गैर रेखीय समीकरण वाले सिस्टम। समीकरणों की प्रणाली कैसे हल की जाती है? समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीके

गणित की अधिकांश समस्याएं एक चर वाले मानक समीकरणों को हल करने पर केंद्रित होती हैं। कभी-कभी दो या दो से अधिक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग किया जाता है, जिसमें क्रमशः दो या दो से अधिक चर शामिल हो सकते हैं।

हालाँकि, आइए हम एक अलग समीकरण का अध्ययन करें, जिसमें इसके अलावा संख्यात्मक भावदो अज्ञात सार भाव। उदाहरण के लिए:

ऐसा कोई भी समीकरण दो चर वाला समीकरण कहलाता है। ऐसे समीकरण का हल x और y मानों का ऐसा युग्म है, जिसमें संपूर्ण व्यंजक एक समतुल्य सही समता में परिवर्तित हो जाता है। हम Variables के लिए निम्नलिखित Values ​​का उपयोग करते हैं:

हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही समानता मिलती है:

(2) 2 + 2(1) = 6

अतः संख्याओं का युग्म (2, 1) समीकरण का हल है।

x2 + 2y = 6. ध्यान दें कि समाधान लिखते समय, चर के मानों को कोष्ठक में इंगित करना आवश्यक है, अल्पविराम से अलग, x के मान को पहले स्थान पर लिखना (यह कड़ाई से नहीं है, लेकिन स्वीकृत है) .

फिटिंग विधि का उपयोग करके पहले उदाहरण को हल करना, समाधानों की एक और जोड़ी खोजना आसान है - उदाहरण के लिए, हम मानों (4, -5) का उपयोग करेंगे:

(4) 2 + 2(-5) = 6

संख्याओं की एक जोड़ी ने समीकरण को एक सही समानता में बदल दिया, जिसका अर्थ है कि यह इस समीकरण के समाधान के अनुरूप भी है।

जैसा कि आप वीडियो ट्यूटोरियल से देख सकते हैं, दो चर वाले एक समीकरण के कई समाधान हैं, अधिक सटीक रूप से, संख्याओं के कई जोड़े जो सही उत्तर के मानदंड को पूरा करेंगे। हम पहले समीकरण को इस प्रकार बदलते हैं। समीकरण के सभी भागों को 2 से विभाजित करें:

0.5x2 + y = 3

वाई \u003d 3 - 0.5x 2

परिणामी अभिव्यक्ति y \u003d 3 - 0.5x2 एक फ़ंक्शन से अधिक कुछ नहीं है - दूसरे पर एक चर की निर्भरता। दूसरे शब्दों में:

वाई \u003d 3 - 0.5x 2

एफ (एक्स) \u003d 3 - 0.5x 2

जैसा कि हम कार्यों की मूल बातें पर वीडियो ट्यूटोरियल से याद करते हैं, किसी भी निर्भरता को तीन तत्वों की विशेषता होती है: कुछ प्रारंभिक तर्कों का एक सेट, एक रूपांतरण सूत्र और प्राप्त मूल्यों का एक सेट। हमारे समीकरण में, सभी वास्तविक समाधानों के सेट को x और y मानों के जोड़े द्वारा दर्शाया गया है - अर्थात, फ़ंक्शन के दोनों सेटों के युग्मित तत्व। इस मामले में, समीकरण ही पहले और दूसरे चर के बीच संबंध की अभिव्यक्ति है।
इसके अलावा, अभिव्यक्ति y \u003d 3 - 0.5x 2 में x 2 + 2y \u003d 6 के समान समाधान जोड़े हैं - इसलिए, इन समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है। ऐसे मामलों में समतुल्य समीकरण प्राप्त होते हैं:

