:

1. premaknimo koeficient b na desno stran s spremembo predznaka v nasprotno, s čimer linearna enačba dobi obliko a · x = − b ;
2. obe strani dobljene enakosti delimo s številom a, kar nam bo dalo želeni koren dane enačbe: x = - b a.

Pravzaprav je opisano zaporedje dejanj odgovor na vprašanje, kako najti rešitev linearne enačbe.

Na koncu pojasnimo enačbe oblike a x = b se rešujejo s podobnim algoritmom z edino razliko, da število b v takem zapisu je bil že prenesen v zahtevani del enačbe in s a ≠ 0 lahko takoj delite dele enačbe s številom a.

Tako najti rešitev enačbe a x = b, uporabljamo naslednji algoritem:

• pri a = 0 in b = 0 enačba bo imela neskončno veliko korenin, tj. katero koli število lahko postane njegov koren;
• pri a = 0 in b ≠ 0 dana enačba ne bo imela korenin;
• pri a, ki ni enako nič, sta obe strani enačbe deljeni s številom a, ki omogoča iskanje edinega korena, ki je enak b a.

Primeri reševanja linearnih enačb

Primer 3

Linearno enačbo je treba rešiti 0 x − 0 = 0.

rešitev

S pisanjem dane enačbe vidimo, da a = 0 in b = − 0(oz b = 0, kar je enako). Tako ima lahko dana enačba neskončno število korenin ali poljubno število.

odgovor: x– poljubno število.

Primer 4

Ugotoviti je treba, ali ima enačba korenine 0 x + 2, 7 = 0.

rešitev

Iz zapisa ugotovimo, da je a = 0, b = 2, 7. Tako dana enačba ne bo imela korenin.

odgovor: izvirna linearna enačba nima korenin.

Primer 5

Glede na linearno enačbo 0,3 x − 0,027 = 0. Treba ga je rešiti.

rešitev

Z zapisom enačbe ugotovimo, da je a = 0, 3; b = - 0,027, kar nam omogoča, da trdimo, da ima dana enačba en koren.

Po algoritmu premaknemo b na desno stran enačbe, spremenimo predznak, dobimo: 0,3 x = 0,027. Nato obe strani dobljene enakosti delimo z a = 0, 3, potem: x = 0, 027 0, 3.

Razdelimo decimalne ulomke:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Dobljeni rezultat je koren dane enačbe.

Naj na kratko zapišemo rešitev takole:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

odgovor: x = 0,09.

Zaradi jasnosti predstavljamo rešitev pisne enačbe a x = b.

Primer N

Dane enačbe so: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Treba jih je rešiti.

rešitev

Vse podane enačbe ustrezajo vnosu a x = b. Poglejmo jih enega za drugim.

V enačbi je 0 x = 0, a = 0 in b = 0, kar pomeni: katero koli število je lahko koren te enačbe.

V drugi enačbi 0 x = − 9: a = 0 in b = − 9, tako ta enačba ne bo imela korenin.

Glede na obliko zadnje enačbe - 3 8 · x = - 3 3 4, zapišemo koeficiente: a = - 3 8, b = - 3 3 4, t.j. enačba ima en sam koren. Poiščimo ga. Delimo obe strani enačbe z a, rezultat je: x = - 3 3 4 - 3 8. Poenostavite ulomek s pravilom deljenja negativna števila sledi pretvorba mešanega števila v navadni ulomek in deljenje navadnih ulomkov:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Naj na kratko zapišemo rešitev takole:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

odgovor: 1) x– poljubno število, 2) enačba nima korenin, 3) x = 10.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Linearna enačba je algebrska enačba, polna diploma katerih polinomi so enaki ena. Reševanje linearnih enačb - del šolski kurikulum, in ne najtežje. Vendar imajo nekateri še vedno težave pri dokončanju te teme. Upamo, da bodo po branju tega gradiva vse težave za vas ostale v preteklosti. Torej, ugotovimo. kako rešiti linearne enačbe.

Splošni obrazec

Linearna enačba je predstavljena kot:

• ax + b = 0, kjer sta a in b poljubni števili.

Čeprav sta a in b lahko poljubna števila, njuni vrednosti vplivata na število rešitev enačbe. Obstaja več posebnih primerov rešitve:

• Če je a=b=0, ima enačba neskončno število rešitev;
• Če je a=0, b≠0, enačba nima rešitve;
• Če je a≠0, b=0, ima enačba rešitev: x = 0.

