Tema je absolutna in relativna napaka. Merjenje fizikalnih veličin

Naj bo neka naključna spremenljivka a izmerjeno n krat pod enakimi pogoji. Rezultati meritev so dali niz n različne številke

Absolutna napaka- dimenzijska vrednost. Med n Vrednosti absolutne napake so nujno pozitivne in negativne.

Za najverjetnejšo vrednost količine A običajno vzeti povprečje vrednost merilnih rezultatov

.

kako večje število meritev, bližje je povprečna vrednost pravi vrednosti.

Absolutna napakajaz

.

Relativna napakajaz-ta meritev se imenuje količina

Relativna napaka je brezdimenzijska količina. Običajno relativna napaka izraženo v odstotkih, za to e i pomnožite s 100 %. Velikost relativne napake označuje natančnost meritve.

Povprečna absolutna napaka je definiran takole:

.

Poudarjamo potrebo po seštevanju absolutnih vrednosti (modulov) količin D in jaz. V nasprotnem primeru bo rezultat enak nič.

Povprečna relativna napaka se imenuje količina

.

pri veliko število meritve

Relativni pogrešek se lahko obravnava kot vrednost pogreška na enoto izmerjene vrednosti.

Natančnost meritev presojamo s primerjavo napak rezultatov meritev. Zato so merilne napake izražene v taki obliki, da je za oceno točnosti dovolj, da primerjamo le napake rezultatov, ne da bi primerjali velikosti merjenih predmetov ali te velikosti poznali zelo približno. Iz prakse je znano, da absolutna napaka pri merjenju kota ni odvisna od vrednosti kota, absolutna napaka pri merjenju dolžine pa je odvisna od vrednosti dolžine. kako večjo vrednost dolžina, predvsem z ta metoda in pogojih merjenja bo absolutna napaka večja. Posledično lahko absolutno napako rezultata uporabimo za presojo točnosti merjenja kota, vendar točnosti merjenja dolžine ni mogoče oceniti. Izražanje napake v relativni obliki omogoča primerjavo točnosti kotnih in linearnih meritev v znanih primerih.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Naključna napaka.

Naključna napaka imenovana komponenta merilne napake, ki se naključno spreminja med ponavljajočimi se meritvami iste količine.

Pri ponavljajočih se meritvah iste konstantne, nespremenljive količine z enako skrbnostjo in pod enakimi pogoji dobimo rezultate meritev – nekateri se med seboj razlikujejo, nekateri pa sovpadajo. Takšna odstopanja v rezultatih meritev kažejo na prisotnost naključnih komponent napak v njih.

Naključna napaka nastane zaradi hkratnega vpliva številnih virov, od katerih ima vsak sam po sebi neopazen vpliv na merilni rezultat, skupni vpliv vseh virov pa je lahko precej močan.

Naključne napake so neizogibna posledica vseh meritev in so posledica:

a) netočnost odčitkov na lestvici instrumentov in instrumentov;

b) neidentičnost pogojev za ponovne meritve;

c) naključne spremembe zunanjih pogojev (temperatura, tlak, polje sil itd.), ki jih ni mogoče nadzorovati;

d) vsi drugi vplivi na meritve, katerih vzroki nam niso znani. Velikost naključne napake je mogoče minimizirati z večkratnim ponavljanjem poskusa in ustrezno matematično obdelavo dobljenih rezultatov.

Naključna napaka se lahko razlikuje absolutna vrednost vrednosti, ki jih je nemogoče napovedati za dano merilno dejanje. Ta napaka je lahko enako pozitivna ali negativna. V poskusu so vedno prisotne naključne napake. Če ni sistematičnih napak, povzročajo razpršenost ponovljenih meritev glede na pravo vrednost.

Predpostavimo, da nihajno periodo nihala merimo s štoparico in meritev večkrat ponovimo. Napake pri zagonu in zaustavitvi štoparice, napaka v vrednosti odčitka, rahla neenakomernost v gibanju nihala - vse to povzroča razpršenost rezultatov ponovljenih meritev in jih je zato mogoče uvrstiti med naključne napake.

Če drugih napak ni, bodo nekateri rezultati nekoliko precenjeni, drugi pa nekoliko podcenjeni. Če pa bo poleg tega še zaostanek ure, potem bodo vsi rezultati podcenjeni. To je že sistemska napaka.

Nekateri dejavniki lahko povzročijo sistematične in naključne napake hkrati. Tako lahko z vklopom in izklopom štoparice ustvarimo majhen neenakomeren razmik v začetnih in končnih časih ure glede na gibanje nihala in s tem povzročimo naključno napako. Če pa se poleg tega vsakič mudi, da bi štoparico vklopili, in jo nekoliko zamujamo, da jo izklopimo, bo to povzročilo sistematično napako.

Naključne napake nastanejo zaradi napake paralakse pri štetju razdelkov skale instrumenta, tresenja temelja stavbe, vpliva rahlega gibanja zraka itd.

Čeprav je pri posameznih meritvah nemogoče odpraviti naključne napake, nam matematična teorija naključnih pojavov omogoča zmanjšanje vpliva teh napak na končni rezultat meritve. V nadaljevanju bo prikazano, da za to ni potrebno opraviti ene, ampak več meritev, in manjša kot je vrednost napake, ki jo želimo dobiti, več meritev je treba opraviti.

Ker je pojav naključnih napak neizogiben in neizogiben, je glavna naloga vsakega merilnega procesa zmanjšati napake na minimum.

Teorija napak temelji na dveh glavnih predpostavkah, potrjenih z izkušnjami:

1. Pri velikem številu meritev so naključne napake enake velikosti, vendar drugačen znak, torej se napake v smeri povečevanja in zmanjševanja rezultata pojavljajo kar pogosto.