1. समानता के एक हिस्से से दूसरे हिस्से में शर्तों के हस्तांतरण (संकेत के व्युत्क्रम को ध्यान में रखते हुए) करते समय;
2. विभिन्न समान परिवर्तनों के तहत जो समानता के अर्थ को नहीं बदलते हैं;
3. समीकरण के दोनों भागों को समान गुणांक से एक साथ गुणा या विभाजित करने पर;

यह समझना महत्वपूर्ण है कि, समीकरण में विभिन्न परिवर्तन करके, किसी भी चर की परिभाषा के क्षेत्र को विकृत नहीं किया जा सकता है। अधिकांश पहचान परिवर्तन सेट x या y को अपरिवर्तित रखते हैं, लेकिन कुछ अपवाद भी हैं। इस उदाहरण पर विचार करें:

वाई = एक्स (2/(एक्स) + 4)

इस समीकरण को हल करने के लिए, कोष्ठक खोलना अधिक तर्कसंगत होगा: पूरी तरह से समान परिवर्तन करने के लिए, जो चर की परिभाषा के क्षेत्र को लगभग कभी प्रभावित नहीं करता है। लेकिन में इस मामले मेंकोष्ठक खोलना एक समान घटना नहीं होगी। मूल संस्करण में, प्रस्तुत समीकरण में समाधान x का एक सेट है, x = 0 को छोड़कर, क्योंकि इस मान पर मोनोमियल 2/x पूरे समीकरण के साथ अपना अर्थ खो देगा। यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

y \u003d x (2 / (x) + 4) \u003d 2x / x + 4x \u003d 2 + 4x

जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, नए समीकरण में x का डोमेन अनंत है, जिसमें x = 0 भी शामिल है। यानी, x के मानों का सेट बदल गया है, समीकरण दिए गए उदाहरण के बराबर नहीं है। हालांकि, ऐसे अभ्यासों को अक्सर साधारण परिवर्तनों द्वारा हल किया जाता है। समीकरण के अमान्य समाधानों को बाहर करने के लिए आपको केवल एक प्रतिस्थापन जांच करने की आवश्यकता है।

दो चर वाले समीकरणों का विशाल बहुमत विश्लेषणात्मक निर्भरता में परिवर्तित हो जाता है, जिसके बाद x के किन्हीं दो मानों को प्रतिस्थापित किया जाता है और इस प्रकार, समाधान x और y की एक जोड़ी की गणना की जाती है। इसी समय, स्वयं समाधान, एक नियम के रूप में, संख्या में अनंत हैं। लेकिन छोटे अपवाद भी हैं - जब कोई बिंदु चर के दायरे से बाहर हो जाता है। दो अज्ञात वाले कुछ समीकरणों का केवल एक ही समाधान होता है, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति x 2 + y 2 \u003d 0 में केवल एक मूल जोड़ी है - (0, 0)। और प्रपत्र x 2 + y 2 \u003d -1 के समीकरण का कोई वास्तविक समाधान नहीं है। ऐसे किसी भी समीकरण के लिए भी यही सच है जो ऋणात्मक संख्याओं के बराबर है - आखिरकार, वर्ग, उनकी राशियों की तरह, सिद्धांत रूप में नकारात्मक मान नहीं दे सकते।

7 वीं कक्षा के गणित के पाठ्यक्रम में, वे पहली बार मिलते हैं दो चर वाले समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि कई समस्याएं नज़रों से ओझल हो जाती हैं, जिसमें समीकरण के गुणांकों पर कुछ शर्तें पेश की जाती हैं जो उन्हें सीमित करती हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी अनदेखा किया जाता है, हालाँकि इसमें सामग्री का प्रयोग करेंऔर पर प्रवेश परीक्षाइस तरह की समस्याएं आम होती जा रही हैं।

किस समीकरण को दो चर वाला समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह x = 2 और y = 3 पर एक वास्तविक समानता में बदल जाता है, इसलिए चर मानों की यह जोड़ी विचाराधीन समीकरण का हल है।

इस प्रकार, दो चर वाले किसी भी समीकरण का समाधान आदेशित जोड़े (x; y) का समूह है, चर के मान जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण हो सकता है:

ए) एक समाधान है।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 है केवल निर्णय (0; 0);

बी) अनेक समाधान हैं।उदाहरण के लिए, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 के 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

वी) कोई समाधान नहीं है।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई हल नहीं है;

जी) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण का हल वे संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 है। इस समीकरण के हलों के समुच्चय को (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई भी है वास्तविक संख्या.