V primeru, da imata obe števili vrednosti različne od nič, je treba enačbo rešiti, da izpeljemo končni izraz za spremenljivko.

Kako se odločiti?

Reševanje linearne enačbe pomeni ugotoviti, čemu je spremenljivka enaka. Kako to narediti? Da, zelo preprosto - z uporabo preprostih algebrskih operacij in upoštevanjem pravil prenosa. Če se enačba pojavi pred vami v splošni obliki, imate srečo, vse kar morate storiti je:

1. Premakni b na desna stran enačbe, pri čemer ne pozabite spremeniti predznaka (pravilo prevajanja!), tako naj bi iz izraza oblike ax + b = 0 dobili izraz oblike: ax = -b.
2. Uporabite pravilo: če želite najti enega od faktorjev (x - v našem primeru), morate produkt (-b v našem primeru) deliti z drugim faktorjem (a - v našem primeru). Tako bi morali dobiti izraz v obliki: x = -b/a.

To je to – rešitev je najdena!

Zdaj pa poglejmo konkreten primer:

1. 2x + 4 = 0 - premaknite b, ki je v tem primeru enak 4, na desno stran
2. 2x = -4 - delite b z a (ne pozabite na znak minus)
3. x = -4/2 = -2

To je vse! Naša rešitev: x = -2.

Kot lahko vidite, je rešitev linearne enačbe z eno spremenljivko zelo enostavno najti, vendar je vse tako preprosto, če imamo srečo, da naletimo na enačbo v splošni obliki. V večini primerov morate pred reševanjem enačbe v dveh zgoraj opisanih korakih zmanjšati tudi obstoječi izraz na Splošni videz. Vendar tudi to ni izjemno težka naloga. Oglejmo si nekaj posebnih primerov na primerih.

Reševanje posebnih primerov

Najprej si poglejmo primere, ki smo jih opisali na začetku članka, in razložimo, kaj pomeni imeti neskončno število rešitev in nobene rešitve.

• Če je a=b=0, bo enačba videti takole: 0x + 0 = 0. S prvim korakom dobimo: 0x = 0. Kaj pomeni ta neumnost, boste vzkliknili! Konec koncev, ne glede na to, katero število pomnožite z nič, vedno dobite nič! Prav! Zato pravijo, da ima enačba neskončno število rešitev – ne glede na to, katero število vzamete, bo enakost resnična, 0x = 0 ali 0 = 0.
• Če je a=0, b≠0, bo enačba videti takole: 0x + 3 = 0. Izvedite prvi korak, dobili bomo 0x = -3. Spet neumnosti! Očitno je, da te enakosti nikoli ne bo! Zato pravijo, da enačba nima rešitev.
• Če je a≠0, b=0, bo enačba videti takole: 3x + 0 = 0. Če izvedemo prvi korak, dobimo: 3x = 0. Kakšna je rešitev? Enostavno je, x = 0.

Izgubljen v prevodu

Opisani posebni primeri pa niso vse, s čimer nas linearne enačbe lahko presenetijo. Včasih je enačbo na prvi pogled težko prepoznati. Poglejmo primer:

• 12x - 14 = 2x + 6

Ali je to linearna enačba? Kaj pa ničla na desni strani? Ne hitimo s sklepi, ukrepajmo - prenesimo vse komponente naše enačbe leva stran. Dobimo:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Zdaj odštejemo podobno od podobnega, dobimo:

• 10x - 20 = 0

Naučeno? Najbolj linearna enačba doslej! Rešitev tega je: x = 20/10 = 2.

Kaj če imamo ta primer:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, tudi to je linearna enačba, le da je treba izvesti več transformacij. Najprej odprimo oklepaje:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - zdaj izvedemo prenos:
4. 25x - 4 = 0 - še vedno je treba najti rešitev z že znano shemo:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Kot lahko vidite, je vse mogoče rešiti, glavna stvar je, da ne skrbite, ampak ukrepate. Ne pozabite, če vaša enačba vsebuje samo spremenljivke prve stopnje in števila, imate linearno enačbo, ki jo je, ne glede na to, kako izgleda na začetku, mogoče reducirati na splošno obliko in rešiti. Upamo, da se vam bo vse izšlo! Vso srečo!

