Kakšno je največje število na zemlji. Velike številke imajo velika imena

Pri odgovoru na tako težko vprašanje, kaj je največje število na svetu, je treba najprej opozoriti, da danes obstajata dva sprejeta načina poimenovanja številk - angleški in ameriški. Po navedbah angleški sistem, se vsakemu večjemu številu po vrstnem redu dodajo pripone – milijarda ali – milijon, kar ima za posledico številke milijon, milijarda, trilijon, trilijon itd. Če izhajamo iz ameriškega sistema, potem je treba po njem vsakemu velikemu številu dodati pripono -milijon, zaradi česar nastanejo številke bilijon, kvadrilijon in velike. Tukaj je treba tudi opozoriti, da je angleški številski sistem pogostejši v sodobni svet, in številke v njem so povsem zadostne za normalno delovanje vseh sistemov našega sveta.

Seveda pa odgovor na vprašanje o največjem številu z logičnega vidika ne more biti enoznačen, saj če vsaki naslednji števki prištejete le eno, dobite novo večje število, torej ta postopek nima omejitev. Vendar, nenavadno, še vedno obstaja največje število na svetu in je navedeno v Guinnessovi knjigi rekordov.

Grahamovo število je največje število na svetu

To število je v svetu priznano kot največje v knjigi rekordov, vendar je zelo težko razložiti, kaj je in kako veliko je. V splošnem so to trojčki, pomnoženi skupaj, kar ima za posledico število, ki je za 64 velikostnih redov višje od točke razumevanja posamezne osebe. Posledično lahko podamo samo zadnjih 50 števk Grahamovega števila – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Googol številka

Zgodovina te številke ni tako zapletena kot zgoraj omenjena. Tako ameriški matematik Edward Kasner v pogovoru s svojimi nečaki o velikih številih ni mogel odgovoriti na vprašanje, kako poimenovati števila, ki imajo 100 ničel ali več. Iznajdljivi nečak je predlagal svoje ime za takšne številke - googol. Opozoriti je treba, da to število nima velikega praktičnega pomena, vendar se včasih uporablja v matematiki za izražanje neskončnosti.

Googleplex

Tudi to število sta izumila matematik Edward Kasner in njegov nečak Milton Sirotta. V splošnem smislu predstavlja število na deseto potenco googola. V odgovoru na vprašanje mnogih radovednih ljudi, koliko ničel je v Googleplexu, je treba omeniti, da v klasični različici te številke ni mogoče predstaviti, tudi če pokrijete ves papir na planetu s klasičnimi ničlami.

Število Skewes

Še en kandidat za naslov največjega števila je Skewesovo število, ki ga je leta 1914 dokazal John Littwood. Glede na predložene dokaze je ta številka približno 8.185 10370.

Moserjeva številka

Ta metoda imena je zelo velike številke je izumil Hugo Steinhaus, ki je predlagal, da jih označimo s poligoni. Kot rezultat treh opravljenih matematičnih operacij se število 2 rodi v megagonu (mnogokotnik z mega stranicami).

Kot že lahko opazite, velik znesek matematiki so se potrudili, da bi ga našli - največje število na svetu. O tem, v kolikšni meri so bili ti poskusi uspešni, seveda ne moremo presojati, vendar je treba opozoriti, da je resnična uporabnost takšnih številk dvomljiva, saj jih človek niti ne razume. Poleg tega bo vedno obstajalo število, ki bo večje, če izvedete zelo preprosto matematično operacijo +1.

Obstajajo številke, ki so tako neverjetno, neverjetno velike, da bi bilo potrebno celotno vesolje, da bi jih sploh zapisali. Toda tukaj je tisto, kar je res noro ... nekatere od teh neznansko velikih številk so ključnega pomena za razumevanje sveta.

Ko rečem "največje število v vesolju", res mislim največje pomembenštevilo, največje možno število, ki je na nek način uporabno. Pretendentov za ta naslov je veliko, a takoj vas opozorim: resnično obstaja tveganje, da vam bo poskus razumevanja vsega padlo na pamet. In poleg tega se s preveč matematike ne boste prav zabavali.

Googol in googolplex

Edvard Kasner

Lahko bi začeli z dvema verjetno največjima številkama, za kateri ste kdaj slišali, in to sta dejansko dve največji številki, ki imata splošno sprejeti definiciji v angleški jezik. (Obstaja dokaj natančna nomenklatura, ki se uporablja za označevanje tako velikih števil, kot bi želeli, vendar teh dveh števil dandanes ne boste našli v slovarjih.) Googol, odkar je postal svetovno znan (čeprav z napakami, opomba. v resnici je googol ) v obliki Googla, ki se je rodil leta 1920 kot način, kako otroke navdušiti za velika števila.

V ta namen je Edward Kasner (na sliki) peljal svoja dva nečaka, Miltona in Edwina Sirotta, na sprehod skozi New Jersey Palisades. Povabil jih je, naj pripravijo kakršne koli ideje, nato pa je devetletni Milton predlagal "googol". Od kod mu ta beseda, ni znano, a Kasner se je tako odločil ali število, v katerem za enoto sledi sto ničel, se bo odslej imenovalo googol.

Toda mladi Milton se ni ustavil pri tem; predlagal je še večjo številko, googolplex. To je število, po Miltonu, v katerem je na prvem mestu 1, nato pa toliko ničel, kot bi jih lahko napisal, preden bi se naveličal. Čeprav je ideja fascinantna, se je Kasner odločil, da je potrebna bolj formalna definicija. Kot je razložil v svoji knjigi Mathematics and the Imagination iz leta 1940, Miltonova definicija pušča odprto tvegano možnost, da bi naključni norček postal boljši matematik od Alberta Einsteina preprosto zato, ker ima večjo vzdržljivost.

Zato se je Kasner odločil, da bo googolplex ali 1 in nato googol ničel. V nasprotnem primeru in v zapisu, podobnem tistemu, ki ga bomo obravnavali za druga števila, bomo rekli, da je googolplex . Da bi pokazal, kako fascinantno je to, je Carl Sagan nekoč ugotovil, da je fizično nemogoče zapisati vse ničle googolplexa, ker preprosto ni dovolj prostora v vesolju. Če celotno prostornino opazljivega vesolja napolnimo z majhnimi prašnimi delci, velikimi približno 1,5 mikrona, potem je število na različne načine lokacija teh delcev bo približno enaka enemu googolplexu.

