Kako izračunati površino trapeza na podlagi štirih strani. Območje trapeza: kako izračunati, formula

V matematiki je znanih več vrst štirikotnikov: kvadrat, pravokotnik, romb, paralelogram. Med njimi je trapez – vrsta konveksnega štirikotnika, pri katerem sta dve stranici vzporedni, drugi dve pa ne. Vzporedni nasprotni stranici se imenujeta osnovici, drugi dve pa stranski stranici trapeza. Odsek, ki povezuje razpolovni točki stranic, se imenuje srednja črta. Obstaja več vrst trapeza: enakokraki, pravokotni, ukrivljeni. Za vsako vrsto trapeza obstajajo formule za iskanje območja.

Območje trapeza

Če želite najti območje trapeza, morate poznati dolžino njegovih baz in višino. Višina trapeza je odsek, pravokoten na osnove. Naj bo zgornja osnova a, spodnja osnova b in višina h. Nato lahko izračunate površino S po formuli:

S = ½ * (a+b) * h

tiste. vzemite polovico vsote osnov, pomnoženo z višino.

Prav tako bo mogoče izračunati površino trapeza, če sta znani višina in srednjica. Označimo srednjo črto - m. Potem

Rešimo bolj zapleten problem: znane so dolžine štirih stranic trapeza - a, b, c, d. Potem bo območje najdeno s formulo:

Če sta znani dolžini diagonal in kot med njima, se območje išče na naslednji način:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

kjer sta d z indeksoma 1 in 2 diagonali. V tej formuli je v izračunu podan sinus kota.

Glede na znani dolžini osnov a in b ter dva kota pri spodnji osnovici se ploščina izračuna na naslednji način:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Območje enakokrakega trapeza

Enakokraki trapez je poseben primer trapeza. Njegova razlika je v tem, da je takšen trapez konveksen štirikotnik s simetrično osjo, ki poteka skozi središča dveh nasprotnih strani. Njegove stranice so enake.

Najdi območje enakokraki trapez mogoče na več načinov.

• Skozi dolžine treh stranic. V tem primeru bodo dolžine stranic sovpadale, zato so označene z eno vrednostjo - c, in a in b - dolžine baz:

• Če so znani dolžina zgornje osnove, stranica in kot pri spodnji podlagi, se površina izračuna na naslednji način:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

kjer je a zgornja osnova, c - strani.

• Če je namesto zgornje osnove znana dolžina spodnje - b, se površina izračuna po formuli:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Če sta znani dve osnovici in kot pri spodnji osnovi, se ploščina izračuna preko tangensa kota:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Ploščino izračunamo tudi preko diagonal in kota med njimi. V tem primeru sta diagonali enako dolgi, zato vsako označimo s črko d brez indeksov:

S = ½ * d2 * sin α

• Izračunajmo površino trapeza, pri čemer poznamo dolžino stranice, središčnico in kot pri spodnji podlagi.

Naj bo stran zraven, srednja črta- m, kot - a, nato:

S = m * c * sin α

Včasih lahko v enakostranični trapez vpišete krog, katerega polmer bo r.

Znano je, da lahko v vsak trapez vpišemo krog, če je vsota dolžin osnov enaka vsoti dolžin njegovih stranic. Potem lahko območje najdemo skozi polmer včrtanega kroga in kot pri spodnji osnovi:

S = 4r2 / sin α

Enak izračun se izvede z uporabo premera D včrtanega kroga (mimogrede, sovpada z višino trapeza):

Če poznamo osnovo in kot, se površina enakokrakega trapeza izračuna na naslednji način:

S = a * b / sin α

(ta in naslednje formule veljajo le za trapeze z včrtanim krogom).

Z uporabo osnov in polmera kroga se območje najde na naslednji način:

Če so znane samo baze, se površina izračuna po formuli:

Skozi osnove in stransko črto se površina trapeza z včrtanim krogom ter skozi osnove in središče - m izračuna na naslednji način:

Območje pravokotnega trapeza

Trapez se imenuje pravokoten, če je ena od njegovih stranic pravokotna na podlago. V tem primeru dolžina stranice sovpada z višino trapeza.