Enačbe. Povedano drugače, rešitev vseh enačb se začne s temi transformacijami. Pri reševanju linearnih enačb le-ta (rešitev) temelji na identitetnih transformacijah in se zaključi s končnim odgovorom.

Primer neničelnega koeficienta za neznano spremenljivko.

ax+b=0, a ≠ 0

Izraze z X premaknemo na eno stran, števila pa na drugo stran. Ne pozabite, da morate pri premikanju izrazov na nasprotno stran enačbe spremeniti predznak:

ax:(a)=-b:(a)

Skrajšajmo A pri X in dobimo:

x=-b:(a)

To je odgovor. Če morate preveriti, ali je številka -b:(a) koren naše enačbe, potem moramo namesto tega nadomestiti začetno enačbo X to je številka:

a(-b:(a))+b=0 ( tiste. 0=0)

Ker ta enakost je torej pravilna -b:(a) in resnica je koren enačbe.

odgovor: x=-b:(a), a ≠ 0.

Prvi primer:

5x+2=7x-6

Člane premikamo z na eno stran X, na drugi strani pa številke:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Za neznan faktor smo zmanjšali koeficient in dobili odgovor:

To je odgovor. Če morate preveriti, ali je število 4 res koren naše enačbe, nadomestimo to število namesto X v prvotni enačbi:

5*4+2=7*4-6 ( tiste. 22=22)

Ker ta enakost velja, potem je 4 koren enačbe.

Drugi primer:

Reši enačbo:

5x+14=x-49

S prenosom neznank in števil v različne strani, dobil:

Dele enačbe delite s koeficientom pri x(za 4) in dobimo:

Tretji primer:

Reši enačbo:

Najprej se znebimo neracionalnosti v koeficientu za neznano tako, da vse člene pomnožimo z:

Ta oblika se šteje za poenostavljeno, ker število ima koren števila v imenovalcu. Odgovor moramo poenostaviti tako, da pomnožimo števec in imenovalec z istim številom, imamo to:

Primer brez rešitev.

Reši enačbo:

2x+3=2x+7

Pred vsemi x naša enačba ne bo postala prava enakost. To pomeni, da naša enačba nima korenin.

Odgovor: ni rešitev.

Poseben primer je neskončno število rešitev.

Reši enačbo:

2x+3=2x+3

S premikanjem x-ov in števil v različne smeri ter dodajanjem podobnih členov dobimo enačbo:

Tudi tukaj ni mogoče deliti obeh delov z 0, ker je prepovedano. Vendar, dajanje na mestu X poljubno število, dobimo pravilno enakost. To pomeni, da je vsako število rešitev takšne enačbe. Rešitev je torej neskončno veliko.

Odgovor: neskončno število rešitev.

Primer enakosti dveh popolnih oblik.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

odgovor: x=(d-b):(a-c), Če d≠b in a≠c, sicer je rešitev neskončno veliko, a če a=c, A d≠b, potem ni rešitev.

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarskem sektorju za matematično modeliranje različnih procesov. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali postavitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le v matematiki, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo prave enakosti ali pa dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Reševanje enačbe z risanjem bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitve polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkciji in (x, y) funkcijski spremenljivki.

Reši sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotovitev, da primerne vrednosti x in y ne obstajajo.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, jih imenujemo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi desni del ki je enaka nič. Če ima desni del za enačajom vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji predpostavljajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, lahko jih je poljubno veliko.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Splošne analitične metode za reševanje takih sistemov ne obstaja, vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. IN šolski tečaj Matematika podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafične in matrične metode, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti se pravilno analizirati sistem in najti optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb v splošnem učnem načrtu za 7. razred je precej preprosto in razloženo zelo podrobno. V katerem koli matematičnem učbeniku je temu razdelku namenjena dovolj pozornosti. Reševanje primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje obravnava v prvih letnikih visokošolskega študija.