Jezikovno gledano sta googol in googolplex verjetno dve največji pomembni številki (vsaj v angleškem jeziku), vendar, kot bomo zdaj ugotovili, obstaja neskončno veliko načinov za opredelitev "pomena".

Resnični svet

Če govorimo o največjem pomembnem številu, obstaja razumen argument, da to res pomeni, da moramo najti največje število z vrednostjo, ki dejansko obstaja na svetu. Začnemo lahko s trenutno človeško populacijo, ki je trenutno okoli 6920 milijonov. Svetovni BDP je bil leta 2010 ocenjen na približno 61.960 milijard dolarjev, vendar sta ti številki nepomembni v primerjavi s približno 100 bilijoni celic, ki sestavljajo človeško telo. Seveda se nobeno od teh števil ne more primerjati s skupnim številom delcev v vesolju, ki se na splošno šteje za približno , in to število je tako veliko, da naš jezik nima besede zanj.

Lahko se malo poigramo s sistemi mer, tako da so številke vedno večje. Tako bo masa Sonca v tonah manjša kot v funtih. Odličen način za to je uporaba Planckovega sistema enot, ki so najmanjše možne mere, za katere še vedno veljajo zakoni fizike. Na primer, starost vesolja v Planckovem času je približno. Če se vrnemo k prvi Planckovi časovni enoti po velikem poku, bomo videli, da je bila takrat gostota vesolja . Dobivamo vse več, a do googola še nismo prišli.

Največje število s katero koli aplikacijo v resničnem svetu - ali v v tem primeru prava aplikacija v svetovih - verjetno , - ena najnovejših ocen števila vesolj v multiverzumu. Ta številka je tako velika, da človeški možgani dobesedno ne bo mogel zaznati vseh teh različnih vesolj, saj so možgani sposobni le približno konfigurirati. Pravzaprav je to število verjetno največje število, ki ima kakršen koli praktičen smisel, razen če upoštevate idejo o multiverzumu kot celoti. Vendar pa se tam skrivajo še veliko večje številke. Toda da bi jih našli, moramo iti v področje čiste matematike in ne boljši začetek, kako praštevila.

Mersennova praštevila

Del težav je priti do tega dobra definicija kakšna je "pomembna" številka. Eden od načinov je razmišljanje v smislu praštevil in sestavljenih števil. Praštevilo, kot se verjetno spomnite iz šolske matematike, je vsako naravno število (ne enako ena), ki je deljivo samo s samim seboj. Torej, in sta praštevili in in sta sestavljeni števili. To pomeni, da lahko vsako sestavljeno število na koncu predstavimo s svojimi prafaktorji. Na nek način je število pomembnejše od, na primer, , ker ga ni mogoče izraziti z zmnožkom manjših števil.

Očitno lahko gremo še malo dlje. , na primer, je pravzaprav samo , kar pomeni, da v hipotetičnem svetu, kjer je naše znanje o številih omejeno na , lahko matematik še vedno izrazi število . Toda naslednje število je praštevilo, kar pomeni, da je edini način, da ga izrazimo, neposredno vedeti za njegov obstoj. To pomeni, da igrajo največja znana praštevila pomembno vlogo, ampak, recimo, googol - ki je navsezadnje le niz števil in , pomnoženih skupaj - pravzaprav ne. In ker so praštevila v bistvu naključna, ni znanega načina za predvidevanje, da bo neverjetno veliko število dejansko praštevilo. Do danes je odkrivanje novih praštevil težak podvig.

Matematiki Antična grčija je imel koncept praštevil vsaj že leta 500 pr. n. št. in 2000 let kasneje so ljudje še vedno vedeli, katera števila so praštevila le do približno 750. Misleci v Evklidovem času so videli možnost poenostavitve, vendar do renesanse matematiki niso mogli zares postaviti to v prakso. Ta števila so znana kot Mersennova števila, poimenovana po francoskem znanstveniku Marinu Mersennu iz 17. stoletja. Ideja je povsem preprosta: Mersennovo število je poljubno število oblike . Torej, na primer, in to število je praštevilo, enako velja za.

Mersennovo praštevilo je veliko hitreje in lažje določiti kot katero koli drugo praštevilo, računalniki pa so jih zadnjih šest desetletij trdo iskali. Do leta 1952 je bilo največje znano praštevilo število – število s ciframi. Istega leta je računalnik izračunal, da je število pra, to število pa je sestavljeno iz števk, zaradi česar je veliko večje od googola.

Od takrat so računalniki na lovu in trenutno je Mersennovo število največje praštevilo, ki ga pozna človeštvo. Odkrili so ga leta 2008 in predstavlja številko s skoraj milijoni števk. To je največje znano število, ki ga ni mogoče izraziti z manjšimi številkami, in če želite pomoč pri iskanju še večjega Mersennovega števila, se lahko vi (in vaš računalnik) vedno pridružite iskanju na http://www.mersenne.org /.

Število Skewes

Stanley Skews

Ponovno poglejmo praštevila. Kot sem rekel, se obnašajo bistveno napačno, kar pomeni, da ni mogoče predvideti, kaj bo naslednje praštevilo. Matematiki so bili prisiljeni uporabiti nekaj precej fantastičnih meritev, da bi našli način za napovedovanje prihodnjih praštevil, tudi na nejasen način. Najuspešnejši od teh poskusov je verjetno funkcija štetja praštevil, ki jo je v poznem 18. stoletju izumil legendarni matematik Carl Friedrich Gauss.

Prihranil vam bom bolj zapleteno matematiko – tako ali tako nas čaka še veliko več – toda bistvo funkcije je naslednje: za katero koli celo število lahko ocenite, koliko praštevil je manjših od . Na primer, če , funkcija predvideva, da bi morala obstajati praštevila, če bi morala biti praštevila, manjša od , in če bi morala obstajati manjša praštevila, ki so praštevila.

Razporeditev praštevil je res nepravilna in je le približek dejanskega števila praštevil. Pravzaprav vemo, da obstajajo praštevila, manjša od , praštevila, manjša od , in praštevila, manjša od . To je seveda odlična ocena, vendar je vedno le ocena ... in natančneje ocena od zgoraj.

V vseh znanih primerih do , funkcija, ki najde število praštevil, nekoliko preceni dejansko število praštevil, manjših od . Matematiki so nekoč mislili, da bo tako vedno, ad infinitum, in da bo to zagotovo veljalo za nekatera nepredstavljivo ogromna števila, toda leta 1914 je John Edensor Littlewood dokazal, da bo za neko neznano, nepredstavljivo veliko število ta funkcija začela ustvarjati manj praštevil. , nato pa bo neskončno številokrat preklopil med zgornjo in spodnjo oceno.