2. Napake, ki so velike v absolutni vrednosti, so manj pogoste kot majhne, ​​zato se verjetnost pojava napake zmanjšuje z večanjem njene velikosti.

Obnašanje naključnih spremenljivk opisujejo statistični vzorci, ki so predmet teorije verjetnosti. Statistična definicija verjetnosti w i dogodkov jaz je razmerje

Kje n- skupno število poskusov, n i- število poskusov, v katerih je dogodek jaz zgodilo. V tem primeru mora biti skupno število poskusov zelo veliko ( n®¥). Pri velikem številu meritev se naključne napake podrejajo normalni porazdelitvi (Gaussova porazdelitev), katere glavne značilnosti so naslednje:

1. Kaj večje odstopanje vrednost izmerjene količine od prave, tj manj verjetno tak rezultat.

2. Odstopanja v obe smeri od prave vrednosti so enako verjetna.

Iz zgornjih predpostavk sledi, da je za zmanjšanje vpliva naključnih napak potrebno to vrednost večkrat izmeriti. Recimo, da merimo neko količino x. Naj se proizvaja n meritve: x 1, x 2, ... x n- z uporabo iste metode in z enako skrbnostjo. Pričakovati je mogoče, da bo število dn dobili rezultate, ki ležijo v nekem dokaj ozkem intervalu od x prej x + dx, mora biti sorazmeren:

Velikost zajetega intervala dx;

Skupno število meritev n.

Verjetnost dw(x), da nekaj vrednosti x leži v razponu od x prej x + dx, je definiran kot sledi :

(s številom meritev n ®¥).

funkcija f(X) se imenuje porazdelitvena funkcija ali gostota verjetnosti.

Kot postulat teorije napak je sprejeto, da se rezultati neposrednih meritev in njihove naključne napake, kadar jih je veliko, podrejajo zakonu normalne porazdelitve.

Porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke, ki jo je našel Gauss x Ima naslednji pogled:

, kjer mis - parametri porazdelitve .

Parameter m normalne porazdelitve je enak srednji vrednosti b xñ naključna spremenljivka, ki je za poljubno znano porazdelitveno funkcijo določena z integralom

.

torej vrednost m je najverjetnejša vrednost merjene količine x, tj. njena najboljša ocena.

Parameter s 2 normalne porazdelitve je enak varianci D naključne spremenljivke, ki je v splošnem primeru določena z naslednjim integralom

.

Kvadratni koren od variance imenujemo standardni odklon naključne spremenljivke.

Povprečno odstopanje (napaka) slučajne spremenljivke ásñ se določi z uporabo porazdelitvene funkcije, kot sledi

Povprečna merilna napaka ásñ, izračunana iz Gaussove porazdelitvene funkcije, je povezana z vrednostjo standardnega odklona s na naslednji način:

< s > = 0,8s.

Parametra s in m sta med seboj povezana na naslednji način:

.

Ta izraz vam omogoča, da poiščete standardni odklon s, če obstaja normalna porazdelitvena krivulja.

Graf Gaussove funkcije je predstavljen na slikah. funkcija f(x) je simetrična glede na ordinato, narisano v točki x = m; prehaja skozi maksimum v točki x = m in ima prevoj v točkah m ±s. Tako varianca označuje širino porazdelitvene funkcije ali kaže, kako široko so vrednosti naključne spremenljivke razpršene glede na njeno pravo vrednost. Bolj kot so meritve natančne, bližje pravi vrednosti so rezultati posameznih meritev, t.j. vrednost s je manjša. Slika A prikazuje funkcijo f(x) za tri vrednosti s .

Območje figure, obdano s krivuljo f(x) in navpične črte, narisane iz točk x 1 in x 2 (slika B) , številčno enaka verjetnosti, da rezultat meritve pade v interval D x = x 1 - x 2, ki se imenuje verjetnost zaupanja. Območje pod celotno krivino f(x) je enaka verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v interval od 0 do ¥, tj.

,

saj je verjetnost zanesljivega dogodka enaka ena.

Z uporabo normalne porazdelitve teorija napak postavlja in rešuje dva glavna problema. Prva je ocena točnosti opravljenih meritev. Drugi je ocena točnosti povprečja aritmetična vrednost rezultati meritev.5. Interval zaupanja. Študentski koeficient.

Teorija verjetnosti nam omogoča, da z znano verjetnostjo določimo velikost intervala, v katerem w najdemo rezultate posameznih meritev. Ta verjetnost se imenuje verjetnost zaupanja in ustrezen interval (<x>±D x)w klical interval zaupanja. Verjetnost zaupanja je enaka tudi relativnemu deležu rezultatov, ki spadajo v interval zaupanja.

Če je število meritev n je dovolj velika, potem verjetnost zaupanja izraža delež skupno številon tiste meritve, pri katerih je bila izmerjena vrednost znotraj intervala zaupanja. Vsaka verjetnost zaupanja w ustreza njegovemu intervalu zaupanja w 2 80 %. Čim širši je interval zaupanja, večja je verjetnost, da bomo v tem intervalu dobili rezultat. V teoriji verjetnosti je kvantitativno razmerje vzpostavljeno med vrednostjo intervala zaupanja, verjetnostjo zaupanja in številom meritev.

Če za interval zaupanja izberemo interval, ki ustreza povprečni napaki, to je D a =áD Añ, potem za dovolj veliko število meritev ustreza verjetnosti zaupanja w 60 % Ko se število meritev zmanjša, se verjetnost zaupanja, ki ustreza takemu intervalu zaupanja (á Añ ± áD Añ), zmanjša.

Tako lahko za oceno intervala zaupanja naključne spremenljivke uporabimo vrednost povprečne napake áD Añ .

Za karakterizacijo velikosti naključne napake je treba določiti dve števili, in sicer vrednost intervala zaupanja in vrednost verjetnosti zaupanja . Navedba le velikosti napake brez ustrezne verjetnosti zaupanja je večinoma nesmiselna.