Pravokotni trapez je sestavljen iz kvadrata in trikotnika. Ko najdete površino vsake figure, seštejte rezultate in dobite skupno površino figure.

Tudi splošne formule za izračun površine trapeza so primerne za izračun površine pravokotnega trapeza.

• Če sta znani dolžini baz in višina (ali pravokotna stranica), se površina izračuna po formuli:

S = (a + b) * h / 2

Stranska stran c lahko deluje kot h (višina). Potem je formula videti takole:

S = (a + b) * c / 2

• Drug način za izračun površine je množenje dolžine središčne črte z višino:

ali z dolžino stranske pravokotne stranice:

• Naslednji način izračuna je polovica zmnožka diagonal in sinusa kota med njima:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Če sta diagonali pravokotni, se formula poenostavi na:

S = ½ * d1 * d2

• Drug način za izračun je preko pol-obsega (vsota dolžin dveh nasprotnih strani) in polmera včrtanega kroga.

Ta formula velja za baze. Če vzamemo dolžine strani, bo ena od njih enaka dvakratnemu polmeru. Formula bo videti takole:

S = (2r + c) * r

• Če je v trapez vpisan krog, se površina izračuna na enak način:

kjer je m dolžina središčne črte.

Območje ukrivljenega trapeza

Krivočrtni trapez je ploska figura, omejena z grafom nenegativne zvezne funkcije y = f(x), določene na odseku, abscisni osi in premicah x = a, x = b. V bistvu sta dve njeni strani med seboj vzporedni (bazi), tretja stranica je pravokotna na osnovo, četrta pa je krivulja, ki ustreza grafu funkcije.

Območje krivolinijskega trapeza se išče z integralom po Newton-Leibnizovi formuli:

Tako se izračunajo površine različne vrste trapez. Toda poleg lastnosti stranic imajo trapezi enake lastnosti kotov. Tako kot vsi obstoječi štirikotniki je vsota notranjih kotov trapeza 360 stopinj. In vsota kotov, ki mejijo na stran, je 180 stopinj.

Da bi se počutili samozavestno in uspešno reševali probleme pri pouku geometrije, ni dovolj, da se naučite formul. Najprej jih je treba razumeti. Bojati se, še bolj pa sovražiti formule, je neproduktivno. Ta članek bo analiziral v dostopnem jeziku različne načine Iskanje območja trapeza. Za boljša absorpcija ustreznih pravil in izrekov, bomo nekaj pozornosti namenili njegovim lastnostim. To vam bo pomagalo razumeti, kako pravila delujejo in v katerih primerih je treba uporabiti določene formule.

Definiranje trapeza

Kakšna številka je to na splošno? Trapez je mnogokotnik s štirimi vogali in dvema vzporednima stranicama. Drugi dve stranici trapeza se lahko nagneta različne kote. Njo vzporedne stranice se imenujejo osnove, za nevzporedne stranice pa se uporablja ime "stranice" ali "boki". Takšne številke so v vsakdanje življenje. Obrisi trapeza so vidni v silhuetah oblačil, notranjih predmetov, pohištva, posode in mnogih drugih. Trapez se zgodi različni tipi: skalen, enakostranični in pravokotni. Njihove vrste in lastnosti bomo podrobneje preučili kasneje v članku.

Lastnosti trapeza

Na kratko se osredotočimo na lastnosti te figure. Vsota kotov, ki mejijo na katero koli stran, je vedno 180°. Vedeti je treba, da vsi koti trapeza seštejejo 360°. Trapez ima koncept srednje črte. Če sredine stranic povežete z odsekom, bo to srednja črta. Označuje se z m. Srednja črta ima pomembne lastnosti: vedno je vzporeden z bazami (spomnimo se, da sta vzporedni tudi osnovi) in enak njihovi polvsoti:

To definicijo se je treba naučiti in razumeti, saj je ključ do rešitve mnogih problemov!

Pri trapezu lahko vedno znižaš višino na podlago. Nadmorska višina je navpičnica, pogosto označena s simbolom h, ki je potegnjena iz katere koli točke ene baze na drugo osnovo ali njen podaljšek. Srednja črta in višina vam bosta pomagala najti območje trapeza. Takšne naloge so najpogostejše pri šolskem tečaju geometrije in se redno pojavljajo med testnimi in izpitnimi nalogami.