Lov je potekal na štartni točki dirk, nato pa se je pojavil Stanley Skewes (glej fotografijo). Leta 1933 je dokazal, da je zgornja meja, ko funkcija, ki približuje število praštevil, najprej proizvede manjšo vrednost, število . Težko je zares razumeti, tudi v najbolj abstraktnem smislu, kaj to število dejansko predstavlja, in s tega vidika je bilo največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v resnem matematičnem dokazu. Matematiki so od takrat lahko zmanjšali zgornjo mejo na razmeroma majhno število, vendar prvotno število ostaja znano kot Skewesovo število.

Kako velika je torej številka, ki zasenči celo mogočni googolplex? V The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells pripoveduje o enem od načinov, kako je matematiku Hardyju uspelo konceptualizirati velikost števila Skuse:

»Hardy je menil, da je to »največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno za kakršen koli poseben namen v matematiki«, in predlagal, da če bi igrali partijo šaha z vsemi delci vesolja kot figurami, bi bila ena poteza sestavljena iz zamenjave dveh delcev in bi se igra ustavila, ko bi se isti položaj ponovil še tretjič, potem bi bilo število vseh možnih iger približno enako Skusejevemu številu.'

Še zadnja stvar, preden gremo naprej: govorili smo o manjšem od obeh Skewesovih števil. Obstaja še eno Skusejevo število, ki ga je matematik odkril leta 1955. Prva številka izhaja iz dejstva, da je tako imenovana Riemannova hipoteza resnična – to je posebej težka hipoteza v matematiki, ki ostaja nedokazana, zelo uporabna, ko govorimo o o praštevilih. Če pa je Riemannova hipoteza napačna, je Skuse ugotovil, da se začetna točka skokov poveča na .

Problem velikosti

Preden pridemo do števila, zaradi katerega je celo Skewesovo število videti majhno, se moramo malo pogovoriti o obsegu, ker sicer ne moremo oceniti, kam bomo šli. Najprej vzemimo številko - to je majhna številka, tako majhna, da lahko ljudje dejansko intuitivno razumejo, kaj pomeni. Zelo malo je števil, ki ustrezajo temu opisu, saj števila, večja od šest, prenehajo biti ločena števila in postanejo "več", "mnogo" itd.

Zdaj pa vzemimo, tj. . Čeprav intuitivno, tako kot pri številki, dejansko ne moremo razumeti, kaj je, si je zelo enostavno predstavljati, kaj je. Zaenkrat gre dobro. Toda kaj se zgodi, če se preselimo v ? To je enako ali . Še zelo daleč smo od tega, da bi si lahko predstavljali to količino, kot vsako drugo zelo veliko - izgubimo sposobnost dojemanja posameznih delov nekje okoli milijona. (Res, to je noro veliko število Potrebovali bi nekaj časa, da bi dejansko prešteli do milijon česar koli, a dejstvo je, da smo to številko še vedno sposobni zaznati.)

Vendar, čeprav si ne moremo predstavljati, smo vsaj sposobni razumeti splošni oris, kar je 7600 milijard, morda če ga primerjamo z nekaj podobnim ameriškemu BDP. Premaknili smo se od intuicije k predstavitvi k preprostemu razumevanju, vendar imamo vsaj še vedno nekaj vrzeli v razumevanju tega, kaj število je. To se bo kmalu spremenilo, ko se premaknemo še eno stopničko navzgor po lestvici.

Da bi to naredili, se moramo premakniti na zapis, ki ga je uvedel Donald Knuth, znan kot zapis s puščico. Ta zapis lahko zapišemo kot. Ko gremo nato na , bo številka, ki jo dobimo, . To je enako seštevku trojk. Vse druge številke, o katerih smo že govorili, smo zdaj daleč in resnično presegli. Navsezadnje so imeli tudi največji med njimi le tri ali štiri izraze v seriji indikatorjev. Na primer, tudi super-Skusejevo število je »samo« - tudi ob upoštevanju dejstva, da sta osnova in eksponenta veliko večja od , še vedno ni absolutno nič v primerjavi z velikostjo številskega stolpa z milijardo članov .

Očitno je, da ni mogoče razumeti tako ogromnih števil ... pa vendar je še vedno mogoče razumeti proces, v katerem nastanejo. Nismo mogli razumeti resnične količine, ki jo daje stolp moči z milijardo trojčkov, vendar si v bistvu lahko predstavljamo takšen stolp z veliko členi in res spodoben superračunalnik bi lahko shranil takšne stolpe v pomnilnik, tudi če bi ni mogel izračunati njihove dejanske vrednosti.

To postaja vedno bolj abstraktno, a bo le še slabše. Morda mislite, da je stolp stopinj, katerega eksponentna dolžina je enaka (pravzaprav sem v prejšnji različici tega prispevka naredil točno to napako), vendar je preprosto. Z drugimi besedami, predstavljajte si, da lahko izračunate natančno vrednost močnostnega stolpa trojčkov, ki je sestavljen iz elementov, nato pa ste vzeli to vrednost in ustvarili nov stolp s toliko v njem kot ... to daje .

Ta postopek ponovite z vsako naslednjo številko ( Opomba začenši z desne), dokler tega ne storite večkrat, nato pa končno dobite . To je številka, ki je preprosto neverjetno velika, vendar se zdijo vsaj koraki do nje razumljivi, če vse počnete zelo počasi. Števil ne moremo več razumeti ali si predstavljati postopka, po katerem so pridobljene, razumemo pa vsaj osnovni algoritem, le v dovolj dolgem času.

Zdaj pa pripravimo um, da ga bo res razstrelil.

Grahamovo število (Graham)

Ronald Graham

Tako dobite Grahamovo število, ki ima mesto v Guinnessovi knjigi rekordov kot največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v matematičnem dokazu. Popolnoma nemogoče si je predstavljati, kako velik je, in prav tako težko je natančno razložiti, kaj je. V bistvu se Grahamovo število pojavi pri hiperkockah, ki so teoretične geometrijske oblike z več kot tremi dimenzijami. Matematik Ronald Graham (glej fotografijo) je želel ugotoviti, pri čem najmanjše število meritev bodo nekatere lastnosti hiperkocke ostale stabilne. (Oprostite za tako nejasno razlago, vendar sem prepričan, da moramo vsi pridobiti vsaj dve diplomi iz matematike, da bo bolj natančna.)

