Seštevanje in odštevanje ulomkov s celimi deli. Ulomki. Odštevanje ulomkov

Opomba! Preden napišete končni odgovor, preverite, ali lahko skrajšate prejeti ulomek.

Odštevanje ulomkov od enaki imenovalci,primeri:

,

,

Odštevanje pravilnega ulomka od ena.

Če je treba od prave enote odšteti ulomek, se enota pretvori v obliko nepravilnega ulomka, njen imenovalec je enak imenovalcu odštetega ulomka.

Primer odštevanja pravilnega ulomka od ena:

Imenovalec ulomka, ki ga želite odšteti = 7 , tj. ena predstavimo kot nepravi ulomek 7/7 in ga odštejemo po pravilu za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Odštevanje pravilnega ulomka od celega števila.

Pravila za odštevanje ulomkov - pravilno iz celega števila (naravno število):

• Dane ulomke, ki vsebujejo celo število, pretvarjamo v neprave. Dobimo običajne pogoje (ni pomembno, ali so z različne imenovalce), ki ga izračunamo po zgoraj navedenih pravilih;
• Nato izračunamo razliko med prejetima ulomkoma. Kot rezultat, bomo skoraj našli odgovor;
• Izvedemo obratno transformacijo, to pomeni, da se znebimo nepravilnega ulomka - v ulomku izberemo cel del.

Od celega števila odštejte pravi ulomek: naravno število predstavite kot mešano število. Tisti. Vzamemo enoto v naravnem številu in jo pretvorimo v obliko nepravilnega ulomka, pri čemer je imenovalec enak tistemu odštetega ulomka.

Primer odštevanja ulomkov:

V primeru smo ena nadomestili z nepravim ulomkom 7/7 in namesto 3 zapisali mešano število ter od ulomka odšteli ulomek.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Ali, povedano drugače, odštevanje različnih ulomkov.

Pravilo za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je potrebno te ulomke najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec (LCD) in šele nato izvesti odštevanje kot pri ulomkih z enakimi imenovalci.

Skupni imenovalec več ulomkov je LCM (najmanjši skupni večkratnik) naravna števila, ki so imenovalci teh ulomkov.

Pozor!Če imata v končnem ulomku števec in imenovalec skupne faktorje, je treba ulomek zmanjšati. Nepravi ulomek je najbolje predstaviti kot mešani ulomek. Pustiti rezultat odštevanja brez zmanjšanja ulomka, kjer je to mogoče, je nepopolna rešitev primera!

Postopek odštevanja ulomkov z različnimi imenovalci.

• poiščite LCM za vse imenovalce;
• vnesite dodatne faktorje za vse ulomke;
• pomnožite vse števce z dodatnim faktorjem;
• Dobljene zmnožke zapišemo v števec, podpišemo skupni imenovalec pod vse ulomke;
• odštejemo števce ulomkov, pod razliko pa podpišemo skupni imenovalec.

Na enak način se izvede seštevanje in odštevanje ulomkov, če so v števcu črke.

Odštevanje ulomkov, primeri:

Odštevanje mešanih ulomkov.

pri odštevanje mešanih ulomkov (števil) ločeno se od celega dela odšteje celo število, od ulomka pa se odšteje ulomek.

Prva možnost za odštevanje mešanih ulomkov.

Če so delni deli enako imenovalci in števec ulomka odštevanca (od njega odštejemo) ≥ števec ulomka odštevalca (odštejemo ga).

Na primer:

Druga možnost za odštevanje mešanih ulomkov.

Pri delnih delih drugačen imenovalci. Za začetek pripeljemo do skupni imenovalec ulomke, nato pa od celega števila odštejemo celo število, od ulomka pa ulomek.

Na primer:

Tretja možnost za odštevanje mešanih ulomkov.

Ulomek odštevanca je manjši od ulomka odštevalca.

primer:

Ker Ulomki imajo različne imenovalce, kar pomeni, da tako kot pri drugi možnosti navadne ulomke najprej spravimo na skupni imenovalec.

Števec ulomka manjšega je manjši od števca ulomka odštevanca.3 < 14. To pomeni, da iz celotnega dela vzamemo enoto in to enoto reduciramo v obliko nepravilnega ulomka z enakim imenovalcem in števcem = 18.

V števec na desni strani zapišemo vsoto števcev, nato pa v števcu na desni strani odpremo oklepaje, torej vse pomnožimo in podamo podobne. Oklepajev v imenovalcu ne odpiramo. Običajno je, da izdelek pustimo v imenovalcih. Dobimo:

Število, zapisano v obliki ulomka, vsebuje informacijo o tem, na koliko delov je treba razdeliti celoto (imenovalec) in koliko teh delov (števec) sestavlja predstavljeni del. ulomek pomen. Celo število je mogoče preoblikovati tudi v ulomek, da poenostavimo matematične operacije, ki vključujejo celo število in ulomke, na primer operacijo odštevanja.