Reševanje sistemov z metodo substitucije

Ukrepi substitucijske metode so usmerjeni v izražanje vrednosti ene spremenljivke v smislu druge. Izraz nadomestimo v preostalo enačbo, nato pa jo reduciramo na obliko z eno spremenljivko. Akcija se ponovi glede na število neznank v sistemu

Naj podamo rešitev primera sistema linearnih enačb razreda 7 z uporabo substitucijske metode:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, zamenjan v 2. enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Reševanje tega primera je enostavno in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje dobljenih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izražanje spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okorno za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je tudi reševanje z zamenjavo neustrezno.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z algebraičnim seštevanjem

Pri iskanju rešitev sistemov z metodo seštevanja izvajajo člen za členom seštevanje in množenje enačb z različne številke. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.

Za aplikacije ta metoda sta potrebna praksa in opazovanje. Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja, ko so spremenljivke 3 ali več, ni preprosto. Algebraično seštevanje je priročno za uporabo, ko enačbe vsebujejo ulomke in decimalke.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določenim številom. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz seštejte člen za členom in poiščite eno od neznank.
3. Zamenjajte dobljeno vrednost v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z vnosom nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če sistem zahteva iskanje rešitve za največ dve enačbi, število neznank pa prav tako ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba se reši za uvedeno neznanko, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo mogoče z uvedbo nove spremenljivke t 1. enačbo sistema reducirati na standardno kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminante je treba najti po znani formuli: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želena diskriminanta, b, a, c so faktorji polinoma. IN podan primer a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja ena rešitev: x = -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo dodajanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za 3 sisteme enačb. Metoda je sestavljena iz konstruiranja grafov vsake enačbe, vključene v sistem, na koordinatni osi. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y: 3 in 0. Na grafu smo označili točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) ter jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

Naslednji primer zahteva iskanje grafične rešitve sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker sta grafa vzporedna in se ne sekata po celi dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, vendar se pri konstrukciji pokaže, da sta njuni rešitvi različni. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba sestaviti graf.

Matrica in njene sorte

Matrike se uporabljajo za strnjeno pisanje sistema linearnih enačb. Matrika je posebna vrsta tabele, napolnjene s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrika je kvadratna, ko je število stolpcev in vrstic enako. Matrika-vektor je matrika enega stolpca z neskončno možnim številom vrstic. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je matrika, ko se pomnoži s katero se prvotna spremeni v enotsko matriko; takšna matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

V zvezi s sistemi enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot matrična števila; ena enačba je ena vrstica matrike.

Za vrstico matrike pravimo, da ni nič, če vsaj en element vrstice ni nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke vpisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznane y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je zelo preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| je determinanta matrike. |K| ne sme biti enaka nič, potem ima sistem rešitev.

Determinanto je enostavno izračunati za matriko dva krat dva; diagonalne elemente morate le pomnožiti drug z drugim. Za možnost »tri krat tri« obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja pri delu.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve vam omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velik znesek spremenljivke in enačbe.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti členi.

Reševanje sistemov z Gaussovo metodo

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitev sistemov pa se imenuje Gauss-Cramerjeva metoda rešitev. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam z uporabo substitucij in algebraično seštevanje, vendar bolj sistematično. Pri šolskem tečaju se za sisteme 3 in 4 enačb uporablja reševanje po Gaussovi metodi. Namen metode je reducirati sistem na obliko obrnjenega trapeza. Z algebrskimi transformacijami in substitucijami najdemo vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, medtem ko sta 3 in 4 s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Po tem, ko sistem privedemo do opisane oblike, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:

Kot je razvidno iz primera, sta bili v koraku (3) dobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Reševanje katere koli enačbe vam bo omogočilo, da ugotovite eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Gaussova metoda je srednješolcem težko razumljiva, a je ena najbolj zanimive načine razvijati iznajdljivost otrok, vključenih v izpopolnjevalne programe pri pouku matematike in fizike.

Zaradi lažjega beleženja se izračuni običajno izvedejo na naslednji način:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo številke enačb v sistemu.

Najprej zapišite matriko, s katero boste delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika je zapisana za znakom "puščica" in potrebne algebraične operacije se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Rezultat mora biti matrika, v kateri je ena od diagonal enaka 1, vsi drugi koeficienti pa so enaki nič, to pomeni, da je matrika reducirana na obliko enote. Ne smemo pozabiti izvesti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve zahteva previdnost in nekaj izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekatere metode iskanja rešitev so bolj zaželene na določenem področju človeške dejavnosti, druge pa obstajajo za izobraževalne namene.