V vsakem primeru je Grahamovo število zgornja ocena tega najmanjšega števila dimenzij. Torej, kako velika je ta zgornja meja? Vrnimo se k številu, ki je tako veliko, da lahko le nejasno razumemo algoritem za njegovo pridobitev. Zdaj, namesto da samo skočimo še eno stopnjo navzgor na , bomo šteli število, ki ima puščice med prvimi in zadnjimi tremi. Zdaj smo daleč onstran niti najmanjšega razumevanja tega števila ali celo tega, kaj moramo storiti, da ga izračunamo.

Zdaj ponovimo ta postopek enkrat ( Opomba pri vsakem naslednjem koraku zapišemo število puščic, ki je enako številu, dobljenemu v prejšnjem koraku).

To, gospe in gospodje, je Grahamovo število, ki je približno za red velikosti višje od točke človeškega razumevanja. To je število, ki je toliko večje od katerega koli števila, ki si ga lahko predstavljate - je toliko večje od katere koli neskončnosti, ki bi si jo lahko kdaj zamislili - preprosto kljubuje tudi najbolj abstraktnemu opisu.

Ampak tukaj je čudna stvar. Ker je Grahamovo število v bistvu samo trojček, pomnožen skupaj, poznamo nekatere njegove lastnosti, ne da bi jih dejansko izračunali. Grahamovega števila ne moremo predstaviti z znanim zapisom, tudi če bi za zapis uporabili celotno vesolje, vendar vam lahko zdaj povem zadnjih dvanajst števk Grahamovega števila: . In to še ni vse: poznamo vsaj zadnje števke Grahamovega števila.

Seveda si je vredno zapomniti, da je to število le zgornja meja v Grahamovem izvirnem problemu. Možno je, da je potrebno dejansko število meritev želeno nepremičnino veliko, veliko manj. Pravzaprav se od osemdesetih let 20. stoletja po mnenju večine strokovnjakov na tem področju verjame, da dejansko obstaja le šest dimenzij – številka je tako majhna, da jo lahko razumemo intuitivno. Spodnja meja je bila od takrat dvignjena na , vendar še vedno obstaja velika verjetnost, da rešitev Grahamovega problema ne leži niti blizu tako velikega števila, kot je Grahamovo število.

Proti neskončnosti

Ali torej obstajajo števila, ki so večja od Grahamovega? Za začetek je seveda Grahamova številka. Glede pomembno število... v redu, obstaja nekaj hudičevo zapletenih področij matematike (zlasti področja, znanega kot kombinatorika) in računalništva, kjer se pojavljajo števila, ki so celo večja od Grahamovega. Vendar smo skoraj dosegli mejo tega, kar lahko upam, da bo kdaj racionalno razloženo. Tistim, ki so dovolj nespametni, da gredo še dlje, priporočamo nadaljnje branje na lastno odgovornost.

No, zdaj pa neverjeten citat, ki ga pripisujejo Douglasu Rayu ( Opomba Iskreno povedano, zveni precej smešno:

»Vidim skupine nejasnih števil, ki so skrite tam v temi, za majhno svetlobo, ki jo daje sveča razuma. Šepetata si; zaroto kdo ve kaj. Morda nas ne marajo preveč, ker smo v svoje misli ujeli njihove mlajše brate. Ali pa morda preprosto živijo enomestno življenje, zunaj našega razumevanja.

Nešteto različne številke nas obdaja vsak dan. Zagotovo se je marsikdo vsaj enkrat vprašal, katera številka velja za največjo. Otroku lahko preprosto rečeš, da je to milijon, a odrasli dobro razumejo, da milijonu sledijo druge številke. Na primer, vse, kar morate storiti, je, da vsakič dodate številko ena in ta bo postajala vedno večja - to se dogaja ad infinitum. Toda če pogledate številke, ki imajo imena, lahko ugotovite, kako se imenuje največje število na svetu.

Videz imen številk: katere metode se uporabljajo?

Danes obstajata dva sistema, po katerih se številke imenujejo - ameriški in angleški. Prvi je precej preprost, drugi pa je najpogostejši po vsem svetu. Ameriški vam omogoča, da poimenujete velika števila na naslednji način: najprej se navede zaporedna številka v latinici, nato pa se doda pripona "milijon" (izjema je milijon, kar pomeni tisoč). Ta sistem uporabljajo Američani, Francozi, Kanadčani, uporablja se tudi pri nas.

Angleščina se pogosto uporablja v Angliji in Španiji. Po njem se števila imenujejo na naslednji način: številka v latinščini je "plus" s pripono "ilijon", naslednja (tisočkrat večja) številka pa je "plus" "milijarda". Na primer, bilijon je prvi, bilijon za njim, kvadrilijon za kvadrilijonom itd.

Tako lahko ista številka v različnih sistemih pomeni različne stvari; na primer, ameriška milijarda v angleškem sistemu se imenuje milijarda.

Izvensistemske številke

Poleg številk, ki so zapisane po znanih sistemih (navedenih zgoraj), obstajajo tudi nesistemske. Imajo svoja imena, ki ne vključujejo latinskih predpon.

Lahko jih začnete obravnavati s številko, imenovano nešteto. Opredeljen je kot sto stotin (10000). Toda glede na predvideni namen se ta beseda ne uporablja, ampak se uporablja kot označba nešteto množice. Tudi Dahlov slovar bo prijazno dal definicijo takega števila.

Naslednji za nešteto je googol, ki označuje 10 na potenco števila 100. To ime je leta 1938 prvič uporabil ameriški matematik E. Kasner, ki je opozoril, da si je to ime izmislil njegov nečak.

Google je dobil ime v čast googol ( iskalni sistem). Potem 1 z googolom ničel (1010100) predstavlja googolplex - Kasner se je domislil tudi tega imena.

Še večje od googolpleksa je Skusejevo število (e na potenco e na e79), ki ga je predlagal Skuse v svojem dokazu Rimmannove domneve o praštevilih (1933). Obstaja še eno Skusejevo število, vendar se uporablja, kadar Rimmannova hipoteza ne drži. Katera je večja, je precej težko reči, sploh ko gre za visoke stopnje. Vendar te številke kljub svoji "velikosti" ni mogoče šteti za najboljšo od vseh tistih, ki imajo svoja imena.