Navodila

1. Pretvorite celo število – »zmanjšano« – v nepravilno obliko ulomka. Če želite to narediti, vstavite samo število v števec in uporabite ena kot imenovalec. Po tem prinesite nastalo razmerje na isti imenovalec, tistega, ki se uporablja v drugem ulomku - v "odbitku". To storite tako, da pomnožite z imenovalcem količine, ki jo odštejete na obeh straneh ulomka količine, ki jo zmanjšujete. Recimo, če morate od 15 odšteti 4/5, potem je treba 15 pretvoriti takole: 15 = 15/1 = (15*5)/(1*5) = 75/5.

2. Odštejte števec ulomka, ki ga želite odšteti, od števca nepravilnega navadnega ulomka, ki ga dobite kot rezultat prvega koraka. Dobljena vrednost bo stala nad ulomkovo črto dobljenega razmerja, imenovalec odštetega ulomka pa postavite pod črto. Recimo, za primer iz prejšnjega koraka lahko celotno operacijo zapišemo takole: 15 – 4/5 = 75/5 – 4/5 = (75-4)/5 = 71/5.

3. Če je števec izračunane vrednosti večji od imenovalca (nepravi ulomek), ga je bolje predstaviti kot mešani ulomek. Če želite to narediti, razdelite večje število za manj - dobljena vrednost brez ostanka bo celo število. Preostanek deljenja postavite v števec ulomka, imenovalec pa pustite nespremenjen. Po takem preoblikovanju bi moral biti rezultat zgoraj opisanega primera v naslednji obliki: 15 – 4/5 = 71/5 = 14 1/5.

4. Zgornji algoritem ustvari rezultat v obliki ulomka, vendar je pogosto treba kot rezultat dobiti decimalni ulomek. Izvedete lahko operacije, opisane v prvih dveh korakih, nato pa števec dobljenega ulomka delite z imenovalcem - dobljena vrednost bo decimalni ulomek. Recimo: 15 – 4/5 = 71/5 = 14,2.

5. Alternativna metoda– prvi korak je pretvorba ulomka, ki ga želite odšteti, v decimalno obliko, to je deljenje njegovega števca z imenovalcem. Po tem ostane odšteti odšteti od skrajšanega s katerim koli udobna metoda(v stolpcu, na kalkulatorju, v glavi). Potem lahko zgoraj opisani primer zapišemo na naslednji način: 15 – 4/5 = 15 – 0,8 = 14,2.

Ulomek je posebna oblika zapisovanja razumnega števila. Lahko je predstavljen tako v decimalnem kot v decimalnem zapisu v običajni obliki. Otroci od petega razreda se ukvarjajo s preoblikovanjem ulomkov, ta operacija ima ogromno uporabljena vrednost, ki jim bo prav prišla tako pri matematiki kot tudi na drugih področjih spretnosti.

Boste potrebovali

• Učbenik za matematiko za 5. razred

Navodila

1. Eden od načinov za preoblikovanje ulomkov je pretvorba iz mešanih v nepravilne. Spomnimo se, da je mešani ulomek sestavljen iz celega števila in pravega ulomka. Izkazalo se je, da je za izvedbo te reforme potrebno: ​​1) imenovalec ulomka pomnožiti s celim delom 2) dobljenemu številu dodati števec 3) potem imenovalec ostane neomajen in v števec zapišite število, dobljeno v koraku 2. Primer: 2(3 /7)= (14+3)/7= 17/7

2. Takšno preoblikovanje lahko izvedemo tudi z drugo metodo: 1) Mešani ulomek predstavimo kot vsoto njegovih celih in ulomkov 2) Celo število predstavimo kot nepravi ulomek z imenovalcem, ki ustreza imenovalcu ulomka mešani ulomek 3) Seštejte pravilne in neprave ulomke. Rezultat bo želeni nepravilni ulomek. Primer: 2(3/7)=2+3/7=14/7+3/7=(14+3)/7=17/7

3. Če morate ulomek pretvoriti v decimalko, delite števec ulomka z imenovalcem. Primer: 4/9 = 0,44444 = 0, (4) 1/4 = 0,25 Tukaj je vredno dodati, da je lahko rezultat pri deljenju dokončen (primer 2) ali neomejen (primer 1). Spomnimo se, da je decimalni A ulomek je ulomek, katerega imenovalec vsebuje celo potenco števila deset. Oblika zapisa te vrste ulomkov se razlikuje od običajnega zapisa. Vanj najprej zapišite število, ki naj bo v števcu, nato pa vejico premaknite za določeno število mest v levo. To število ustreza števki imenovalca. Primer:678/10=67,8678/100=6,78678/1000=0,678678/10000=0,0678

4. Za prehod iz decimalnega ulomka v navadnega morate: 1) premakniti cel del čez znak za ulomek 2) v števec vpisati številke za decimalno vejico, v imenovalec deset pa v imenovalec. ustrezno mesto Primer: 1) 23,65 = 23(65 /10^2)=23(65/100)=23(13/20)2) 40,1=40(1/10)

5. Če želite iz navadnega števila narediti ulomek, si to število predstavljajte kot količnik dveh števil. Dividenda bo v tem primeru števec, delitelj pa imenovalec. Primer: 8 = 16/2 = 8/1 = 24/3.