Če je znana povprečna merilna napaka ásñ, je interval zaupanja zapisan kot (<x> ± ásñ) w, določen z verjetnostjo zaupanja w= 0,57.

Če je standardna deviacija s znana porazdelitev merilnih rezultatov ima navedeni interval obliko (<x>± t w s) w, Kje t w- koeficient, odvisen od vrednosti verjetnosti zaupanja in izračunan z uporabo Gaussove porazdelitve.

Najpogosteje uporabljene količine D x so podane v tabeli 1.

Pogosto se moramo v življenju ukvarjati z različnimi približnimi količinami. Približni izračuni so vedno izračuni z določeno napako.

Koncept absolutne napake

Absolutna napaka približne vrednosti je velikost razlike med točno vrednostjo in približno vrednostjo.
To pomeni, da morate od točne vrednosti odšteti približno vrednost in vzeti dobljeno število modulo. Tako je absolutna napaka vedno pozitivna.

Kako izračunati absolutno napako

Pokažimo, kako bi to lahko izgledalo v praksi. Na primer, imamo graf določene vrednosti, naj bo to parabola: y=x^2.

Iz grafa lahko na nekaterih točkah določimo približno vrednost. Na primer, pri x=1,5 je vrednost y približno enaka 2,2 (y≈2,2).

Z uporabo formule y=x^2 lahko najdemo natančno vrednost v točki x=1,5 y= 2,25.

Zdaj pa izračunajmo absolutno napako naših meritev. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Absolutna napaka je 0,05. V takih primerih tudi pravijo, da je vrednost izračunana z natančnostjo 0,05.

Pogosto se zgodi, da točne vrednosti ni vedno mogoče najti, zato ni vedno mogoče najti absolutne napake.

Na primer, če izračunamo razdaljo med dvema točkama z ravnilom ali vrednost kota med dvema ravnima črtama s pomočjo kotomera, potem bomo dobili približne vrednosti. A natančne vrednosti je nemogoče izračunati. IN v tem primeru, lahko določimo takšno število, da vrednost absolutne napake ne more biti večja.

V primeru z ravnilom bo to 0,1 cm, saj je vrednost delitve na ravnilu 1 milimeter. V primeru kotomerja 1 stopinja, ker je lestvica kotomerja graduirana na vsaki stopinji. Tako so vrednosti absolutne napake v prvem primeru 0,1, v drugem primeru pa 1.

Za fizikalne količine je značilen koncept "natančnosti napake". Pregovor pravi, da z meritvami prideš do znanja. Na ta način lahko ugotovite višino hiše ali dolžino ulice, kot mnogi drugi.

Uvod

Razumejmo pomen pojma "izmeriti količino". Postopek merjenja je primerjava s homogenimi količinami, ki so vzete kot enota.

Litri se uporabljajo za določanje prostornine, grami pa se uporabljajo za izračun mase. Da bi bili izračuni bolj priročni, je bil uveden sistem SI mednarodna klasifikacija enote.

Za merjenje dolžine palice - metrov, mase - kilogramov, prostornine - kubičnih litrov, čas - sekunde, hitrost - metrov na sekundo.

Pri izračunu fizikalne količine ni vam treba vedno uporabljati tradicionalen način, je dovolj, da uporabite izračun po formuli. Na primer za izračun kazalnikov, kot je npr Povprečna hitrost, morate prevoženo razdaljo deliti s časom, porabljenim na poti. Tako se izračuna povprečna hitrost.

Pri uporabi merskih enot, ki so deset, sto, tisočkrat višje od sprejetih merskih enot, se imenujejo večkratniki.

Ime vsake predpone ustreza njeni množilni številki:

1. Deca.
2. Hekto.
3. kilogram.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

V fiziki se za zapisovanje takih faktorjev uporabljajo potence števila 10. Na primer, milijon je zapisan kot 10 6 .

V preprostem ravnilu ima dolžina mersko enoto - centimetre. To je 100-krat manj kot meter. 15 cm ravnilo je dolgo 0,15 m.

Ravnilo je najpreprostejša vrsta merilnega instrumenta za merjenje dolžin. Bolj zapletene naprave predstavljajo termometer - higrometer - za določanje vlažnosti, ampermeter - za merjenje stopnje sile, s katero se električni tok širi.

Kako natančne bodo meritve?

Vzemite ravnilo in preprost svinčnik. Naša naloga je izmeriti dolžino te pisalne potrebščine.

Najprej morate ugotoviti, kakšna je cena delitve, navedena na lestvici merilne naprave. Na obeh razdelkih, ki sta najbližji črti lestvice, so zapisane številke, na primer "1" in "2".

Treba je prešteti, koliko delitev je med temi številkami. Če se pravilno šteje, bo "10". Od večjega števila odštejemo število, ki bo manjše, in delimo s številom, ki je delitev med števkama:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Tako določimo, da je cena, ki določa delitev pisarniškega materiala, številka 0,1 cm ali 1 mm. Jasno je prikazano, kako se indikator cene za delitev določi s katerim koli merilnim instrumentom.

Pri merjenju svinčnika z dolžino, ki je nekaj manjša od 10 cm, bomo uporabili pridobljeno znanje. Če na ravnilu ne bi bilo natančnih razdelkov, bi sklepali, da ima predmet dolžino 10 cm.Ta približna vrednost se imenuje merilna napaka. Označuje stopnjo netočnosti, ki jo je mogoče tolerirati pri izvajanju meritev.

Določanje dolžinskih parametrov svinčnika z več visoka stopnja natančnost, po višji ceni deljenja dosežemo večjo natančnost meritev, kar zagotavlja manjšo napako.