In vodilno med največjimi številkami na svetu je Grahamovo število (G64). Prvič je bil uporabljen za izvajanje dokazov na področju matematičnih znanosti (1977).

Ko gre za takšno številko, morate vedeti, da ne morete brez posebnega 64-nivojskega sistema, ki ga je ustvaril Knuth - razlog za to je povezava števila G z bikromatskimi hiperkockami. Knuth je izumil nadstopnjo in da bi jo bilo lažje zabeležiti, je predlagal uporabo puščic navzgor. Tako smo ugotovili, kako se imenuje največje število na svetu. Omeniti velja, da je bila ta številka G vključena na strani slavne knjige rekordov.

Včasih se ljudje, ki se ne ukvarjajo z matematiko, sprašujejo: kaj je največje število? Po eni strani je odgovor očiten - neskončnost. Bores bo celo pojasnil, da "plus neskončnost" ali "+∞" uporabljajo matematiki. A ta odgovor ne bo prepričal najbolj jedkih, še posebej, ker ne gre za naravno število, temveč za matematično abstrakcijo. Ko pa dobro razumejo zadevo, lahko odkrijejo zelo zanimiv problem.

V tem primeru res ni omejitve glede velikosti, je pa meja človeške domišljije. Vsako število ima ime: deset, sto, milijarda, sekstilijon itd. Toda kje se konča ljudska domišljija?

Ne sme se zamenjevati z blagovno znamko družbe Google Corporation, čeprav imata skupen izvor. To število je zapisano kot 10100, torej ena, ki ji sledi sto ničel. Težko si je predstavljati, vendar se je aktivno uporabljal v matematiki.

Smešno je, da ga je izumil otrok - nečak matematika Edwarda Kasnerja. Leta 1938 je moj stric svoje mlajše sorodnike zabaval z razpravami o zelo velikih številkah. Na otrokovo ogorčenje se je izkazalo, da tako čudovita številka nima imena, in dal je svojo različico. Kasneje jo je moj stric vstavil v eno od svojih knjig in izraz se je obdržal.

Teoretično je googol naravno število, ker se lahko uporablja za štetje. Vendar je malo verjetno, da bo kdo imel potrpljenje, da bi preštel do konca. Zato le teoretično.

Kar zadeva ime podjetja Google, se je tukaj prikradla pogosta napaka. Prvemu vlagatelju in enemu od soustanoviteljev se je mudilo, ko je izpisal ček in zgrešil črko »O«, a za unovčitev je moralo biti podjetje registrirano s tem črkovanjem.

Googolplex

To število je izpeljanka iz googol, vendar je bistveno večje od njega. Predpona "plex" pomeni povišanje desetice na potenco, ki je enaka osnovnemu številu, tako da je guloplex 10 na potenco 10 na potenco 100 ali 101000.

Nastalo število presega število delcev v opazljivem vesolju, ki je ocenjeno na približno 1080 stopinj. Toda to znanstvenikov ni preprečilo, da bi število povečali tako, da so mu preprosto dodali predpono "plex": googolplexplex, googolplexplex in tako naprej. In za posebej sprevržene matematike so izumili različico povečave brez neskončnega ponavljanja predpone "pleks" - pred njo so preprosto postavili grške številke: tetra (štiri), penta (pet) in tako naprej, do deka ( deset). Zadnja možnost zveni kot googoldecaplex in pomeni desetkratno kumulativno ponovitev postopka dvigovanja števila 10 na potenco njegove osnove. Glavna stvar je, da si ne predstavljate rezultata. Še vedno se tega ne boste mogli zavedati, vendar se lahko duševno poškodujete.

48. Mersenova številka

Glavni junaki: Cooper, njegov računalnik in novo praštevilo

Relativno nedavno, pred približno enim letom, nam je uspelo odkriti naslednjo, 48. številko Mersen. Trenutno je največje praštevilo na svetu. Naj spomnimo, da so praštevila tista, ki so brez ostanka deljiva le z ena in sama s seboj. Najenostavnejši primeri so 3, 5, 7, 11, 13, 17 in tako naprej. Težava je v tem, da dlje v divjino so takšne številke manj pogoste. A toliko dragocenejše je odkritje vsakega naslednjega. Na primer, novo praštevilo je sestavljeno iz 17.425.170 števk, če je predstavljeno v obliki decimalnega številskega sistema, ki ga poznamo. Prejšnji je imel okoli 12 milijonov znakov.

Odkril jo je ameriški matematik Curtis Cooper, ki je že tretjič razveselil matematično srenjo s podobnim rekordom. Potreboval je 39 dni delovanja njegovega osebnega računalnika, samo da bi preveril njegov rezultat in dokazal, da je to število res praštevilo.

Tako je videti Grahamovo število v zapisu s Knuthovo puščico. Težko je reči, kako to dešifrirati, ne da bi imeli popolno višja izobrazba v teoretični matematiki. Prav tako je nemogoče zapisati v naši običajni decimalni obliki: opazovano vesolje tega preprosto ni sposobno sprejeti. Graditi eno stopinjo naenkrat, kot je to pri googolplexih, tudi ni rešitev.

Dobra formula, samo nejasna

Zakaj torej potrebujemo to na videz neuporabno številko? Prvič, za radovedneže je bil uvrščen v Guinnessovo knjigo rekordov in to je že veliko. Drugič, uporabljen je bil za rešitev problema, vključenega v Ramseyjev problem, ki je prav tako nejasen, a zveni resno. Tretjič, to število je priznano kot največje, kar je bilo kdaj uporabljeno v matematiki, in ne v komičnih dokazih ali intelektualnih igrah, temveč za reševanje zelo specifičnega matematičnega problema.

Pozor! Naslednje informacije so nevarne za vaše duševno zdravje! Z branjem sprejemate odgovornost za vse posledice!

Za tiste, ki želijo preizkusiti svoj um in meditirati o Grahamovem številu, ga lahko poskusimo razložiti (vendar samo poskusimo).

Predstavljajte si 33. To je precej enostavno - izkaže se, da je 3*3*3=27. Kaj pa, če zdaj dvignemo tri na to številko? Rezultat je 3 3 na 3. potenco ali 3 27. V decimalnem zapisu je to enako 7 625 597 484 987. Veliko, a za zdaj se lahko uresniči.

V Knuthovem puščičnem zapisu je to število mogoče prikazati nekoliko preprosteje - 33. Če pa dodamo samo eno puščico, postane bolj zapleteno: 33, kar pomeni 33 na potenco 33 ali v potenčnem zapisu. Če razširimo na decimalni zapis, dobimo 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987. Še vedno lahko sledite svojim mislim?