Opomba!
Upoštevajte število mest za decimalno vejico.

Koristen nasvet
Ne pozabite na pravila zaokroževanja.

Ulomek je eden od elementov formul za vnos v urejevalnik besedil Word obstaja orodje Microsoft Equation. Z njegovo podporo lahko vnesete vse vrste težkih matematičnih ali fizikalnih formul, enačb in drugih elementov, ki vključujejo posebne simbole.

Navodila

1. Če želite zagnati orodje Microsoft Equation, morate iti na naslov: "Vstavi" -> "Predmet", v pogovornem oknu, ki se odpre, na prvem zavihku s seznama morate izbrati Microsoft Equation in klikniti "V redu" ali dvakrat -kliknite na izbrano postavko. Po zagonu urejevalnika formul se pred vami odpre orodna vrstica in v besedilu se izpiše polje za vnos formule: pravokotnik v pikčastem okvirju. Orodna vrstica je razdeljena na segmente, ki vsebujejo nabor akcijskih znakov ali izrazov. Ko kliknete enega od segmentov, se razširi seznam orodij, ki se nahajajo v njem. Na seznamu, ki se odpre, morate izbrati želeni simbol in ga klikniti. Kasnejša izbira, bo podani znak prikazan v izbranem pravokotniku v dokumentu.

2. Segment, v katerem se nahajajo elementi za pisanje ulomkov, se nahaja v 2. vrstici orodne vrstice. Ko z miško premaknete nad njim, boste videli opis orodja »Vzorci ulomkov in radikalov«. Enkrat kliknite razdelek in razširite seznam. V spustnem meniju so primeri za ulomke z vodoravnimi in poševnimi črtami. Med možnostmi, ki se prikažejo, boste morda raje izbrali tisto, ki ustreza vaši nalogi. Kliknite želeno možnost. Po kliku se v vnosnem polju, ki se odpre v dokumentu, pojavi simbol ulomka ter mesta za vnos števca in imenovalca, obrobljena s pikčasto črto. Privzeti kazalec je mehansko postavljen v polje za vnos števca. Vnesite števec. Poleg številk lahko vnesete tudi matematične simbole, črke ali akcijske znake. Vnesete jih lahko s tipkovnice in iz ustreznih segmentov orodne vrstice Microsoft Equation. Kasneje na števcu pritisnite tipko TAB, da se premaknete na imenovalec. Nadaljujete s klikom miške v polje za vnos imenovalca. Ko je formula zapisana, kliknite z miškinim kazalcem kjer koli v dokumentu, orodna vrstica se zapre in vnos ulomka bo končan. Za urejanje ulomka dvokliknite nanj z levim gumbom miške.

3. Če, ko odprete meni “Insert” -> “Object”, na seznamu ne najdete orodja Microsoft Equation, ga morate namestiti. Zaženite namestitveni disk, sliko diska ali distribucijsko datoteko Word. V oknu namestitvenega programa, ki se prikaže, izberite »Dodaj ali odstrani komponente. Dodajanje ali brisanje posamezne komponente« in kliknite »Naprej«. V naslednjem oknu izberite element »Napredne nastavitve aplikacije«. Kliknite Naprej. V naslednjem oknu poiščite element seznama »Orodja za Office« in kliknite znak plus na levi. Na razširjenem seznamu nas skrbi element »Urejevalnik formul«. Kliknite ikono poleg »Urejevalnik enačb« in v meniju, ki se odpre, kliknite »Zaženi iz mojega računalnika«. Po tem kliknite »Posodobi« in počakajte, da se zahtevana komponenta namesti.

Različne oblike zapisovanja ulomkov so lahko zmedene. Prvič, ni vedno udobno delati z decimalnimi oblikami, in drugič, pogosto odražajo manj natančne vrednosti. In v tem primeru lahko tak ulomek pretvorite v tipično obliko.

Navodila

1. Prosimo, upoštevajte, da govorimo o namreč o preoblikovanju decimalnega ulomka v tipično obliko. Obratno delovanje morda ne bo vedno prišlo do tega, kar je povezano s potrebo po zaokroževanju, ki se pojavi v nekaterih primerih: če morate v pogojih danega problema delovati samo z natančnimi vrednostmi, boste morali delovati samo z običajno obliko ulomek.