दो चर वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ गुणनखंडन पर आधारित विधियाँ हैं, पूर्ण वर्ग को उजागर करना, द्विघात समीकरण, परिबद्ध भावों और मूल्यांकन विधियों के गुणों का उपयोग करना। समीकरण, एक नियम के रूप में, एक ऐसे रूप में परिवर्तित हो जाता है जिससे अज्ञात को खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

गुणन

उदाहरण 1

समीकरण हल करें: xy - 2 = 2x - y।

समाधान।

हम फैक्टरिंग के उद्देश्य से शर्तों को समूहीकृत करते हैं:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें:

वाई (एक्स + 1) - 2 (एक्स + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. हमारे पास:

y = 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x = -1, y कोई वास्तविक संख्या है।

इस प्रकार, उत्तर फॉर्म के सभी जोड़े हैं (x; 2), x € R और (-1; y), y € R।

शून्य नहीं है नकारात्मक संख्या

उदाहरण 2

समीकरण हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)।

समाधान।

समूहीकरण:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0। अब वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक कोष्ठक को संक्षिप्त किया जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0।

दो गैर-ऋणात्मक व्यंजकों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।

तो x = 2/3 और y = 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन पद्धति

उदाहरण 3

समीकरण हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2।

समाधान।

प्रत्येक कोष्ठक में, पूर्ण वर्ग का चयन करें:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. अनुमान कोष्ठक में भावों का अर्थ।

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 और (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y - 2) 2 + 2 = 2, इसलिए x = -1, y = 2।

उत्तर: (-1; 2).

आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने की एक और विधि से परिचित हों। यह तरीका है कि समीकरण के रूप में माना जाता है कुछ चर के संबंध में वर्ग.

उदाहरण 4

समीकरण हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0।

समाधान।

आइए समीकरण को x के संबंध में द्विघात के रूप में हल करें। आइए विवेचक को खोजें:

डी = 36 - 4(वाई - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2। समीकरण का हल तभी होगा जब D = 0, अर्थात, यदि y = 4 हो। हम मूल समीकरण में y का मान प्रतिस्थापित करते हैं और x = 3 पाते हैं।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर दो अज्ञात के साथ समीकरणों में संकेत मिलता है चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5

पूर्णांकों में समीकरण को हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2।

समाधान।

चलिए समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखते हैं। परिणामी समीकरण का दाहिना पक्ष, जब 5 से विभाजित होता है, तो शेषफल 2 देता है। इसलिए, x 2, 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन वर्ग एक संख्या जो 5 से विभाज्य नहीं है, का शेष 1 या 4 देता है। इस प्रकार समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6

समीकरण को हल करें: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3।

समाधान।

आइए प्रत्येक कोष्ठक में पूर्ण वर्गों का चयन करें:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से अधिक या उसके बराबर होता है। समानता संभव है यदि |x| - 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7

समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x; y) के प्रत्येक युग्म के लिए
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। सबसे छोटी राशि का उत्तर दें।

समाधान।

पूर्ण वर्ग चुनें:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। यदि हम 1 + 36 जोड़ते हैं तो दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 37 के बराबर होता है। इसलिए:

(एक्स - वाई) 2 = 36 और (वाई + 2) 2 = 1

(एक्स - वाई) 2 = 1 और (वाई + 2) 2 = 36।

इन प्रणालियों को हल करना और ध्यान में रखते हुए कि एक्स और वाई नकारात्मक हैं, हम समाधान पाते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर :-17.