Naslednja stopnja: 33= 33 33 . To pomeni, da morate izračunati to divje število iz prejšnjega dejanja in ga dvigniti na isto moč.

In 33 je le prvi od 64 členov Grahamovega števila. Če želite dobiti drugo, morate izračunati rezultat te osupljive formule in nadomestiti ustrezno število puščic v diagramu 3(...)3. In tako naprej, še 63-krat.

Zanima me, ali bo še komu razen njemu in še ducatu drugih supermatematikov uspelo priti vsaj do sredine zaporedja, ne da bi znorel?

Ste kaj razumeli? Nismo. Toda kakšno vznemirjenje!

Zakaj potrebujemo največje številke? To je povprečnemu človeku težko razumljivo in dojemljivo. Toda z njihovo pomočjo lahko nekaj strokovnjakov običajnim ljudem predstavi nove tehnološke igrače: telefone, računalnike, tablice. Tudi navadni ljudje ne morejo razumeti njihovega delovanja, a jih z veseljem uporabljajo za svojo zabavo. In vsi so srečni: običajni ljudje dobijo svoje igrače, »supernerdi« imajo možnost, da nadaljujejo z igranjem svojih miselnih iger.

Na to vprašanje je nemogoče pravilno odgovoriti, ker številske serije nima zgornje meje. Torej, kateremu koli številu morate samo dodati eno, da dobite še večje število. Čeprav so števila sama po sebi neskončna, nimajo veliko lastnih imen, saj se večina zadovolji z imeni, sestavljenimi iz manjših števil. Tako imajo na primer številke svoja imena "ena" in "sto", ime števila pa je že sestavljeno ("sto in ena"). Jasno je, da v končni množici števil, ki jih je človeštvo podelilo lastno ime, mora obstajati neko največje število. Toda kako se imenuje in čemu je enako? Poskusimo to ugotoviti in hkrati ugotoviti, kako velika števila so prišli matematiki.

"Kratka" in "dolga" lestvica

Zgodba sodoben sistem Imena velikih števil segajo v sredino 15. stoletja, ko so v Italiji začeli uporabljati besede "milijon" (dobesedno - velik tisoč) za tisoč na kvadrat, "bimilijon" za milijon na kvadrat in "trimilijon" za milijon kubičnih. Za ta sistem vemo po zaslugi francoskega matematika Nicolasa Chuqueta (pribl. 1450 - ok. 1500): v svoji razpravi »Znanost o številih« (Triparty en la science des nombres, 1484) je razvil to idejo in predlagal nadaljnjo uporabo latinske kardinalne številke (glej tabelo) in jih prištejte končnici »-milijon«. Tako se je »bimilijon« za Schukeja spremenil v milijardo, »trimilijon« je postal bilijon, milijon na četrto potenco pa je postal »kvadrilijon«.

V sistemu Chuquet število med milijon in milijardo ni imelo svojega imena in se je preprosto imenovalo "tisoč milijonov", podobno imenovano "tisoč milijard", "tisoč trilijonov" itd. To ni bilo zelo priročno in leta 1549 je francoski pisatelj in znanstvenik Jacques Peletier du Mans (1517–1582) predlagal poimenovanje takih "vmesnih" števil z istimi latinskimi predponami, vendar s končnico "-milijarda". Tako se je začelo imenovati "milijarda", - "biljard", - "bilijon" itd.

Sistem Chuquet-Peletier je postopoma postal priljubljen in so ga uporabljali po vsej Evropi. Vendar se je v 17. stoletju pojavila nepričakovana težava. Izkazalo se je, da so se nekateri znanstveniki iz nekega razloga začeli mešati in številko ne imenujejo "milijarda" ali "tisoč milijonov", ampak "milijarda". Kmalu se je ta napaka hitro razširila in pojavila se je paradoksalna situacija - "milijarda" je postala hkrati sinonim za "milijardo" () in "milijon milijonov" ().

Ta zmeda se je nadaljevala precej dolgo in pripeljala do dejstva, da so Združene države ustvarile svoj sistem za poimenovanje velikih števil. Po ameriškem sistemu so imena števil sestavljena na enak način kot v sistemu Schuquet - latinska predpona in končnica "milijon". Vendar pa so velikosti teh številk različne. Če so v sistemu Schuquet imena s končnico "ilijon" prejela številke, ki so bile potence milijona, potem je v ameriškem sistemu končnica "-ilijon" dobila potenco tisoč. To pomeni, da se je tisoč milijonov () začelo imenovati "milijarda", () - "bilijon", () - "kvadrilijon" itd.

Stari sistem poimenovanja velikih števil se je še naprej uporabljal v konzervativni Veliki Britaniji in se začel imenovati "britanski" po vsem svetu, kljub dejstvu, da sta ga izumila Francoza Chuquet in Peletier. Vendar pa je v sedemdesetih letih 20. stoletja Združeno kraljestvo uradno prešlo na »ameriški sistem«, kar je pripeljalo do dejstva, da je postalo nekako nenavadno en sistem imenovati ameriški, drugega pa britanski. Posledično se ameriški sistem zdaj običajno imenuje "kratka lestvica", britanski ali Chuquet-Peletierjev sistem pa "dolga lestvica".

Da ne bo zmede, povzamemo:

Ime številke	Vrednost na kratki lestvici	Dolga lestvica vrednosti
milijon
milijarde
milijarde
Biljard	-
trilijon
bilijon	-
kvadrilijon
kvadrilijon	-
Quintillion
Quintilliard	-
Sextillion
Sextillion	-
Septillion
Septiljard	-
Octillion
Oktiljard	-
Quintillion
Nonillard	-
Decillion
decilijard	-
Vigintillion
Wigintilliard	-
Centilion
centilliard	-
milijon
milijarde	-

Lestvica kratkih poimenovanj se trenutno uporablja v ZDA, Veliki Britaniji, Kanadi, na Irskem, v Avstraliji, Braziliji in Portoriku. Rusija, Danska, Turčija in Bolgarija prav tako uporabljajo kratko lestvico, le da se številka imenuje »milijarda« in ne »milijarda«. Dolga lestvica se še naprej uporablja v večini drugih držav.