V tem primeru absolutno natančnih meritev ni mogoče izvesti. In kazalniki ne smejo presegati velikosti delitvene cene.

Ugotovljeno je bilo, da meritveni pogrešek znaša ½ cene, ki je navedena na graduacijah naprave za določanje dimenzij.

Po meritvah svinčnika 9,7 cm bomo določili njegove kazalnike napak. To je interval 9,65 - 9,85 cm.

Formula, ki meri to napako, je izračun:

A = a ± D (a)

A - v obliki količine za merjenje procesov;

a je vrednost merilnega rezultata;

D - oznaka absolutne napake.

Pri odštevanju ali dodajanju vrednosti z napako bo rezultat enaka vsoti indikatorji napake, ki jo predstavlja vsaka posamezna vrednost.

Uvod v koncept

Če upoštevamo način njegovega izražanja, lahko ločimo naslednje sorte:

• Absolutno.
• Sorodnik.
• dano.

Absolutna merilna napaka je označena z veliko črko "Delta". Ta koncept je opredeljen kot razlika med izmerjeno in dejansko vrednostjo fizikalne količine, ki se meri.

Izraz absolutne merilne napake je enota količine, ki jo je treba izmeriti.

Pri merjenju mase bo izražena na primer v kilogramih. To ni standard merilne natančnosti.

Kako izračunati napako neposrednih meritev?

Obstajajo načini za upodobitev merilnih napak in njihovo izračunavanje. Za to je pomembno, da lahko fizikalno količino določimo z zahtevano natančnostjo, da vemo, kakšna je absolutna merilna napaka, da je nihče ne bo mogel najti. Izračunati je mogoče samo njegovo mejno vrednost.

Tudi če se ta izraz uporablja konvencionalno, označuje natančno mejne podatke. Absolutne in relativne napake meritev so označene z enakimi črkami, razlika je v njihovem zapisu.

Pri merjenju dolžine se bo absolutna napaka merila v enotah, v katerih je izračunana dolžina. In relativna napaka se izračuna brez dimenzij, saj je razmerje med absolutno napako in rezultatom meritve. Ta vrednost je pogosto izražena kot odstotek ali ulomek.

Absolutnih in relativnih merilnih napak je več različne poti izračuni glede na to, katere fizikalne količine.

Koncept neposrednega merjenja

Absolutne in relativne napake neposrednih meritev so odvisne od razreda točnosti naprave in zmožnosti določanja napake tehtanja.

Preden govorimo o tem, kako se izračuna napaka, je treba razjasniti definicije. Neposredna meritev je meritev, pri kateri se rezultat neposredno odčita s skale instrumenta.

Ko uporabljamo termometer, ravnilo, voltmeter ali ampermeter, vedno izvajamo neposredne meritve, saj neposredno uporabljamo napravo s tehtnico.

Dva dejavnika vplivata na učinkovitost branja:

• Napaka instrumenta.
• Napaka referenčnega sistema.

Absolutna meja napake pri neposrednih meritvah bo enaka vsoti napake, ki jo pokaže naprava, in napake, ki nastane med postopkom štetja.

D = D (ravno) + D (nič)

Primer z medicinskim termometrom

Indikatorji napak so prikazani na sami napravi. Medicinski termometer ima napako 0,1 stopinje Celzija. Napaka štetja je polovica vrednosti deljenja.

D pikice. = C/2

Če je vrednost delitve 0,1 stopinje, lahko za medicinski termometer naredite naslednje izračune:

D = 0,1 o C + 0,1 o C / 2 = 0,15 o C

Na hrbtni strani skale drugega termometra je specifikacija in označeno, da je za pravilne meritve potrebno potopiti celotno hrbtno stran termometra. ni določeno. Ostane le napaka pri štetju.

Če je vrednost razdelka na skali tega termometra 2 o C, potem je možno meriti temperaturo z natančnostjo 1 o C. To so meje dovoljene absolutne merilne napake in izračuna absolutne merilne napake.

V električnih merilnih instrumentih se uporablja poseben sistem za izračun točnosti.

Točnost električnih merilnih instrumentov

Za določitev natančnosti takih naprav se uporablja vrednost, imenovana razred točnosti. Za označevanje se uporablja črka "Gamma". Za natančno določitev absolutne in relativne merilne napake morate poznati razred točnosti naprave, ki je naveden na lestvici.

Vzemimo za primer ampermeter. Njegova lestvica označuje razred točnosti, ki prikazuje številko 0,5. Primeren je za meritve na enosmernem in izmeničnem toku in spada med naprave elektromagnetnega sistema.

To je dokaj natančna naprava. Če ga primerjate s šolskim voltmetrom, lahko vidite, da ima razred točnosti 4. To vrednost morate poznati za nadaljnje izračune.

Uporaba znanja

Tako je D c = c (max) X γ /100

To formulo bomo uporabili za konkretni primeri. Uporabimo voltmeter in poiščimo napako pri merjenju napetosti, ki jo daje akumulator.

Priključimo baterijo neposredno na voltmeter, najprej preverimo, ali je igla na ničli. Pri priključitvi naprave je igla odstopala za 4,2 delitve. To stanje je mogoče označiti na naslednji način:

1. Vidimo lahko, da je največja vrednost U za to postavko 6.
2. Razred točnosti -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Z uporabo teh podatkov formule sta absolutna in relativna merilna napaka izračunana na naslednji način:

D U = DU (npr.) + C/2

D U (npr.) = U (največ) X γ /100

D U (npr.) = 6 V X 4/100 = 0,24 V

To je napaka naprave.

Izračun absolutne merilne napake bo v tem primeru izveden na naslednji način:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Z uporabo zgoraj obravnavane formule lahko preprosto ugotovite, kako izračunati absolutno merilno napako.

Obstaja pravilo za napake pri zaokroževanju. Omogoča vam iskanje povprečja med mejami absolutne in relativne napake.