यदि आपको दो अज्ञात समीकरणों को हल करने में कठिनाइयाँ आती हैं, तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण में महारत हासिल कर सकेंगे।

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दो अज्ञात में अरैखिक समीकरण

परिभाषा 1। चलो ए कुछ हो संख्याओं के जोड़े का सेट (एक्स; वाई) . ऐसा कहा जाता है कि समुच्चय A दिया गया है संख्यात्मक समारोहजेड दो चर से x और y , यदि एक नियम निर्दिष्ट किया गया है, जिसकी सहायता से सेट ए से प्रत्येक जोड़ी संख्याओं को एक निश्चित संख्या निर्दिष्ट की जाती है।

दो चर x और y के संख्यात्मक फ़ंक्शन z को निर्दिष्ट करना अक्सर होता है नामितइसलिए:

कहाँ एफ (एक्स , वाई) - फ़ंक्शन के अलावा कोई भी फ़ंक्शन

एफ (एक्स , वाई) = कुल्हाड़ी + द्वारा + सी ,

जहाँ a, b, c संख्याएँ दी गई हैं।

परिभाषा 3। समीकरण (2) हलसंख्याओं के एक जोड़े को नाम दें एक्स; वाई), जिसके लिए सूत्र (2) एक वास्तविक समानता है।

उदाहरण 1 । प्रश्न हल करें

चूंकि किसी भी संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक है, यह सूत्र (4) से अनुसरण करता है कि अज्ञात x और y समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं

जिसका हल संख्याओं का एक युग्म (6; 3) है।

उत्तर: (6; 3)

उदाहरण 2। प्रश्न हल करें

अतः समीकरण (6) का हल है संख्याओं के जोड़े की अनंत संख्यादयालु

(1 + वाई ; वाई) ,

जहाँ y कोई संख्या है।

रेखीय

परिभाषा 4। समीकरणों की प्रणाली को हल करना

संख्याओं के एक जोड़े को नाम दें एक्स; वाई) , उन्हें इस प्रणाली के प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करके, हम सही समानता प्राप्त करते हैं।

दो समीकरणों के सिस्टम, जिनमें से एक रैखिक है, का रूप है

जी(एक्स , वाई)

उदाहरण 4। समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान । आइए अज्ञात x के संदर्भ में सिस्टम के पहले समीकरण (7) से अज्ञात y को व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

समीकरण को हल करना

एक्स 1 = - 1 , एक्स 2 = 9 .

इस तरह,

वाई 1 = 8 - एक्स 1 = 9 ,
वाई 2 = 8 - एक्स 2 = - 1 .

दो समीकरणों की प्रणाली, जिनमें से एक सजातीय है

दो समीकरणों की प्रणाली, जिनमें से एक सजातीय है, का रूप है

जहाँ a , b , c संख्याएँ दी गई हैं, और जी(एक्स , वाई) दो चरों x और y का एक फलन है।

उदाहरण 6। समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान । सजातीय समीकरण को हल करते हैं

3एक्स 2 + 2xy - वाई 2 = 0 ,

3एक्स 2 + 17xy + 10वाई 2 = 0 ,

इसे अज्ञात x के संबंध में एक द्विघात समीकरण के रूप में मानना:

.

मामले में जब एक्स = - 5वाई, सिस्टम के दूसरे समीकरण (11) से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

5वाई 2 = - 20 ,

जिसकी कोई जड़ न हो।

मामले में जब

सिस्टम के दूसरे समीकरण (11) से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

,

जिनकी जड़ें अंक हैं वाई 1 = 3 , वाई 2 = - 3 . इनमें से प्रत्येक मान y के संगत मान x के लिए ढूँढना, हमें सिस्टम के लिए दो समाधान प्राप्त होते हैं: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) ।

उत्तर: (- 2; 3), (2; - 3)