Najenostavnejše formule za območje trapeza

Oglejmo si dve najbolj priljubljeni in preprosti formuli, ki se uporabljata za iskanje površine trapeza. Dovolj je, da višino pomnožite s polovično vsoto baz, da zlahka najdete, kar iščete:

S = h*(a + b)/2.

V tej formuli a, b označujeta osnove trapeza, h - višino. Zaradi lažjega dojemanja so v tem članku znaki za množenje v formulah označeni s simbolom (*), čeprav je v uradnih referenčnih knjigah znak za množenje običajno izpuščen.

Poglejmo si primer.

Podano: trapez z dvema osnovama, enakima 10 in 14 cm, višina je 7 cm. Kakšna je ploščina trapeza?

Poglejmo rešitev te težave. S to formulo morate najprej najti polovično vsoto osnov: (10+14)/2 = 12. Torej je polovična vsota enaka 12 cm, zdaj pa pomnožimo polovično vsoto z višino: 12*7 = 84. Kar iščemo, smo našli. Odgovor: Površina trapeza je 84 kvadratnih metrov. cm.

Druga dobro znana formula pravi: površina trapeza je enaka produktu srednje črte in višine trapeza. To pomeni, da dejansko izhaja iz prejšnjega koncepta srednje črte: S=m*h.

Uporaba diagonal za izračune

Drug način za iskanje območja trapeza pravzaprav ni tako zapleten. Povezan je s svojimi diagonalami. S to formulo morate za iskanje površine pomnožiti polprodukt njenih diagonal (d 1 d 2) s sinusom kota med njima:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Oglejmo si problem, ki prikazuje uporabo te metode. Podano je: trapez z dolžino diagonal 8 oziroma 13 cm, kot a med diagonalama je 30°. Poiščite območje trapeza.

rešitev. Z uporabo zgornje formule je enostavno izračunati, kaj je potrebno. Kot veste, je sin 30° 0,5. Zato je S = 8*13*0,5=52. Odgovor: površina je 52 kvadratnih metrov. cm.

Iskanje površine enakokrakega trapeza

Trapez je lahko enakokrak (enakokrak). Njegove stranice so enake in koti pri osnovah so enaki, kar dobro prikazuje slika. Enakokraki trapez ima enake lastnosti kot običajni, poleg tega pa ima še vrsto posebnih. Okoli enakokraki trapez krog je mogoče opisati in vanj lahko včrtamo krog.

Katere metode obstajajo za izračun površine takšne figure? Spodnja metoda bo zahtevala veliko izračunov. Če ga želite uporabiti, morate poznati vrednosti sinusa (sin) in kosinusa (cos) kota na dnu trapeza. Za njihov izračun potrebujete Bradisove tabele ali inženirski kalkulator. Tukaj je formula:

S= c*greh a*(a - c*cos a),

Kje z- stransko stegno, a- kot na spodnji podlagi.

Enakostranični trapez ima enako dolge diagonale. Velja tudi obratno: če ima trapez enaki diagonali, potem je enakokrak. Od tod naslednja formula za pomoč pri iskanju površine trapeza - polovični produkt kvadrata diagonal in sinusa kota med njima: S = ½ d 2 sin a.

Iskanje površine pravokotnega trapeza

Poseben primer pravokotnega trapeza je znan. To je trapez, v katerem ena stran (njeno stegno) meji na osnove pod pravim kotom. Ima lastnosti pravilnega trapeza. Poleg tega ima zelo zanimiva lastnost. Razlika v kvadratih diagonal takega trapeza je enaka razliki v kvadratih njegovih baz. Zanj se uporabljajo vse prej opisane metode za izračun površine.

Uporabljamo iznajdljivost

Obstaja en trik, ki vam lahko pomaga, če pozabite določene formule. Oglejmo si podrobneje, kaj je trapez. Če ga mentalno razdelimo na dele, bomo dobili znane in razumljive geometrijske oblike: kvadrat ali pravokotnik in trikotnik (enega ali dva). Če sta znani višina in stranice trapeza, lahko uporabite formule za površino trikotnika in pravokotnika in nato seštejete vse nastale vrednosti.