Naučiti se določiti napako pri tehtanju

To je en primer neposrednih meritev. Posebno mesto ima tehtanje. Saj vzvodne tehtnice nimajo lestvice. Naučimo se določiti napako takega postopka. Na točnost merjenja mase vplivata točnost uteži in popolnost samih tehtnic.

Uporabljamo vzvodne tehtnice z nizom uteži, ki jih je treba postaviti na desno stran tehtnice. Za tehtanje vzemite ravnilo.

Pred začetkom poskusa morate uravnotežiti tehtnico. Postavite ravnilo na levo skledo.

Masa bo enaka vsoti nameščenih uteži. Ugotovimo napako pri merjenju te količine.

D m = D m (tehtnice) + D m (uteži)

Napaka pri merjenju mase je sestavljena iz dveh izrazov, povezanih s tehtnico in utežmi. Da bi ugotovili vsako od teh vrednosti, tovarne, ki proizvajajo tehtnice in uteži, priskrbijo izdelke s posebnimi dokumenti, ki omogočajo izračun točnosti.

Uporaba tabel

Uporabimo standardno tabelo. Napaka tehtnice je odvisna od tega, kakšno maso damo na tehtnico. Večja kot je, večja je ustrezno večja napaka.

Tudi če postavite zelo lahko telo, bo prišlo do napake. To je posledica procesa trenja, ki se pojavlja v oseh.

Druga tabela je za niz uteži. Kaže, da ima vsak od njih svojo masno napako. 10 gram ima napako 1 mg, enako kot 20 gram. Izračunajmo vsoto napak vsake od teh uteži, vzetih iz tabele.

Maso in masno napako je priročno zapisati v dveh vrsticah, ki se nahajata ena pod drugo. Manjše kot so uteži, natančnejša je meritev.

Rezultati

Pri pregledanem gradivu je bilo ugotovljeno, da absolutne napake ni mogoče določiti. Nastavite lahko le njegove mejne indikatorje. Če želite to narediti, uporabite formule, opisane zgoraj v izračunih. To gradivo je predlagano za študij v šoli za učence 8.-9. Na podlagi pridobljenega znanja lahko rešite naloge za določanje absolutnih in relativnih napak.

Absolutna napaka izračunov se ugotovi po formuli:

Znak modula kaže, da nam ni vseeno, katera vrednost je večja in katera manjša. pomembno, kako daleč približni rezultat je odstopal od točne vrednosti v eno ali drugo smer.

Relativno napako izračunov najdemo po formuli:
, ali isto:

Pokaže se relativna napaka za koliko odstotkov približni rezultat je odstopal od točne vrednosti. Obstaja različica formule brez množenja s 100%, vendar v praksi skoraj vedno vidim zgornjo različico z odstotki.

Po kratkem sklicevanju se vrnimo k naši nalogi, v kateri smo izračunali približno vrednost funkcije z uporabo diferenciala.

Izračunajmo natančno vrednost funkcije z mikrokalkulatorjem:
, strogo gledano je vrednost še vedno približna, vendar jo bomo upoštevali kot točno. Takšne težave se pojavljajo.

Izračunajmo absolutno napako:

Izračunajmo relativno napako:
, so bile pridobljene tisočinke odstotka, tako da je diferencial le odličen približek.

Odgovori: , absolutna računska napaka, relativna računska napaka

Naslednji primer za neodvisno rešitev:

Primer 4

na točki. Izračunajte natančnejšo vrednost funkcije v dani točki, ocenite absolutno in relativno napako izračuna.

Približni vzorec končne zasnove in odgovor na koncu lekcije.

Marsikdo je opazil, da se v vseh obravnavanih primerih pojavljajo korenine. To ni naključje, v večini primerov obravnavani problem dejansko ponuja funkcije s koreninami.

Toda za trpeče bralce sem izkopal majhen primer z arksinom:

Primer 5

Približno izračunajte vrednost funkcije z uporabo diferenciala na točki

Ta kratek, a informativen primer je tudi za vas, da ga rešite sami. In malo sem počival, da sem z novo močjo lahko razmislil o posebni nalogi:

Primer 6

Približno izračunajte z diferencialom, rezultat zaokrožite na dve decimalni mesti.

rešitev: Kaj je novega v nalogi? Pogoj zahteva zaokroževanje rezultata na dve decimalni mesti. Ampak to ni bistvo; mislim, da problem šolskega zaokroževanja zate ni težak. Dejstvo je, da nam je dana tangenta z argumentom, ki je izražena v stopinjah. Kaj morate storiti, ko vas prosimo, da rešite trigonometrično funkcijo s stopinjami? Na primer , itd.

Algoritem rešitve je načeloma enak, to pomeni, da je treba, kot v prejšnjih primerih, uporabiti formulo

Zapišimo očitno funkcijo

Vrednost mora biti predstavljena v obliki . Bo zagotovil resno pomoč tabela vrednosti trigonometričnih funkcij . Mimogrede, tistim, ki ga še niste natisnili, priporočam, da to storite, saj boste tam morali pogledati skozi celoten študij višje matematike.

Če analiziramo tabelo, opazimo "dobro" vrednost tangente, ki je blizu 47 stopinj:

torej:

Po predhodni analizi stopinje je treba pretvoriti v radiane. Da, in samo tako!

V tem primeru neposredno iz trigonometrična tabela lahko ugotovite, kaj. Uporaba formule za pretvorbo stopinj v radiane: (formule najdete v isti tabeli).

Sledi formulacija:

torej: (vrednost uporabljamo za izračune). Rezultat se, kot zahteva pogoj, zaokroži na dve decimalni mesti.

odgovor:

Primer 7

Približno izračunajte z diferencialom, rezultat zaokrožite na tri decimalna mesta.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega, stopinje pretvorimo v radiane in se držimo običajnega algoritma rešitve.