अन्य प्रकार के समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 8। समीकरणों की प्रणाली को हल करें (एमआईपीटी)

समाधान । हम नए अज्ञात u और v का परिचय देते हैं, जो सूत्र द्वारा x और y के रूप में व्यक्त किए जाते हैं:

सिस्टम (12) को नए अज्ञात के संदर्भ में फिर से लिखने के लिए, हम पहले अज्ञात x और y को u और v के संदर्भ में व्यक्त करते हैं। यह सिस्टम (13) से इस प्रकार है

हम इस प्रणाली के दूसरे समीकरण से चर x को हटाकर रैखिक प्रणाली (14) को हल करते हैं। इसके लिए, हम सिस्टम (14) पर निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं:

• हम सिस्टम के पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं;
• पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाएं और सिस्टम के दूसरे समीकरण को परिणामी अंतर से बदलें।

नतीजतन, सिस्टम (14) एक समकक्ष प्रणाली में बदल जाता है

जिससे हम पाते हैं

सूत्र (13) और (15) का उपयोग करते हुए, हम मूल प्रणाली (12) को फिर से लिखते हैं

सिस्टम (16) का पहला समीकरण रैखिक है, इसलिए हम अज्ञात यू को अज्ञात वी के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं और इस अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणाली का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में किया जाता है, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल करते समय किया जाता है।

प्रणाली रेखीय समीकरणकई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों का नाम दें जिनके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण सही समानता बन जाते हैं या यह साबित करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c के रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिसका मूल्य पाया जाना चाहिए, b, चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसके ग्राफ को प्लॉट करके समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहाँ F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका मतलब ऐसे मूल्यों (x, y) को खोजना है जिनके लिए सिस्टम एक वास्तविक समानता बन जाता है, या यह स्थापित करना है कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समतुल्य कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ प्रणालियाँ हैं दाहिना भागजो शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन चर या अधिक वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, वे मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकते हैं।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए सरल और जटिल तरीके

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी तरीके संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। में स्कूल का कोर्सगणित क्रमचय, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन करता है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिथ्म कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम की 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मूल्य को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एकल चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणनाओं के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक विषम समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

अतिरिक्त विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-बाय-टर्म जोड़ और समीकरणों के गुणन द्वारा विभिन्न संख्याएँ. गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

अनुप्रयोगों के लिए यह विधियह अभ्यास और अवलोकन लेता है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय जोड़ उपयोगी होता है जब समीकरणों में अंश और दशमलव संख्याएँ होती हैं।

समाधान क्रिया एल्गोरिथम:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति शब्द को शब्द से जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

एक नया चर शुरू करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है, अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

विधि का उपयोग एक नए चर को पेश करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। दर्ज अज्ञात के संबंध में नया समीकरण हल किया गया है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक तक कम करना संभव था चौकोर ट्रिनोमियल. आप विविक्तकर का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके विविक्तकर का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विविक्तकर है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। में उदाहरण दिया a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। विधि में समन्वय अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को प्लॉट करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य समाधान होंगे।

ग्राफिक पद्धति में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मानों को मनमाने ढंग से चुना गया था: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रणाली का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई हल नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग-अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिसेस का उपयोग रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n - पंक्तियाँ और m - स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संख्या में पंक्तियाँ होती हैं। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों में से एक के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई एक में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, गुणांक और समीकरणों के मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम को सख्ती से वेरिएबल्स के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

उलटा मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 उलटा मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |क| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तब सिस्टम के पास समाधान है।

निर्धारक की आसानी से दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए गणना की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्याएं दोहराई न जाएं।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि सिस्टम को हल करते समय बोझिल अंकन को कम करना संभव बनाती है बड़ी राशिचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक सदिश है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को हल करने की गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस विधि प्रतिस्थापन का उपयोग करने वाले समाधानों के समान है और बीजगणितीय जोड़लेकिन अधिक व्यवस्थित। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ एक अभिव्यक्ति है।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