Naj to ponazorimo z naslednjim primerom. Podan je pravokoten trapez. Kot C = 45°, kota A, D sta 90°. Zgornja osnova trapeza je 20 cm, višina 16 cm, morate izračunati površino figure.

Ta številka je očitno sestavljena iz pravokotnika (če sta dva kota enaka 90°) in trikotnika. Ker je trapez pravokoten, je njegova višina enaka njegovi strani, to je 16 cm, imamo pravokotnik s stranicami 20 oziroma 16 cm. Zdaj razmislite o trikotniku, katerega kot je 45°. Vemo, da ima ena stranica 16 cm.Ker je ta stranica tudi višina trapeza (in vemo, da se višina spušča na osnovo pod pravim kotom), je torej drugi kot trikotnika 90°. Zato je preostali kot trikotnika 45°. Posledica tega je, da dobimo pravokoten enakokraki trikotnik z dvema enakima stranicama. To pomeni, da je druga stran trikotnika enaka višini, to je 16 cm, še vedno je treba izračunati površino trikotnika in pravokotnika ter dodati dobljene vrednosti.

Ploščina pravokotnega trikotnika je enaka polovici produkta njegovih nog: S = (16*16)/2 = 128. Ploščina pravokotnika je enaka produktu njegove širine in dolžine: S = 20 * 16 = 320. Našli smo zahtevano: območje trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadratnih metrov. glej Z zgornjimi formulami se lahko preprosto dvakrat preverite, odgovor bo enak.

Uporabljamo formulo Pick

Na koncu predstavljamo še eno izvirno formulo, ki pomaga najti območje trapeza. Imenuje se formula Pick. Primerna je za uporabo, ko je narisan trapez karirast papir. Podobne težave pogosto najdemo v materialih GIA. Videti je takole:

S = M/2 + N - 1,

v tej formuli je M število vozlišč, tj. presečišča črt slike s črtami celice na mejah trapeza (oranžne točke na sliki), N je število vozlišč znotraj slike ( modre pike). Najbolj priročno ga je uporabiti pri iskanju območja nepravilnega mnogokotnika. Vendar večji kot je arzenal uporabljenih tehnik, manj je napak in boljši so rezultati.

Seveda predložene informacije ne izčrpajo vrst in lastnosti trapeza, pa tudi metod za iskanje njegovega območja. Ta članek ponuja pregled njegovih najpomembnejših značilnosti. Pri reševanju geometrijskih nalog je pomembno postopoma, začeti z enostavnimi formulami in nalogami, dosledno utrjevati svoje razumevanje in prehajati na drugo stopnjo zahtevnosti.

Skupaj zbrane najpogostejše formule bodo učencem pomagale krmariti po različnih načinih izračuna površine trapeza in se bolje pripraviti na teste in testi na to temo.

Območje trapeza. Pozdravi! V tej publikaciji si bomo ogledali to formulo. Zakaj je točno takšna in kako jo razumeti. Če obstaja razumevanje, potem vam ga ni treba učiti. Če želite samo pogledati to formulo in nujno, potem se lahko takoj pomaknete navzdol po strani))

Zdaj podrobno in po vrsti.

Trapez je štirikotnik, dve stranici tega štirikotnika sta vzporedni, drugi dve pa ne. Tiste, ki niso vzporedne, so osnove trapeza. Drugi dve se imenujeta strani.

Če sta stranici enaki, se trapez imenuje enakokrak. Če je ena od stranic pravokotna na osnove, potem se tak trapez imenuje pravokoten.

V svoji klasični obliki je trapez upodobljen na naslednji način - večja osnova je na dnu oziroma manjša je na vrhu. Toda nihče ne prepoveduje upodabljanja nje in obratno. Tukaj so skice:

Naslednji pomemben koncept.

Srednja črta trapeza je odsek, ki povezuje središča stranic. Srednja črta je vzporedna z osnovami trapeza in je enaka njihovi polvsoti.