Zanimivo je, da se je pri nas končni prehod na kratko lestvico zgodil šele v drugi polovici 20. stoletja. Na primer, Yakov Isidorovich Perelman (1882–1942) v svoji "Zabavni aritmetiki" omenja vzporedni obstoj dveh lestvic v ZSSR. Kratko merilo so po Perelmanu uporabljali v vsakdanjem življenju in finančnih izračunih, dolgo merilo pa v znanstvenih knjigah o astronomiji in fiziki. Vendar pa je zdaj napačno uporabljati dolgo lestvico v Rusiji, čeprav so številke tam velike.

A vrnimo se k iskanju največjega števila. Po decilionu se imena števil dobijo s kombiniranjem predpon. Tako nastanejo številke, kot so undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion itd. Vendar ta imena za nas niso več zanimiva, saj smo se dogovorili, da najdemo največje število z lastnim nesestavljenim imenom.

Če se obrnemo na latinsko slovnico, bomo ugotovili, da so imeli Rimljani samo tri nezložena imena za števila, večja od deset: viginti - "dvajset", centum - "sto" in mille - "tisoč". Rimljani niso imeli svojih imen za števila, večja od tisoč. Na primer milijon () Rimljani so ga imenovali "decies centena milia", to je "desetkrat sto tisoč." Po Chuquetovem pravilu nam te tri preostale latinske številke dajejo imena za števila, kot so "vigintillion", "centillion" in "milillion".

Tako smo ugotovili, da je na "kratki lestvici" največje število, ki ima svoje ime in ni sestavljeno iz manjših števil, "milijon" (). Če bi Rusija sprejela "dolgo lestvico" za poimenovanje števil, bi bilo največje število z lastnim imenom "milijarda" ().

Vendar pa obstajajo imena za še večja števila.

Številke zunaj sistema

Nekatere številke imajo svoje ime, brez povezave s sistemom poimenovanja z uporabo latiničnih predpon. In takih številk je veliko. Lahko si na primer prikličete številko e, številko "pi", ducat, številko zveri itd. Ker pa nas zdaj zanimajo velika števila, bomo upoštevali samo tiste številke, ki imajo lastno nesestavljeno imena, ki so večja od milijona.

V Rusiji so ga uporabljali do 17. stoletja lasten sistem imena številk. Na desettisoče so imenovali "tema", stotisoče so imenovali "legije", milijone so imenovali "leoderji", desetine milijonov so imenovali "vrani", stotine milijonov pa "krove". To štetje do sto milijonov so poimenovali »malo štetje«, v nekaterih rokopisih pa so avtorji upoštevali tudi »veliko štetje«, pri katerem so bila za velika števila uporabljena ista imena, vendar z drugačnim pomenom. Torej "tema" ni več pomenila deset tisoč, ampak tisoč tisoč () , "legija" - tema tistih () ; "leodr" - legija legij () , "krokar" - leodr leodrov (). Iz nekega razloga se "špil" v velikem slovanskem štetju ni imenoval "krokar krokarjev" () , ampak samo deset "krokarjev", torej (glej tabelo).

Ime številke	Pomen v "majhnem številu"	Pomen v "velikem štetju"	Imenovanje
Temno
Legija
Leodre
Krokar (korvid)
Krov
Tema tem

Številka ima tudi svoje ime in si jo je izmislil devetletni deček. In bilo je takole. Leta 1938 se je ameriški matematik Edward Kasner (1878–1955) s svojima nečakoma sprehajal po parku in z njima razpravljal o velikih številih. Med pogovorom sva govorila o številu s sto ničlami, ki pa ni imelo svojega imena. Eden od nečakov, devetletni Milton Sirott, je predlagal, da bi to številko poimenovali »googol«. Leta 1940 je Edward Kasner skupaj z Jamesom Newmanom napisal poljudnoznanstveno knjigo "Matematika in domišljija", kjer je ljubiteljem matematike povedal o številu googol. Googol je postal še bolj znan v poznih devetdesetih letih prejšnjega stoletja, zahvaljujoč iskalniku Google, poimenovanem po njem.

Ime za še večje število kot googol je nastalo leta 1950 po zaslugi očeta računalništva Clauda Elwooda Shannona (1916–2001). V svojem članku "Programiranje računalnika za igranje šaha" je poskušal oceniti število možne možnosti igra šaha. Po njem vsaka igra traja v povprečju potez in pri vsaki potezi igralec v povprečju izbere med možnostmi, ki ustrezajo (približno enaki) igralnim možnostim. To delo je postalo splošno znano in dano številko je postalo znano kot Shannonovo število.

V znameniti budistični razpravi Jaina Sutra, ki sega v leto 100 pr. n. št., je število "asankheya" enako . Menijo, da je to število enako številu kozmičnih ciklov, potrebnih za dosego nirvane.

Devetletni Milton Sirotta se je v zgodovino matematike zapisal ne samo zato, ker je prišel do števila googol, ampak tudi zato, ker je hkrati predlagal drugo število - "googolplex", ki je enako potenci " googol«, torej ena z googolom ničel.

Še dve števili, večji od googolpleksa, je predlagal južnoafriški matematik Stanley Skewes (1899–1988) v svojem dokazu Riemannove hipoteze. Prvo število, ki je kasneje postalo znano kot "število Skuse", je enako potenci na potenco , to je . Vendar pa je "drugo Skewesovo število" še večje in znaša .

Očitno je, da več potenc je v potencah, težje je zapisati številke in razumeti njihov pomen pri branju. Poleg tega je mogoče priti do takšnih številk (in, mimogrede, že so jih izumili), ko stopnje stopinj preprosto ne ustrezajo strani. Da, to je na strani! Ne bodo se uvrstili niti v knjigo velikosti celega vesolja! V tem primeru se postavlja vprašanje, kako zapisati takšne številke. Problem je na srečo rešljiv in matematiki so razvili več principov za zapisovanje takšnih števil. Res je, da je vsak matematik, ki se je spraševal o tem problemu, iznašel svoj način pisanja, kar je vodilo do obstoja več nepovezanih metod za zapisovanje velikih števil – to so zapisi Knutha, Conwaya, Steinhausa itd. Zdaj se moramo ukvarjati z nekaterimi od njih.

Druge oznake

Leta 1938, istega leta, ko je devetletni Milton Sirotta izumil števili googol in googolplex, je na Poljskem izšla knjiga o zabavni matematiki Matematični kalejdoskop, ki jo je napisal Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972). Ta knjiga je postala zelo priljubljena, doživela je številne izdaje in bila prevedena v številne jezike, vključno z angleščino in ruščino. V njem Steinhaus, ko razpravlja o velikih številih, ponuja preprost način, kako jih zapisati s tremi geometrijske figure- trikotnik, kvadrat in krog:

"v trikotniku" pomeni "",
"v kvadratu" pomeni "v trikotniku"
"v krogu" pomeni "v kvadratih".