ग्रेड 7 के लिए स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, गॉसियन समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का समाधान आपको चर x n में से एक का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका पाठ में उल्लेख किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को एक समतुल्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल एक के बराबर होगी।

मिडिल स्कूल के छात्रों के लिए गॉसियन पद्धति को समझना कठिन है, लेकिन यह सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करना।

रिकॉर्डिंग गणना में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। अलग बाईं तरफदाईं ओर से समीकरण। रोमन अंक सिस्टम में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाएं एक पंक्ति के साथ की जाती हैं। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें एक विकर्ण 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात, मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया जाता है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह अंकन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के नि: शुल्क आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के एक विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद हैं।

इस अध्याय में रेखीय समीकरणों (यानी पहली डिग्री के समीकरण) की प्रणालियों को हल करने से संबंधित पृष्ठभूमि सामग्री शामिल है। ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए, निर्धारक की एक महत्वपूर्ण अवधारणा पेश की जाती है। इस अध्याय के परिणाम, जो अपने आप में और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अनुप्रयोगों में दिलचस्प हैं, पुस्तक के बाद के अध्यायों को समझने के लिए आवश्यक हैं,

§ 1. दो और तीन अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली

पहली डिग्री के एक समीकरण को एक अज्ञात के साथ हल करते समय

तीन मामले संभव हैं:

1. यदि , समीकरण का एक अद्वितीय हल है

2. यदि समीकरण के अनंत हल हैं; कोई भी संख्या x समीकरण को संतुष्ट करती है (क्योंकि) और, इसलिए, इसका समाधान है।

3. यदि लेकिन समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि x के स्थान पर किसी संख्या को प्रतिस्थापित करने पर बाईं ओर शून्य प्राप्त होता है, जबकि दाईं ओर शून्य नहीं होता है।

यह निम्नलिखित से देखा जाएगा कि रैखिक समीकरणों की मनमाना प्रणाली को हल करते समय तीन समान मामले भी होते हैं।

दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

ऐसी प्रणाली का समाधान मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी है जिसका x और y के बजाय प्रतिस्थापन दोनों समीकरणों को पहचान में बदल देता है। इस प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे से गुणा करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं; हमें मिल जाएगा

इसलिए, अगर, हमारे पास होगा

इसी प्रकार, हम पाते हैं

इस प्रकार, उस स्थिति में जब सिस्टम (1) का एक अनूठा समाधान है।

समानताओं (2) और (3) के दाएँ पक्ष के अंश और हर में भावों की संरचना समान है। अर्थात्, संख्याओं की एक वर्ग तालिका पर विचार करें

ऐसी तालिकाओं को मैट्रिसेस कहा जाता है। मैट्रिक्स बनाने वाली संख्याओं की क्षैतिज पंक्तियों को इसकी पंक्तियाँ कहा जाता है, ऊर्ध्वाधर पंक्तियों को कॉलम कहा जाता है। मैट्रिक्स बनाने वाली संख्याएं इसके तत्व कहलाती हैं। हमारे उदाहरण में, हमारे पास दूसरे क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाले विकर्ण को इसका मुख्य विकर्ण कहा जाता है। समानता (2) और (3) के दाहिने हाथ के अंशों के अंशों को निम्नानुसार व्यवस्थित किया जाता है: मैट्रिक्स ए के मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद से, दूसरे पर तत्वों का उत्पाद, या द्वितीयक, विकर्ण घटाया जाता है:

परिणामी अभिव्यक्ति को मैट्रिक्स ए (द्वितीय क्रम निर्धारक) का निर्धारक कहा जाता है और इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

इन अंकन में, समानता के दाहिने भाग में भिन्न का अंश (2) निर्धारक है

मुक्त पदों के एक स्तंभ के साथ पहले स्तंभ को प्रतिस्थापित करके भाजक से प्राप्त किया जाता है, और समानता के दाईं ओर अंश का अंश निर्धारक होता है