Zdaj pa se poglobimo. Zakaj je temu tako?

Razmislite o trapezu z osnovami a in b in s srednjo črto l, in izvedite nekaj dodatnih konstrukcij: narišite ravne črte skozi osnove in pravokotnice skozi konce srednje črte, dokler se ne sekajo z bazami:

*Črkovne oznake za oglišča in druge točke niso vključene namerno, da bi se izognili nepotrebnim oznakam.

Poglejte, trikotnika 1 in 2 sta enaka glede na drugi znak enakosti trikotnikov, trikotnika 3 in 4 sta enaka. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost elementov, in sicer krakov (označeni so modro oziroma rdeče).

Zdaj pa pozor! Če mentalno "odrezamo" modre in rdeče segmente od spodnje baze, potem nam bo ostal segment (to je stranica pravokotnika), ki je enak srednji črti. Nato, če izrezane modre in rdeče segmente "prilepimo" na zgornjo osnovo trapeza, potem bomo dobili tudi segment (to je tudi stranica pravokotnika), ki je enak srednji črti trapeza.

Razumem? Izkazalo se je, da bo vsota baz enaka dvema srednjima črtama trapeza:

Oglejte si drugo razlago

Naredimo naslednje - zgradimo ravno črto, ki poteka skozi spodnjo osnovo trapeza, in ravno črto, ki bo potekala skozi točki A in B:

Dobimo trikotnika 1 in 2, enaka sta vzdolž stranic in sosednjih kotov (drugi znak enakosti trikotnikov). To pomeni, da je dobljeni segment (na skici označen z modro) enak zgornji podlagi trapeza.

Zdaj razmislite o trikotniku:

*Srednja črta tega trapeza in sredinska črta trikotnika sovpadata.

Znano je, da je trikotnik enak polovici vzporedne osnove, to je:

V redu, smo ugotovili. Zdaj o območju trapeza.

Formula površine trapeza:

Pravijo: površina trapeza je enaka produktu polovice vsote njegovih baz in višine.

Se pravi, izkaže se, da je enak produktu središčne črte in višine:

Verjetno ste že opazili, da je to očitno. Geometrično lahko to izrazimo takole: če v mislih odrežemo trikotnika 2 in 4 od trapeza in ju postavimo na trikotnika 1 oziroma 3:

Nato dobimo pravokotnik v območju enako površini naš trapez. Površina tega pravokotnika bo enaka zmnožku središčne črte in višine, kar pomeni, da lahko zapišemo:

Ampak tu seveda ni bistvo v pisavi, ampak v razumevanju.

Prenesite (oglejte si) material članka v *pdf formatu

To je vse. Srečno!

S spoštovanjem, Alexander.

Praksa lanskega enotnega državnega izpita in državnega izpita kaže, da težave z geometrijo povzročajo težave mnogim šolarjem. Z njimi se zlahka spopadete, če si zapomnite vse potrebne formule in vadite reševanje problemov.

V tem članku boste videli formule za iskanje območja trapeza, pa tudi primere težav z rešitvami. Na iste lahko naletite v KIM-ih med certifikacijskimi izpiti ali na olimpijadah. Zato z njimi ravnajte previdno.

Kaj morate vedeti o trapezu?

Za začetek si zapomnimo to trapez imenujemo štirikotnik, pri katerem sta dve nasprotni stranici, imenovani tudi osnovici, vzporedni, drugi dve pa nista.

V trapezu lahko višino (pravokotno na osnovo) tudi znižamo. Srednja črta je narisana - to je ravna črta, ki je vzporedna z bazami in je enaka polovici njihove vsote. Kot tudi diagonale, ki se lahko sekajo in tvorijo ostre in tupe kote. Ali v nekaterih primerih pod pravim kotom. Poleg tega, če je trapez enakokrak, lahko vanj vpišemo krog. In okoli njega opišite krog.

Formule ploščine trapeza

Najprej si poglejmo standardne formule za iskanje površine trapeza. Spodaj bomo obravnavali načine za izračun površine enakokrakih in krivuljnih trapezov.