Približni izračuni z uporabo skupnega diferenciala funkcije dveh spremenljivk

Vse bo zelo, zelo podobno, tako da, če ste prišli na to stran posebej za to nalogo, potem najprej priporočam, da si ogledate vsaj nekaj primerov prejšnjega odstavka.

Če želite preučiti odstavek, ga morate znati najti delni odvodi drugega reda , kje bi bili brez njih? V zgornji lekciji sem funkcijo dveh spremenljivk označil s črko . V zvezi z obravnavano nalogo je bolj priročno uporabiti enakovredno notacijo.

Tako kot v primeru funkcije ene spremenljivke je mogoče pogoj problema formulirati na različne načine in poskušal bom upoštevati vse formulacije, ki se pojavljajo.

Primer 8

rešitev: Ne glede na to, kako je pogoj zapisan, je v sami rešitvi za označevanje funkcije, ponavljam, bolje uporabiti ne črko "zet", ampak .

In tukaj je delovna formula:

Kar imamo pred seboj, je pravzaprav starejša sestra formule iz prejšnjega odstavka. Spremenljivka se je le povečala. Kaj naj rečem, sam algoritem rešitve bo načeloma enak!

V skladu s pogojem je treba najti približno vrednost funkcije v točki.

Predstavimo število 3,04 kot . Žemlja kar kliče po jedi:
,

Predstavimo število 3,95 kot . Na vrsti je bila druga polovica Koloboka:
,

In ne glejte na vse trike lisice, obstaja Kolobok - morate ga pojesti.

Izračunajmo vrednost funkcije v točki:

Diferencial funkcije v točki najdemo po formuli:

Iz formule sledi, da moramo najti delni derivati prvega reda in izračunajte njihove vrednosti na točki.

Izračunajmo delne odvode prvega reda v točki:

Skupna razlika v točki:

Tako je po formuli približna vrednost funkcije v točki:

Izračunajmo natančno vrednost funkcije v točki:

Ta vrednost je popolnoma točna.

Napake se izračunajo po standardnih formulah, o katerih smo že govorili v tem članku.

Absolutna napaka:

Relativna napaka:

Odgovor: , absolutna napaka: , relativna napaka:

Primer 9

Izračunaj približno vrednost funkcije na točki s skupno razliko ocenite absolutno in relativno napako.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Vsakdo, ki si podrobneje ogleda ta primer, bo opazil, da so se računske napake izkazale za zelo, zelo opazne. To se je zgodilo ob naslednji razlog: v predlaganem problemu so prirastki argumentov precej veliki: .

Splošni vzorec je tak a - večji kot so ti prirastki v absolutni vrednosti, manjša je natančnost izračunov. Tako na primer za podobna točka prirastki bodo majhni: , natančnost približnih izračunov pa bo zelo visoka.

Ta lastnost velja tudi za primer funkcije ene spremenljivke (prvi del lekcije).

Primer 10

rešitev: Izračunajmo ta izraz približno z uporabo skupnega diferenciala funkcije dveh spremenljivk:

Razlika od primerov 8-9 je v tem, da moramo najprej sestaviti funkcijo dveh spremenljivk: . Mislim, da vsi intuitivno razumejo, kako je funkcija sestavljena.

Vrednost 4,9973 je blizu "pet", torej: , .
Vrednost 0,9919 je blizu "ena", zato predpostavimo: , .

Izračunajmo vrednost funkcije v točki:

Diferencial v točki najdemo po formuli:

Da bi to naredili, izračunamo delne odvode prvega reda v točki.

Izpeljanke tukaj niso najpreprostejše in morate biti previdni:

;

.

Skupna razlika v točki:

Tako je približna vrednost tega izraza:

Z mikrokalkulatorjem izračunajmo natančnejšo vrednost: 2,998899527

Poiščimo relativno računsko napako:

Odgovor: ,

Samo ponazoritev zgornjega, v obravnavanem problemu so prirastki argumentov zelo majhni, napaka pa se je izkazala za fantastično majhno.

Primer 11

Z uporabo celotnega diferenciala funkcije dveh spremenljivk približno izračunajte vrednost tega izraza. Isti izraz izračunaj z mikrokalkulatorjem. Ocenite relativno računsko napako v odstotkih.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Približni vzorec končnega dizajna na koncu lekcije.

Kot že omenjeno, najbolj zasebni gost v ta tip naloge – to so neke korenine. Toda od časa do časa obstajajo druge funkcije. In še zadnji preprost primer za sprostitev:

Primer 12

S pomočjo skupnega diferenciala funkcije dveh spremenljivk približno izračunajte vrednost funkcije if

Rešitev je bližje dnu strani. Še enkrat bodite pozorni na besedilo nalog lekcije, v različnih primerih v praksi je besedilo lahko drugačno, vendar to bistveno ne spremeni bistva in algoritma rešitve.

Če sem iskren, sem bil malo utrujen, ker je bila snov malo dolgočasna. Ni bilo pedagoško reči tega na začetku članka, zdaj pa je to že mogoče =) Dejansko težave v računalniški matematiki običajno niso zelo zapletene, niti zelo zanimive, najpomembnejše je morda, da ne naredite napake v navadnih izračunih.

Naj se tipke vašega kalkulatorja ne izbrišejo!