प्रणाली (1) के समीकरणों के मुक्त पदों के एक स्तंभ के साथ दूसरे स्तंभ को प्रतिस्थापित करके भाजक से प्राप्त किया जाता है,

तो हमने पाया कि अगर तब

दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए ये क्रैमर के सूत्र हैं।

उदाहरण। क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके, समीकरणों की प्रणाली को हल करें

अब उस मामले पर विचार करें जब

समानता (4) को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

यानी, इस मामले में अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं। अगर, इसके अलावा,

तब मुक्त पद अज्ञात के गुणांक के समानुपाती होते हैं, और हमारे पास वास्तव में दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है - यह अनंत संख्या में समाधान स्वीकार करता है,

अंत में, अगर

यानी अगर

तब समीकरण स्पष्ट रूप से एक दूसरे के विपरीत होते हैं और सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होता है।

अब तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

इस प्रणाली के समाधान को संख्याओं का प्रत्येक ऐसा त्रिक कहा जाता है, जिसे प्रतिस्थापित करने पर तीनों समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं। पहले समीकरण को गुणा करना, दूसरा - तीसरे से - द्वारा

और उन सभी को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

(y और z पर गुणांक, जैसा कि यह देखना आसान है, शून्य के बराबर होगा)। इसलिए, यदि x पर गुणांक अशून्य है, तो हम प्राप्त करते हैं

आइए देखें कि समानता (6) के दाहिने पक्ष के भाजक में अभिव्यक्ति कैसे काम करती है। ऐसा करने के लिए, एक वर्ग तालिका (तृतीय-क्रम मैट्रिक्स) पर विचार करें

हम इस मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाले मुख्य विकर्ण को फिर से कॉल करेंगे, और साइड विकर्ण - निचले बाएँ कोने से ऊपरी दाएँ कोने तक जाने वाला विकर्ण।

सूत्र (6) में भाजक छह शब्दों का बीजगणितीय योग है, जिनमें से प्रत्येक तीन तत्वों का उत्पाद है, प्रत्येक पंक्ति से एक और मैट्रिक्स ए के प्रत्येक स्तंभ से, तत्वों के उत्पाद वाले धन चिह्न के साथ,

मुख्य विकर्ण से संबंधित, और तत्वों के दो उत्पाद जो मैट्रिक्स (समद्विबाहु) त्रिकोण में मुख्य विकर्ण (छवि 1, ए) के समानांतर होते हैं, और ऋण चिह्न में द्वितीयक विकर्ण से संबंधित तत्वों का एक उत्पाद होता है। और तत्वों के दो उत्पाद जो द्वितीयक विकर्ण (छवि 1 बी) के समानांतर आधार वाले त्रिकोण बनाते हैं।

इस तरह की अभिव्यक्ति को मैट्रिक्स ए (तीसरा क्रम निर्धारक) से बना निर्धारक कहा जाता है, और इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार,

सूत्र (6) के दाईं ओर के अंश में अभिव्यक्ति भाजक से प्राप्त होती है यदि प्रत्येक अक्षर a को उसी संख्या वाले अक्षर से बदल दिया जाए, अर्थात।

इसी तरह, हम दिखा सकते हैं कि के लिए, सिस्टम (5) का तात्पर्य समानता से है

जहां निर्धारक मुक्त के स्तंभ के साथ स्तंभ को प्रतिस्थापित करके निर्धारक से प्राप्त किया जाता है

सदस्य। ये तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के सूत्र हैं।

उदाहरण। क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें

इस तरह,

आदेश निर्धारक क्या है यह समझने के लिए, दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों पर फिर से विचार करें:

हम देखते हैं कि निर्धारक इसके तत्वों के सभी संभावित उत्पादों का बीजगणितीय योग है, प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक समय में एक लिया जाता है।