2. Zapomnite si eno kakovost ulomka, na katero se spuščajo vse dopustne reforme, izvedene s to obliko pisanja številke. Navaja, da množenje ali deljenje števca in imenovalca z istim številom ne spremeni ulomka. Poleg tega ni pomembno, v kakšni obliki zapišete številko: v očitni obliki, bodisi kot sinus kota, bodisi tako, da jo popolnoma označite kot spremenljivko x ali y.

3. Ne pozabite, da lahko v primeru decimalnega ulomka vedno takoj zapišete njegov imenovalec: to bo 10, 100, 1000 itd. Število ničel je določeno s številom mest za decimalno vejico. Še vedno je treba razumeti, kaj napisati v števcu.

4. Zapiši vse števke decimalnega ulomka v števcu. Če je 0,75, bo števec 75, če je 1,35 - 135.

5. Če je mogoče, nadaljujte z nadaljnjimi reformami. To bo morda potrebno za uspešno rešitev težave. Toda tudi če je pretvorba decimalke v običajno obliko za vas precej osnovna, se ne ustavite le pri enem koraku. Upoštevajte, da pravila za pravilno matematično notacijo zahtevajo skladnost z dvema praviloma. Prvič, nastale frakcije se ne sme zmanjšati. Drugič, če je števec večji od imenovalca, je bolje zapisati ulomek v tretji obliki - mešano število.

6. Uporabite kakovost ulomka, da preverite verjetnost zmanjšanja. Manjši kot je imenovalec, manj možnosti boste morali razvrstiti. Če je 10, preverimo, ali je števec deljiv z 2, 5, 10. Če je 100, preverimo, ali je števec deljiv z 2, 4, 5 in ostalimi delitelji 100.

Video na temo

Nasvet 5: Kako pretvoriti mešano število v nepravilni ulomek

številka, ki je zapisano kot celo število in ulomek, imenujemo število v mešanem zapisu. Zaradi lažje izgovorjave je to dolgo ime pogosto skrajšano na besedilo "mešano število". Takšno število ima enako nepravilno ulomek, v katerega se zlahka spremeni.

Boste potrebovali

• Mešana števila, papir, pisalo, 3 jabolka, nož.

Navodila

1. Če ne razumete bistva mešanega števila dobro, vzemite papir in pisalo, da se ne zmedete in naredite vse pozitivno. Za vsako priložnost pripravite 3 jabolka in nož. Tema ulomkov v matematiki velja za eno najtežjih. Šolarji jih začnejo jemati od 3. razreda in se nenehno, skozi celotno naslednjo stopnjo izobraževanja, vračajo k podobnim nalogam, ki pa se iz leta v leto izkažejo za vse težje.

2. Zapišite mešano število. Morda je videti takole: 2 3/4 (to je enako kot 2+3/4). Vnos se bere kot "dve piki tri četrtine." Tukaj je številka 2 celo število mešanega števila, "tri četrtine" pa delni del. Za jasnost si ga predstavljajte v obliki 2 celih jabolk in še enega, od katerega ostanejo tri četrtine, ena četrtina pa je recimo že pojedena.

3. Za pretvorbo mešanega števila v napačno število ulomek, pomnožite imenovalec njegovega ulomka s celim delom. IN v tem primeru to je: 4x2=8. Vrnite se k vizualnemu primeru jabolk. Celo 2 cela sadeža razrežite na štiri enake dele. Kasneje bo v tej operaciji tudi osem enot.

4. Nadaljnji postopek: dobljenemu produktu dodamo števec ulomka mešanega števila. Se pravi, dodajte 3 k 8. Izkazalo se je: 8+3=11. In zdaj obstoječim osmim koščkom jabolka dodajte tri podobne rezine jabolka, ki so sprva ostale nepopolne. Vsakega bo enajst rezin.

5. Zadnji korak: namesto števca nepravilnega ulomka zapišite dobljeni znesek. V tem primeru pustite imenovalec ulomka brez metamorfoze. Rezultat v tem primeru bi bil: 11/4. Ta se bere narobe ulomek kot v "enajst štiri". In če se spet obrnete na jabolka, boste videli, da je vsaka od rezin četrtina celega jabolka in vsaka ima enajst rezin. To pomeni, da ko jih zberete skupaj, boste tukaj dobili enajst jabolčnih četrtin.

Video na temo

Vse meritve so izražene s številkami, recimo dolžina, površina in prostornina v geometriji, razdalja in hitrost v fiziki itd. Rezultat se ne izkaže vedno za celoto, tako nastanejo ulomki. obstajati različne akcije z njimi in zlasti z metodami za njihovo preoblikovanje je mogoče navadni ulomek pretvoriti v decimalko.

Navodila

1. Ulomek je zapis v obliki m/n, kjer m pripada množici celih števil, n pa naravnim številom. Poleg tega, če je m>n, potem je ulomek nepravilen, iz njega je mogoče ločiti cel del. Ko števec m in imenovalec n pomnožimo z istim številom, ostane rezultat nespremenjen. Vse reformne operacije temeljijo na tem pravilu. Tako je mogoče navadni ulomek spremeniti v decimalko z izbiro ustreznega faktorja.