Rešitve in odgovori:

Primer 2:

rešitev: Uporabljamo formulo:
V tem primeru: , ,

Torej:

odgovor:

Primer 4:

rešitev: Uporabljamo formulo:
V tem primeru: , ,

Torej:

Izračunajmo natančnejšo vrednost funkcije z mikrokalkulatorjem:

Absolutna napaka:

Relativna napaka:

odgovor: , absolutna računska napaka, relativna računska napaka

Primer 5:

rešitev: Uporabljamo formulo:

V tem primeru: , ,

torej:

odgovor:

Primer 7:

rešitev: Uporabljamo formulo:
V tem primeru: , ,

Eksaktne naravoslovne vede temeljijo na meritvah. Pri merjenju so vrednosti količin izražene v obliki številk, ki označujejo, kolikokrat je izmerjena količina večja ali manjša od druge količine, katere vrednost je vzeta kot enota. Številčne vrednosti različnih količin, dobljenih kot rezultat meritev, so lahko odvisne druga od druge. Razmerje med takšnimi količinami je izraženo v obliki formul, ki kažejo, kako je mogoče številčne vrednosti nekaterih količin najti iz številskih vrednosti drugih.

Med meritvami se neizogibno pojavijo napake. Potrebno je obvladati metode obdelave rezultatov meritev. Tako se boste naučili iz nabora meritev pridobiti rezultate, ki so najbližje resnici, pravočasno opaziti nedoslednosti in napake, pametno organizirati same meritve in pravilno oceniti točnost dobljenih vrednosti.

Če je meritev sestavljena iz primerjave dane količine z drugo, homogeno količino, vzeto kot enoto, se meritev v tem primeru imenuje neposredna.

Neposredne (direktne) meritve- to so meritve, pri katerih dobimo številčno vrednost merjene veličine bodisi z neposredno primerjavo z merilom (etalonom), bodisi s pomočjo instrumentov, umerjenih v enotah merjene veličine.

Vendar pa taka primerjava ni vedno narejena neposredno. Največkrat se ne meri količina, ki nas zanima, temveč druge količine, ki so z njo povezane z določenimi razmerji in vzorci. V tem primeru je treba za merjenje zahtevane količine najprej izmeriti več drugih količin, katerih vrednost izračunano določi vrednost želene količine. Ta meritev se imenuje posredna.

Posredne meritve sestavljajo neposredne meritve ene ali več količin, povezanih s količino, ki se določa s kvantitativno odvisnostjo, in izračuni količine, ki se določa iz teh podatkov.

Meritve vedno vključujejo merilne instrumente, ki postavljajo eno vrednost v korespondenco z drugo, povezano z njo, dostopno kvantitativni oceni s pomočjo naših čutil. Na primer, jakost toka se ujema z odklonskim kotom puščice na graduirani lestvici. V tem primeru morata biti izpolnjena dva glavna pogoja merilnega procesa: nedvoumnost in ponovljivost rezultata. ta dva pogoja sta vedno le približno izpolnjena. Zato Merilni proces vsebuje poleg iskanja želene vrednosti tudi oceno netočnosti meritve.

Sodobni inženir mora biti sposoben ovrednotiti napako merilnih rezultatov ob upoštevanju zahtevane zanesljivosti. Zato velika pozornost se posveča obdelavi merilnih rezultatov. Seznanitev z osnovnimi metodami računanja napak je ena glavnih nalog laboratorijske delavnice.

Zakaj prihaja do napak?

Razlogov za pojav napak pri meritvah je veliko. Naj jih nekaj naštejemo.

· procesi, ki nastanejo med interakcijo naprave z merilnim objektom, neizogibno spremenijo izmerjeno vrednost. Na primer, merjenje dimenzij dela s čeljustjo vodi do stiskanja dela, to je do spremembe njegovih dimenzij. Včasih je vpliv naprave na izmerjeno vrednost lahko razmeroma majhen, včasih pa je primerljiv ali celo večji od same izmerjene vrednosti.

· Vsaka naprava ima omejene zmožnosti nedvoumnega določanja izmerjene vrednosti zaradi nedovršenosti konstrukcije. Na primer, trenje med razne dele v kazalnem bloku ampermetra vodi do dejstva, da sprememba toka za določeno majhno, a končno vrednost ne bo povzročila spremembe kota odklona kazalca.

· Vedno sodeluje v vseh procesih interakcije med napravo in objektom merjenja. zunanje okolje, katerih parametri se lahko spreminjajo in pogosto na nepredvidljive načine. To omejuje ponovljivost merilnih pogojev in s tem merilnega rezultata.

· Pri vizualnem odčitavanju instrumentov lahko pride do dvoumnosti pri branju odčitkov instrumenta zaradi invalidnosti naše oko.

· Večino količin določamo posredno na podlagi našega poznavanja razmerja med želeno količino in drugimi količinami, ki jih neposredno merimo z instrumenti. Očitno je napaka posredne meritve odvisna od napak vseh neposrednih meritev. Poleg tega k napakam pri posrednem merjenju prispevajo omejenost našega znanja o merjenem predmetu, poenostavitev matematičnega opisa razmerij med količinami in zanemarjanje vpliva tistih veličin, katerih vpliv med postopkom merjenja velja za nepomembnega.

Klasifikacija napak

Vrednost napake za meritve določene količine je običajno značilno:

1. Absolutna napaka - razlika med eksperimentalno ugotovljeno (izmerjeno) in pravo vrednostjo določene količine

. (1)

Absolutna napaka kaže, koliko se motimo pri merjenju določene vrednosti X.

2. Relativna napaka, enaka razmerju med absolutno napako in pravo vrednostjo izmerjene vrednosti X

Relativna napaka pokaže, za kolikšen delež prave vrednosti X se motimo.

Kakovost za rezultate meritev neke količine je značilna relativna napaka. Vrednost je lahko izražena v odstotkih.