Pri razlagi tega načina zapisovanja Steinhaus pride do števila »mega«, ki je enako v krogu in kaže, da je enako v »kvadratu« ali v trikotniku. Če ga želite izračunati, ga morate povzdigniti na potenco , povzdigniti dobljeno število na potenco , nato povzdigniti nastalo število na potenco dobljenega števila in tako naprej, dvigniti na potenco krat. Na primer, kalkulator v MS Windows ne more izračunati zaradi prelivanja niti v dveh trikotnikih. To ogromno število je približno.

Po določitvi "mega" števila Steinhaus vabi bralce, da samostojno ocenijo drugo število - "medzon", enako v krogu. V drugi izdaji knjige Steinhaus namesto medzone predlaga oceno še večjega števila - "megiston", enako v krogu. Po Steinhausu tudi bralcem priporočam, da se za nekaj časa odmaknejo od tega besedila in poskusijo sami zapisati te številke z običajnimi potencami, da bi občutili njihovo velikansko velikost.

Vendar pa obstajajo imena za velika števila. Tako je kanadski matematik Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) spremenil Steinhausov zapis, ki je bil omejen z dejstvom, da če bi bilo treba zapisati števila, veliko večja od megistona, bi se pojavile težave in nevšečnosti, saj bi potrebno narisati veliko krogov enega v drugega. Moser je predlagal, da po kvadratih ne narišete krogov, ampak petkotnike, nato šestkotnike itd. Predlagal je tudi formalno notacijo za te poligone, tako da je bilo mogoče zapisovati številke brez risanja kompleksnih slik. Moserjeva notacija izgleda takole:

"trikotnik" = = ;
"kvadrat" = = "trikotniki" = ;
"v peterokotniku" = = "v kvadratih" = ;
"in -gon" = = "in -gon" = .

Tako je po Moserjevem zapisu Steinhausov »mega« zapisan kot , »medzone« kot , »megiston« pa kot . Poleg tega je Leo Moser predlagal, da bi poligon s številom strani enak mega - "megagon". In predlagal številko « v megagonu", tj. To število je postalo znano kot Moserjeva številka ali preprosto "Moser".

Toda tudi "Moser" ni največja številka. Torej je največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v matematičnih dokazih, "Grahamovo število". To število je prvi uporabil ameriški matematik Ronald Graham leta 1977 pri dokazovanju ene ocene v Ramseyjevi teoriji, in sicer pri izračunu razsežnosti določenih - dimenzionalni bikromatske hiperkocke. Grahamovo število je postalo znano šele potem, ko je bilo opisano v knjigi Martina Gardnerja iz leta 1989 Od mozaikov Penrose do zanesljivih šifer.

Da bi pojasnili, kako veliko je Grahamovo število, moramo razložiti drug način zapisovanja velikih števil, ki ga je leta 1976 uvedel Donald Knuth. Ameriški profesor Donald Knuth je predstavil koncept supermoči, ki ga je predlagal zapisati s puščicami, usmerjenimi navzgor.

Navadne aritmetične operacije – seštevanje, množenje in potenciranje – je mogoče naravno razširiti v zaporedje hiperoperatorjev, kot sledi.

Množenje naravnih števil lahko definiramo s ponavljajočo se operacijo seštevanja (»seštej kopije števila«):

na primer

Dvig števila na potenco lahko definiramo kot ponavljajočo se operacijo množenja ("množenje kopij števila"), v Knuthovem zapisu pa je ta zapis videti kot ena puščica, usmerjena navzgor:

na primer

Ta ena puščica navzgor je bila uporabljena kot ikona stopnje v programskem jeziku Algol.

na primer

Tukaj in spodaj je izraz vedno ovrednoten od desne proti levi, Knuthovi puščični operaterji (kot tudi operacija potenciranja) pa imajo po definiciji desno asociativnost (vrstni red od desne proti levi). Po tej definiciji je

Že to vodi do precej velikih številk, vendar se notni sistem tu ne konča. Operator trojne puščice se uporablja za pisanje ponavljajočega se potencevanja operatorja dvojne puščice (znanega tudi kot pentacija):

Nato operator "četverna puščica":

itd. Splošno pravilo operater "-JAZ puščica", se v skladu z desno asociativnostjo nadaljuje v desno v zaporednem nizu operatorjev « puščica." Simbolično lahko to zapišemo takole,

Na primer:

Notni obrazec se navadno uporablja za zapis s puščicami.

Nekatera števila so tako velika, da celo pisanje s Knuthovimi puščicami postane preokorno; v tem primeru je zaželena uporaba operatorja -puščica (in tudi za opise s spremenljivim številom puščic) ali enakovredno hiperoperatorjem. Toda nekatere številke so tako velike, da tudi tak zapis ne zadošča. Na primer Grahamovo število.

Z uporabo zapisa Knuthove puščice lahko Grahamovo število zapišemo kot

Pri čemer je število puščic v vsaki plasti, začenši z vrha, določeno s številom v naslednji plasti, to je, kjer je , kjer zgornji indeks puščice označuje skupno število puščic. Z drugimi besedami, izračuna se po korakih: v prvem koraku izračunamo s štirimi puščicami med trojkami, v drugem - s puščicami med trojkami, v tretjem - s puščicami med trojkami itd.; na koncu izračunamo s puščicami med trojkami.

To lahko zapišemo kot , kjer , kjer nadpis y označuje ponovitve funkcije.

Če je mogoče druga števila z »imeni« primerjati z ustreznim številom predmetov (na primer, število zvezd v vidnem delu vesolja je ocenjeno na sekstilijone - , in število atomov, ki sestavljajo Zemlja ima vrstni red dvanajstnikov), potem je googol že "virtualen", da ne omenjam Grahamovega števila. Obseg samega prvega izraza je tako velik, da ga je skoraj nemogoče razumeti, čeprav je zgornji zapis relativno lahko razumeti. Čeprav je to samo število stolpov v tej formuli za , je to število že veliko večja količina Planckove prostornine (najmanjša možna fizična prostornina), vsebovane v opazljivem vesolju (približno ). Po prvem članu pričakujemo še enega člana hitro rastočega niza.