2. Decimalni ulomek se razlikuje po imenovalcu, ki je večkratnik števila deset. Ta zapis je podoben števkam celih števil, ki gredo v naraščajočem vrstnem redu od desne proti levi. Posledično je za prevod navadnega ulomka treba izračunati tako univerzalni eksponent za njegov dividendo in delitelj, tako da končni vsebuje samo decimalke, stotinke, tisočinke itd. ulomki Primer: pretvorite ulomek? v decimalni obliki.

3. Izberite takšno število, da bo rezultat množenja z imenovalcem večkratnik 10. Utemeljite obratno: ali je mogoče število 4 spremeniti v 10? Rezultat: ne, saj 10 ni deljivo s 4. Potem je 100? Da, 100 delimo s 4 brez ostanka, rezultat je 25. Števec in imenovalec pomnožimo s 25 in rezultat zapišemo v decimalni obliki:? = 25/100 = 0,25.

4. Izbirne metode ni vedno mogoče uporabiti, obstajata še dve metodi. Teza njihove uporabe je pravzaprav enaka, razlikuje se le zapis. Eden od njih je postopno dodeljevanje decimalnih mest. Primer: pretvorite ulomek 1/8.

5. Utemelji naprej: 1/8 nima celega dela, zato je enaka 0. Zapiši to število in za njim postavi vejico; Pomnožite 1/8 z 10, da dobite 10/8. Iz tega ulomka lahko izberete celo število, ki je enako 1. Vnesite ga za vejico. Nadaljujte z delom z nastalim ostankom 2/8; 2/8*10 = 20/8. Cel del je 2, ostanek je 4/8. Vmesni rezultat – 0,12; 4/8*10 = 40/8. Iz tabele množenja sledi, da je 40 popolnoma deljivo z 8. S tem so vaši izračuni končani, končni rezultat je 0,125 ali 125/1000.

6. In končno, 3. metoda je delitev stolpcev. Vsakič, ko morate manjše število deliti z večjim, spustite ničlo »na vrh« (glej sliko).

7. Če želite nepravilni ulomek pretvoriti v decimalko, morate najprej izbrati cel del. Recimo: 25/3 = 8 1/3. Zapišite celoten del 8, dodajte vejico in pretvorite ulomek 1/3 z enim od zgoraj opisanih načinov. Na žalost ni števila, ki bi bilo večkratnik 10 in bi bilo deljivo s 3 brez ostanka. V podobni situaciji se uporablja tako imenovana točka, ko je v oklepaju zapisana neizmerno ponavljajoča se številka: 8 1/3? 8,…;1/3*10 = 10/3? 8,3..., ostanek = 1/3;1/3*10 = 10/3? 8,33..., ostanek = 1/3 itd. do neskončnosti Rezultat: 8 1/3 = 8,3....3 = 8.(3).

Video na temo

Bistvena posebnost človeške inteligence je sposobnost abstraktnega mišljenja. Ena najvišjih oblik abstrakcije v človeškem svetu je število. Obstaja več kategorij števil z različnimi lastnostmi. Še posebej poznan in pogosto uporabljen v Vsakdanje življenje so cela in realna števila. Kot običajno so števila zapisana v decimalnem številskem sistemu. Realne številke so označeni z decimalnimi ulomki. Ena od slabosti snemanja ulomkov kot decimalke je njihova natančnost omejena. Kadar je natančnost še posebej pomembna, se števila zapišejo kot ulomki (pari števec-imenovalec). V nekaterih primerih so ulomki izjemno priročni, vendar so aritmetične operacije z njimi težje kot z decimalna števila. Recimo, da bi odšteli ulomek z različnimi imenovalci, morate izvesti več matematičnih operacij.

Boste potrebovali

• Kalkulator ali list papirja s peresom.

Navodila

1. Zmanjšaj ulomke na enak imenovalec. Pomnožite števec in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka. Pomnožite števec in imenovalec 2. ulomka z imenovalcem prvega. Recimo, če sta začetna ulomka 6/7 in 5/11, bosta ulomka, zmanjšana na skupni imenovalec, 66/77 in 35/77. V tem primeru smo števec in imenovalec prvega ulomka pomnožili s številom 11, števec in imenovalec 2. ulomka pa s številom 7.

2. Odštej ulomke. Od števca prvega ulomka odštej števec 2. ulomka. Dobljeno vrednost zapiši kot števec dobljenega ulomka. Kot imenovalec vsote nadomestite skupni imenovalec, dobljen v prejšnjem koraku. Torej, pri odštevanju vrednosti ulomka 35/77 od ulomka 66/77 je rezultat 31/77 (števec 35 je bil odštet od števca 66, imenovalec pa je ostal kot prejšnji).