ऐसे प्रत्येक उत्पाद को निर्धारक का सदस्य कहा जाता है। दूसरे क्रम के निर्धारक के प्रत्येक पद में, हम कारकों को स्तंभों के क्रम में व्यवस्थित करते हैं:

और सबस्क्रिप्ट्स की संगत व्यवस्था (क्रमपरिवर्तन) पर विचार करें (पंक्ति संख्याओं का संकेत):

पहले उत्पाद में, ये सूचकांक आरोही क्रम में हैं, और संबंधित उत्पाद निर्धारक में धन चिह्न के साथ प्रवेश करता है; दूसरे में उन्हें 2, 1 का एक विकार, या व्युत्क्रम बनाने के लिए कहा जाता है, और संबंधित पद निर्धारक में ऋण चिह्न के साथ प्रवेश करता है।

तीसरे क्रम निर्धारक में छह पद हैं। यदि हम उनमें से प्रत्येक में कारकों को स्तंभों के क्रम में व्यवस्थित करते हैं, तो धन चिह्न के साथ शामिल शर्तों में, सबस्क्रिप्ट क्रमचय बनाते हैं

सूचकांकों के तीन युग्मों पर विचार करें 1, 2; पहले क्रमपरिवर्तन 1, 2, 3 से 1, 3 और 2, 3; प्रत्येक जोड़ी की संख्या आरोही क्रम में व्यवस्थित की जाती है - इस क्रमपरिवर्तन में शून्य व्युत्क्रम होते हैं। दूसरे क्रमचय 2, 3, 1 में सूचकांकों के तीन जोड़े हैं: 2, 3; 2, 1 और 3, 1, जिनमें से दो और 3,1 व्युत्क्रम बनाते हैं। तीसरे क्रमपरिवर्तन में 3, 1, 2 - सूचकांकों के तीन जोड़े 3, 1; 1, 2 और 3, 2, जिनमें से दो और 3, 2 व्युत्क्रम बनाते हैं।

ऋण चिह्न के साथ प्रवेश करने वाले उत्पाद सूचकांकों के तीन क्रमपरिवर्तनों के अनुरूप होते हैं

इसके अलावा, पहले में, जैसा कि यह देखना आसान है, तीन व्युत्क्रम हैं:

3, 2; 3, 1 और 2, 1, और दूसरे और तीसरे में - एक समय में; 2, 1 और 3, 2, क्रमशः। इस प्रकार, धन चिह्न में वे शब्द शामिल होते हैं जिनमें सूचकांकों के क्रमपरिवर्तन में समान संख्या में व्युत्क्रम होते हैं, और ऋणात्मक चिह्न वाले जिनकी यह संख्या विषम होती है।

निम्नलिखित के लिए, हमारे लिए दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए नए अंकन प्रस्तुत करना सुविधाजनक होगा:

जहाँ निर्धारक के सभी तत्वों को एक ही अक्षर द्वारा दो सूचकांकों के साथ दर्शाया जाता है, जिनमें से पहला उस पंक्ति की संख्या को इंगित करता है जिसमें यह तत्व स्थित है, और दूसरा - संबंधित कॉलम की संख्या। (तत्व,

उदाहरण के लिए, पहला निर्धारक इस तरह पढ़ा जाता है: और एक एक है, और एक दो है, और दो एक है, और दो दो हैं।) फिर

जहां प्लस चिह्न उन उत्पादों से पहले होता है जिनमें क्रमचय सम है (अर्थात, इसमें व्युत्क्रमों की संख्या भी सम है), और जहां यह विषम है वहां माइनस चिह्न पहले आता है। इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

जहाँ a पहले सूचकांकों के क्रमपरिवर्तन में व्युत्क्रमों की संख्या है, (दूसरा सूचकांक आरोही क्रम में हैं), और योग तीन संख्याओं 1, 2, 3 के सभी छह क्रमपरिवर्तनों तक फैला हुआ है।