Predstavljajte si torej, da imate trapez z osnovama a in b, v katerem je višina h spuščena na večjo osnovo. Izračun površine figure je v tem primeru tako enostaven kot luščenje hrušk. Samo vsoto dolžin baz delite z dvema in rezultat pomnožite z višino: S = 1/2(a + b)*h.

Vzemimo drug primer: predpostavimo, da je v trapezu poleg višine še srednja črta m. Poznamo formulo za iskanje dolžine srednjice: m = 1/2(a + b). Zato lahko formulo za območje trapeza upravičeno poenostavimo na naslednje vrste: S = m* h. Z drugimi besedami, da bi našli območje trapeza, morate središčnico pomnožiti z višino.

Razmislimo o drugi možnosti: trapez vsebuje diagonali d 1 in d 2, ki se ne sekata pod pravim kotom α. Če želite izračunati površino takšnega trapeza, morate produkt diagonal razdeliti na dva in rezultat pomnožiti s grehom kota med njimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Zdaj razmislite o formuli za iskanje območja trapeza, če o njem ni znano nič, razen dolžin vseh njegovih strani: a, b, c in d. To je okorna in zapletena formula, vendar vam bo koristno, da si jo zapomnite za vsak slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mimogrede, zgornji primeri veljajo tudi za primer, ko potrebujete formulo za območje pravokotnega trapeza. To je trapez, katerega stranica meji na baze pod pravim kotom.

Enakokraki trapez

Trapez, katerega stranice so enake, se imenuje enakokrak. Razmislili bomo o več možnostih formule za območje enakokrakega trapeza.

Prva možnost: za primer, ko je v enakokraki trapez vpisan krog s polmerom r, stranica in večja osnova pa tvorita oster kotα. V trapez lahko vpišemo krog, če je vsota dolžin njegovih osnov enaka vsoti dolžin stranic.

Ploščino enakokrakega trapeza izračunamo na naslednji način: pomnožimo kvadrat polmera včrtanega kroga s štiri in vse delimo s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseben primer za možnost, ko je kot med veliko osnovo in stranico 30 0: S = 8r2.

Druga možnost: tokrat vzamemo enakokraki trapez, v katerem sta poleg tega narisani diagonali d 1 in d 2 ter višina h. Če sta diagonali trapeza medsebojno pravokotni, je višina polovica vsote osnov: h = 1/2(a + b). Če veste to, je formulo za območje trapeza, ki ga že poznate, preprosto preoblikovati v to obliko: S = h 2.

Formula za območje ukrivljenega trapeza

Začnimo z ugotavljanjem, kaj je ukrivljeni trapez. Predstavljajte si koordinatno os in graf zvezne in nenegativne funkcije f, ki znotraj danega segmenta na osi x ne spremeni predznaka. Krivočrtni trapez tvori graf funkcije y = f(x) - na vrhu je os x spodaj (segment), na straneh pa ravne črte, narisane med točkama a in b ter grafom funkcijo.

Z zgornjimi metodami je nemogoče izračunati površino takšne nestandardne figure. Tukaj morate uporabiti matematično analizo in uporabiti integral. Namreč: Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tej formuli je F antiodvod naše funkcije na izbranem segmentu. In območje krivuljnega trapeza ustreza prirastku antiderivacije na danem segmentu.

Vzorčne težave

Da bi vse te formule lažje razumeli v vaši glavi, je tukaj nekaj primerov težav za iskanje površine trapeza. Najbolje bo, če težave najprej poskusite rešiti sami, šele nato primerjate prejeti odgovor z že pripravljeno rešitvijo.

Naloga #1: Podan trapez. Njegova večja osnova je 11 cm, manjša pa 4 cm. Trapez ima diagonali, ena dolga 12 cm, druga 9 cm.

Rešitev: Konstruirajte trapez AMRS. Skozi oglišče P nariši premico РХ tako, da je vzporedna z diagonalo MC in seka premico AC v točki X. Dobil boš trikotnik APХ.

Upoštevali bomo dve sliki, dobljeni kot rezultat teh manipulacij: trikotnik APX in paralelogram CMRX.