3. Po potrebi zmanjšajte nastalo frakcijo. Za števec in imenovalec dobljenega ulomka izberite največji univerzalni delitelj, čudež 1. Z njim delite števec in imenovalec. Zapišite nove vrednosti kot števec in imenovalec končnega ulomka. Največji univerzalni delitelj, čudežni iz 1, morda ne obstaja. V tem primeru pustite začetno vrednost kot skupno. ulomek .

Ena najpomembnejših ved, katere uporabo lahko vidimo v disciplinah, kot so kemija, fizika in celo biologija, je matematika. Študij te znanosti vam omogoča, da razvijete nekatere duševne lastnosti in izboljšate svojo sposobnost koncentracije. Ena izmed tem, ki si pri predmetu matematika zasluži posebno pozornost, je seštevanje in odštevanje ulomkov. Veliko študentov se težko uči. Morda vam bo naš članek pomagal bolje razumeti to temo.

Kako odšteti ulomke, katerih imenovalci so enaki

Ulomki so enaka števila, s katerimi lahko proizvajate razne akcije. Njihova razlika od celih števil je v prisotnosti imenovalca. Zato morate pri izvajanju operacij z ulomki preučiti nekatere njihove značilnosti in pravila. večina preprost primer je odštevanje navadni ulomki, katerih imenovalci so predstavljeni kot isto število. Izvajanje tega dejanja ne bo težko, če poznate preprosto pravilo:

• Da od enega ulomka odštejemo sekundo, je treba od števca ulomka, ki ga zmanjšujemo, odšteti števec odštetega ulomka. To število zapišemo v števec razlike, imenovalec pustimo enak: k/m - b/m = (k-b)/m.

Primeri odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od števca ulomka "7" odštejemo števec ulomka "3", ki ga želimo odšteti, dobimo "4". To številko zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa postavimo isto številko, ki je bila v imenovalcih prvega in drugega ulomka - "19".

Spodnja slika prikazuje še več podobnih primerov.

Oglejmo si bolj zapleten primer, kjer se odštejejo ulomki s podobnimi imenovalci:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od števca ulomka "29", ki se zmanjša z odštevanjem števcev vseh naslednjih ulomkov - "3", "8", "2", "7". Kot rezultat dobimo rezultat "9", ki ga zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa zapišemo število, ki je v imenovalcih vseh teh ulomkov - "47".

Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov poteka po istem principu.

• Če želite sešteti ulomke, katerih imenovalci so enaki, morate sešteti števce. Dobljeno število je števec vsote, imenovalec pa bo ostal enak: k/m + b/m = (k + b)/m.

Poglejmo, kako je to videti na primeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Števcu prvega člena ulomka - "1" - dodajte števec drugega člena ulomka - "2". Rezultat - "3" - se zapiše v števec vsote, imenovalec pa ostane enak tistemu, ki je prisoten v ulomkih - "4".

Ulomki z različnimi imenovalci in njihovo odštevanje

Upoštevali smo že operacijo z ulomki, ki imajo enak imenovalec. Kot lahko vidite, je ob poznavanju preprostih pravil reševanje takšnih primerov precej enostavno. Kaj pa, če morate izvesti operacijo z ulomki, ki imajo različne imenovalce? Mnogi srednješolci so takšni primeri zbegani. Toda tudi tukaj, če poznate princip rešitve, vam primeri ne bodo več težki. Tukaj je tudi pravilo, brez katerega je reševanje takih ulomkov preprosto nemogoče.

Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih je treba zmanjšati na enak najmanjši imenovalec.



O tem, kako to storiti, bomo podrobneje govorili.

Lastnost ulomka

Da bi več ulomkov spravili na isti imenovalec, morate v rešitvi uporabiti glavno lastnost ulomka: po deljenju ali množenju števca in imenovalca z istim številom dobite ulomek, ki je enak danemu.

Tako ima lahko na primer ulomek 2/3 imenovalce, kot so "6", "9", "12" itd., kar pomeni, da ima lahko obliko poljubnega števila, ki je večkratnik "3". Ko pomnožimo števec in imenovalec z "2", dobimo ulomek 4/6. Ko pomnožimo števec in imenovalec prvotnega ulomka s "3", dobimo 6/9, in če podobno dejanje proizvajamo s številko "4", dobimo 8/12. Eno enakost lahko zapišemo takole:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako pretvoriti več ulomkov na isti imenovalec

Poglejmo, kako zmanjšati več ulomkov na isti imenovalec. Za primer vzemimo ulomke, prikazane na spodnji sliki. Najprej morate ugotoviti, katero število lahko postane imenovalec za vse. Za lažjo stvar razložimo obstoječe imenovalce.

Imenovalec ulomka 1/2 in ulomka 2/3 ni mogoče faktorizirati. Imenovalec 7/9 ima dva faktorja 7/9 = 7/(3 x 3), imenovalec ulomka 5/6 = 5/(2 x 3). Zdaj moramo določiti, kateri faktorji bodo najmanjši za vse te štiri ulomke. Ker ima prvi ulomek v imenovalcu številko "2", to pomeni, da mora biti prisoten v vseh imenovalcih, v ulomku 7/9 sta dva trojčka, kar pomeni, da morata biti oba prisotna tudi v imenovalcu. Ob upoštevanju zgoraj navedenega ugotovimo, da je imenovalec sestavljen iz treh faktorjev: 3, 2, 3 in je enak 3 x 2 x 3 = 18.



Razmislimo o prvem ulomku - 1/2. V imenovalcu je "2", vendar ni niti ene številke "3", ampak bi morali biti dve. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec z dvema trojkama, glede na lastnost ulomka pa moramo števec pomnožiti z dvema trojkama:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Enake operacije izvajamo s preostalimi frakcijami.

• 2/3 - ena trojka in ena dve manjkata v imenovalcu:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ali 7/(3 x 3) - v imenovalcu manjka dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ali 5/(2 x 3) - v imenovalcu manjka trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Vse skupaj izgleda takole:



Kako odštevati in seštevati ulomke, ki imajo različne imenovalce

Kot je navedeno zgoraj, je treba ulomke, ki imajo različne imenovalce, dodati ali odšteti, jih zmanjšati na isti imenovalec in nato uporabiti pravila za odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, o katerih smo že govorili.

Poglejmo to kot primer: 4/18 - 3/15.

Iskanje večkratnika števil 18 in 15:

• Število 18 je sestavljeno iz 3 x 2 x 3.
• Število 15 je sestavljeno iz 5 x 3.
• Skupni večkratnik bodo naslednji faktorji: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Ko je imenovalec najden, je treba izračunati faktor, ki bo za vsak ulomek drugačen, to je število, s katerim bo treba pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec. Če želite to narediti, razdelite število, ki smo ga našli (skupni večkratnik), z imenovalcem ulomka, za katerega je treba določiti dodatne faktorje.

• 90 deljeno s 15. Dobljeno število "6" bo množitelj za 3/15.
• 90 deljeno z 18. Dobljeno število "5" bo množitelj za 4/18.

Naslednja stopnja naše rešitve je zmanjšanje vsakega ulomka na imenovalec "90".

O tem, kako se to naredi, smo že govorili. Poglejmo, kako je to zapisano na primeru:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Če imajo ulomki majhna števila, potem lahko določite skupni imenovalec, kot je prikazano v primeru na spodnji sliki.



Enako velja za tiste z različnimi imenovalci.

Odštevanje in ob celih delih

O odštevanju ulomkov in njihovem seštevanju smo že podrobno govorili. Toda kako odšteti, če ima ulomek celo število? Spet uporabimo nekaj pravil:

• Pretvori vse ulomke, ki imajo celo število, v neprave. Govorjenje s preprostimi besedami, odstranite celoten del. Če želite to narediti, pomnožite število celega dela z imenovalcem ulomka in dodajte dobljeni produkt k števcu. Število, ki se pojavi po teh dejanjih, je števec nepravilnega ulomka. Imenovalec ostane nespremenjen.
• Če imajo ulomki različne imenovalce, jih je treba zmanjšati na isti imenovalec.
• Izvedite seštevanje ali odštevanje z istimi imenovalci.
• Ko prejmete nepravilni ulomek, izberite cel del.



Obstaja še en način, na katerega lahko seštevate in odštevate ulomke s celimi deli. Za to se dejanja izvajajo ločeno s celimi deli, dejanja z ulomki ločeno, rezultati pa se zabeležijo skupaj.



Podani primer je sestavljen iz ulomkov z enakim imenovalcem. V primeru, da so imenovalci različni, jih je treba spraviti na isto vrednost in nato izvesti dejanja, kot je prikazano v primeru.

Odštevanje ulomkov od celih števil

Druga vrsta operacije z ulomki je primer, ko je treba ulomek odšteti.Ta primer se na prvi pogled zdi težko rešljiv. Vendar je tukaj vse precej preprosto. Če ga želite rešiti, morate pretvoriti celo število v ulomek in z enakim imenovalcem, kot je v odštetem ulomku. Nato izvedemo odštevanje podobno odštevanju z enakimi imenovalci. Na primeru je videti takole:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odštevanje ulomkov (6. razred), predstavljeno v tem članku, je osnova za reševanje zahtevnejših primerov, ki jih obravnavamo v naslednjih razredih. Znanje te teme se kasneje uporabi za reševanje funkcij, odvodov ipd. Zato je zelo pomembno razumeti in razumeti zgoraj obravnavane operacije z ulomki.

Ulomki so navadna števila in jih je mogoče tudi seštevati in odštevati. Toda ker imajo imenovalec, zahtevajo bolj zapletena pravila kot za cela števila.

Razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva ulomka z enakima imenovalcema. Nato:

Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen.