Zahvaljujoč paralelogramu izvemo, da je PX = MC = 12 cm in CX = MR = 4 cm. Od koder lahko izračunamo stranico AX trikotnika ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Prav tako lahko dokažemo, da je trikotnik APX pravokoten (za to uporabimo Pitagorov izrek - AX 2 = AP 2 + PX 2). In izračunajte njegovo ploščino: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Nato boste morali dokazati, da sta trikotnika AMP in PCX enaka po površini. Osnova bo enakopravnost strank MR in CX (že dokazano zgoraj). In tudi višine, ki jih spustiš na te stranice - enake so višini trapeza AMRS.

Vse to vam bo omogočilo, da rečete, da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Naloga št. 2: Podan je trapez KRMS. Na njegovih stranskih stranicah sta točki O in E, OE in KS pa sta vzporedni. Znano je tudi, da sta ploščini trapeza ORME in OKSE v razmerju 1:5. RM = a in KS = b. Najti morate OE.

Rešitev: Skozi točko M nariši premico, ki je vzporedna z RK, točko njenega presečišča z OE pa označi s T. A je presečišče premice, narisane skozi točko E vzporedno z RK, z osnovo KS.

Uvedimo še en zapis - OE = x. In tudi višina h 1 za trikotnik TME in višina h 2 za trikotnik AEC (lahko neodvisno dokažete podobnost teh trikotnikov).

Predpostavili bomo, da je b > a. Ploščini trapeza ORME in OKSE sta v razmerju 1:5, kar nam daje pravico sestaviti naslednjo enačbo: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo in dobimo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Ker sta si trikotnika TME in AEC podobna, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Združimo oba vnosa in dobimo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Tako je OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zaključek

Geometrija ni najlažja veda, a zagotovo ste kos izpitnim vprašanjem. Dovolj je pokazati malo vztrajnosti pri pripravi. In seveda si zapomnite vse potrebne formule.

Poskušali smo zbrati vse formule za izračun površine trapeza na enem mestu, da jih boste lahko uporabili, ko se pripravljate na izpite in obnavljate gradivo.

Ne pozabite povedati svojim sošolcem in prijateljem o tem članku. v socialnih omrežjih. Naj bo več dobrih ocen za enotni državni izpit in državne izpite!

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Obstaja veliko načinov za iskanje območja trapeza. Običajno učitelj matematike pozna več metod za izračun, poglejmo jih podrobneje:
1) , kjer sta AD in BC osnovici, BH pa višina trapeza. Dokaz: narišite diagonalo BD in izrazite ploščini trikotnikov ABD in CDB skozi polovični produkt njunih osnov in višin:

, kjer je DP zunanja višina v

Seštejmo te enakosti člen za členom in ob upoštevanju, da sta višini BH in DP enaki, dobimo:

Dajmo iz oklepaja

Q.E.D.

Posledica formule za površino trapeza:
Ker je polovična vsota osnov enaka MN - srednji črti trapeza, potem

2) Uporaba splošne formule za površino štirikotnika.
Površina štirikotnika je enaka polovici produkta diagonal, pomnoženega s sinusom kota med njima
Da bi to dokazali, je dovolj, da trapez razdelite na 4 trikotnike, površino vsakega izrazite v smislu "polovice produkta diagonal in sinusa kota med njimi" (vzemite kot kot, dodajte nastalo izraze, jih vzemite iz oklepaja in faktorizirajte ta oklepaj z uporabo metode združevanja, da dobite njegovo enakost z izrazom.

3) Metoda diagonalnega premika
To je moje ime. Inštruktor matematike v šolskih učbenikih ne bo naletel na tak naslov. Opis tehnike najdete le v dodatnih učbeniki kot primer reševanja problema. Opažam, da je večina zanimivih in uporabna dejstva mentorji matematike učencem v procesu izvajanja razkrivajo planimetrijo praktično delo. To je izjemno neoptimalno, ker jih mora študent izolirati v ločene izreke in jih poimenovati " velika imena" Eden od teh je "diagonalni premik". O čem govorimo o?Skozi oglišče B narišimo premico, vzporedno z AC, dokler se ne preseka s spodnjo osnovo v točki E. V tem primeru bo štirikotnik EBCA paralelogram (po definiciji) in je torej BC=EA in EB=AC. Prva enakost je za nas zdaj pomembna. Imamo:

Upoštevajte, da ima trikotnik BED, katerega površina je enaka površini trapeza, še več izjemnih lastnosti:
1) Njegova površina je enaka površini trapeza
2) Njegov enakokrak se pojavi hkrati z enakokrakim samim trapezom
3) Njegov zgornji kot pri točki B enak kotu med diagonalami trapeza (kar se zelo pogosto uporablja pri nalogah)
4) Njegova mediana BK je enaka razdalji QS med razpoloviščema osnov trapeza. Nedavno sem naletel na uporabo te lastnosti, ko sem pripravljal študenta za mehaniko in matematiko na Moskovski državni univerzi z uporabo Tkačukovega učbenika, različica 1973 (problem je podan na dnu strani).

Posebne tehnike za inštruktorja matematike.

Včasih predlagam težave z uporabo zelo zapletenega načina iskanja površine trapeza. Uvrščam jih med posebne tehnike, ker jih v praksi mentor uporablja zelo redko. Če potrebujete pripravo na enotni državni izpit iz matematike samo v delu B, vam o njih ni treba brati. Za druge vam povem naprej. Izkazalo se je, da je površina trapeza dvakrat večja od površine trikotnika z oglišči na koncih ene strani in sredini druge strani, to je trikotnika ABS na sliki:
Dokaz: v trikotnika BCS in ADS nariši višini SM in SN in izrazi vsoto ploščin teh trikotnikov:

Ker je točka S sredina CD, potem (dokažite sami) poiščite vsoto ploščin trikotnikov:

Ker se je izkazalo, da je ta vsota enaka polovici površine trapeza, potem je njegova druga polovica. itd.

V mentorjevo zbirko posebnih tehnik bi vključil obliko izračuna ploščine enakokrakega trapeza vzdolž njegovih stranic: kjer je p polobod trapeza. Ne bom dal dokazov. V nasprotnem primeru bo vaš mentor matematike ostal brez službe :). Pridite v razred!

Težave na območju trapeza:

Opomba inštruktorja matematike: Spodnji seznam ni metodološka spremljava teme, je le majhen izbor zanimive naloge na zgoraj obravnavane metode.

1) Spodnja osnova enakokrakega trapeza je 13, zgornja pa 5. Poiščite površino trapeza, če je njegova diagonala pravokotna na stran.
2) Poiščite ploščino trapeza, če sta njegovi osnovi 2 cm in 5 cm, stranice pa 2 cm in 3 cm.
3) V enakokrakem trapezu je večja osnova 11, stranica 5, diagonala pa Poiščite ploščino trapeza.
4) Diagonala enakokrakega trapeza je 5, srednjica pa 4. Poiščite ploščino.
5) V enakokrakem trapezu sta osnovici 12 in 20, diagonali pa sta medsebojno pravokotni. Izračunajte ploščino trapeza
6) Diagonala enakokrakega trapeza tvori kot s spodnjo osnovo. Poiščite ploščino trapeza, če je njegova višina 6 cm.
7) Območje trapeza je 20, ena od njegovih strani pa 4 cm, poiščite razdaljo do njega od sredine nasprotne strani.
8) Diagonala enakokrakega trapeza ga deli na trikotnike s ploščinama 6 in 14. Poiščite višino, če je stranska stranica 4.
9) V trapezu so diagonale enake 3 in 5, segment, ki povezuje središča baz, pa je enak 2. Poiščite površino trapeza (Mekhmat MSU, 1970).

Izbral sem ne najtežje probleme (ne bojte se strojništva!) s pričakovanjem, da jih bom lahko rešil samostojno. Odločite se za svoje zdravje! Če potrebujete pripravo na enotni državni izpit iz matematike, se lahko brez sodelovanja v tem procesu pojavijo formule za območje trapeza resne težave tudi pri problemu B6 in še bolj pri C4. Ne začenjajte teme in v primeru težav prosite za pomoč. Inštruktor matematike vam vedno z veseljem pomaga.

Kolpakov A.N.
Inštruktor matematike v Moskvi, priprava na enotni državni izpit v Stroginu.