Če želite odšteti ulomke z enakimi imenovalci, morate števec drugega odšteti od števca prvega ulomka in ponovno pustiti imenovalec nespremenjen.

Znotraj vsakega izraza sta imenovalca ulomka enaka. Po definiciji seštevanja in odštevanja ulomkov dobimo:

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega: samo seštejemo ali odštejemo števce in to je to.

Toda tudi pri tako preprostih dejanjih ljudje delajo napake. Najpogosteje se pozablja, da se imenovalec ne spreminja. Na primer, ko jih dodajajo, se tudi začnejo seštevati, kar je v osnovi napačno.

Znebiti se slaba navada Seštevanje imenovalcev je povsem preprosto. Poskusite isto pri odštevanju. Posledično bo imenovalec enak nič, ulomek pa bo (nenadoma!) izgubil pomen.

Zato si enkrat za vselej zapomnite: pri seštevanju in odštevanju se imenovalec ne spremeni!

Mnogi se zmotijo ​​tudi pri seštevanju več negativnih ulomkov. Obstaja zmeda z znaki: kje dati minus in kje dati plus.

Tudi to težavo je zelo enostavno rešiti. Dovolj je, da se spomnimo, da lahko minus pred znakom ulomka vedno prenesemo na števec - in obratno. In seveda ne pozabite na dve preprosti pravili:

1. Plus z minusom daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Poglejmo vse to s konkretnimi primeri:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

V prvem primeru je vse preprosto, v drugem pa dodamo minuse števcem ulomkov:

Kaj storiti, če sta imenovalca različna

Ulomkov z različnimi imenovalci ne morete neposredno seštevati. Vsaj meni ta metoda ni znana. Vendar lahko izvirne ulomke vedno prepišemo tako, da postanejo imenovalci enaki.

Obstaja veliko načinov za pretvorbo ulomkov. O treh od njih se razpravlja v lekciji " Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec«, zato se na njih tukaj ne bomo zadrževali. Oglejmo si nekaj primerov:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

V prvem primeru ulomke reduciramo na skupni imenovalec po metodi »križ-navzkriž«. V drugem bomo iskali NOC. Upoštevajte, da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Zadnji faktorji v teh razširitvah so enaki, prvi pa relativno praštevilni. Zato je LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Kaj storiti, če ima ulomek celo število

Lahko vas razveselim: imeti različne imenovalce v ulomkih ni najbolj veliko zlo. Veliko več napak se pojavi, če je v ulomkih seštevka označen cel del.

Seveda obstajajo lastni algoritmi seštevanja in odštevanja za takšne ulomke, vendar so precej zapleteni in zahtevajo dolgo študijo. Bolje uporabite spodnji preprost diagram:

1. Pretvori vse ulomke, ki vsebujejo celo število, v neprave. Dobimo normalne člene (tudi z različnimi imenovalci), ki se izračunajo po zgoraj obravnavanih pravilih;
2. Pravzaprav izračunajte vsoto ali razliko dobljenih ulomkov. Posledično bomo praktično našli odgovor;
3. Če je to vse, kar je bilo v nalogi zahtevano, izvedemo inverzno transformacijo, tj. Nepravilnega ulomka se znebimo tako, da poudarimo cel del.

Pravila za premikanje na nepravilne ulomke in poudarjanje celotnega dela so podrobno opisana v lekciji " Kaj je številski ulomek" Če se ne spomnite, ga obvezno ponovite. Primeri:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Tukaj je vse preprosto. Imenovalci znotraj vsakega izraza so enaki, tako da ostane le še, da pretvorimo vse ulomke v neprave in preštejemo. Imamo:

Za poenostavitev izračunov sem v zadnjih primerih preskočil nekaj očitnih korakov.

Majhna opomba o zadnjih dveh primerih, kjer se ulomka s poudarjenim celim delom odštejeta. Minus pred drugim ulomkom pomeni, da se odšteje celoten ulomek in ne le njegov cel del.

Še enkrat preberite ta stavek, poglejte primere – in razmislite o tem. Tukaj začetniki priznajo velik znesek napake. Radi dajejo takšne naloge testi. Večkrat jih boste srečali tudi v testih za to lekcijo, ki bodo objavljeni v kratkem.

Povzetek: splošna računska shema

Na koncu bom podal splošen algoritem, ki vam bo pomagal najti vsoto ali razliko dveh ali več ulomkov:

1. Če ima eden ali več ulomkov celo število, te ulomke pretvorite v neprave;
2. Vse ulomke prinesite na skupni imenovalec na kakršen koli način, ki vam ustreza (razen če seveda tega niso storili pisci težav);
3. Dobljena števila seštejte ali odštejte po pravilih za seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci;
4. Če je mogoče, skrajšajte rezultat. Če ulomek ni pravilen, izberite cel del.

Ne pozabite, da je bolje poudariti celoten del na samem koncu naloge, tik preden zapišete odgovor.