Iz formul (1) in (2) sledi, da moramo za iskanje absolutnih in relativnih napak merjenja poznati ne samo izmerjeno, temveč tudi pravo vrednost količine, ki nas zanima. Če pa je prava vrednost znana, meritve niso potrebne. Namen meritev je vedno ugotoviti neznano vrednost določene količine in najti, če že ne njeno pravo vrednost, pa vsaj vrednost, ki se od nje precej razlikuje. Zato formuli (1) in (2), ki določata velikost pogreškov, v praksi nista primerni. Pri praktičnih meritvah se napake ne izračunavajo, temveč ocenjujejo. Ocene upoštevajo eksperimentalne pogoje, natančnost metodologije, kakovost instrumentov in vrsto drugih dejavnikov. Naša naloga: naučiti se sestaviti eksperimentalno metodologijo in pravilno uporabiti iz izkušenj pridobljene podatke za iskanje vrednosti izmerjenih veličin, ki so dovolj blizu pravim vrednostim, ter smiselno ovrednotiti merilne napake.

Ko govorimo o merilnih napakah, moramo najprej omeniti hude napake (zgrešitve) ki nastanejo zaradi eksperimentatorjevega nadzora ali okvare opreme. Izogibati se je treba resnim napakam. Če se ugotovi, da so se zgodile, je treba ustrezne meritve zavreči.

Eksperimentalne napake, ki niso povezane z velikimi napakami, delimo na naključne in sistematične.

znaključne napake. Ob večkratnem ponavljanju istih meritev lahko opazite, da nemalokrat njihovi rezultati med seboj niso popolnoma enaki, ampak »plešejo« okoli nekega povprečja (slika 1). Napake, ki spreminjajo velikost in predznak od poskusa do poskusa, imenujemo naključne. Eksperimentator nehote vnese naključne napake zaradi nepopolnosti čutil, naključnih zunanji dejavniki itd. Če je napaka vsake posamezne meritve načeloma nepredvidljiva, potem naključno spreminjajo vrednost merjene količine. Te napake je mogoče oceniti samo s statistično obdelavo večkratnih meritev želene količine.

Sistematično napake je lahko povezana z napakami instrumenta (nepravilna lestvica, neenakomerno raztegnjena vzmet, neenakomeren mikrometrski korak vijaka, neenake ravnotežne roke itd.) in s samim poskusom. Med poskusom ohranijo svojo velikost (in predznak!). Zaradi sistematičnih napak eksperimentalni rezultati, razpršeni zaradi naključnih napak, ne nihajo okoli prave vrednosti, temveč okoli določene pristranske vrednosti (slika 2). napako vsake meritve želene količine lahko vnaprej predvidimo, če poznamo značilnosti naprave.

Izračun napak neposrednih meritev

Sistematske napake. Sistematske napake seveda spremenijo vrednosti izmerjene količine. Napake, ki jih instrumenti vnašajo v meritve, je najlažje oceniti, če so povezane s konstrukcijskimi lastnostmi samih instrumentov. Te napake so navedene v potnih listih za naprave. Napake nekaterih naprav je mogoče oceniti brez sklicevanja na podatkovni list. Pri številnih električnih merilnih instrumentih je njihov razred točnosti označen neposredno na lestvici.

Razred točnosti instrumenta- to je razmerje med absolutnim pogreškom naprave in največjo vrednostjo izmerjene količine, ki jo je mogoče določiti s to napravo (to je sistematični relativni pogrešek te naprave, izražen v odstotkih vrednosti lestvice).

.

Nato je absolutna napaka takšne naprave določena z razmerjem:

.

Za električne merilne instrumente je uvedenih 8 razredov točnosti: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Bližje kot je izmerjena vrednost nominalni vrednosti, bolj natančen bo rezultat meritve. Največja natančnost (tj. najmanjša relativna napaka), ki jo lahko zagotovi določena naprava, je enaka razredu točnosti. To okoliščino je treba upoštevati pri uporabi večstopenjskih instrumentov. Lestvica mora biti izbrana tako, da je izmerjena vrednost, medtem ko ostaja znotraj lestvice, čim bližje nazivni vrednosti.

Če razred točnosti za napravo ni naveden, je treba upoštevati naslednja pravila:

· Absolutna napaka instrumentov z nonijusom je enaka točnosti nonijusa.

· Absolutna napaka instrumentov s fiksnim korakom puščice je enaka vrednosti deljenja.

· Absolutna napaka digitalnih naprav je enaka najmanj eni števki.

· Za vse druge instrumente se predpostavlja, da je absolutna napaka enaka polovici vrednosti delitve.

Naključne napake. Te napake so statistične narave in jih opisuje teorija verjetnosti. Ugotovljeno je bilo, da pri zelo velike količine meritvah, lahko verjetnost, da dobimo enega ali drugega rezultata pri vsaki posamezni meritvi, določimo z uporabo Gaussove normalne porazdelitve. Pri majhnem številu meritev se matematični opis verjetnosti pridobitve enega ali drugega merilnega rezultata imenuje Studentova porazdelitev (več o tem lahko preberete v priročniku "Merijske napake fizikalnih veličin").

Kako ovrednotiti pravo vrednost izmerjene količine?

Recimo, da smo pri merjenju določene vrednosti prejeli N rezultatov: . Aritmetična sredina niza meritev je bližje pravi vrednosti merjene količine kot večina posameznih meritev. Za pridobitev rezultata merjenja določene vrednosti se uporablja naslednji algoritem.

1). Izračunano povprečje serija N neposrednih meritev:

2). Izračunano absolutna naključna napaka vsake meritve je razlika med aritmetično sredino niza N neposrednih meritev in to meritvijo:

.

3). Izračunano povprečna kvadratna absolutna napaka:

.

4). Izračunano absolutna naključna napaka. Z majhnim številom meritev lahko absolutno naključno napako izračunamo s srednjo kvadratno napako in določenim koeficientom, imenovanim Studentov koeficient:

,

Studentov koeficient je odvisen od števila meritev N in koeficienta zanesljivosti (v tabeli 1 je prikazana odvisnost Studentovega koeficienta od števila meritev pri fiksni vrednosti koeficienta zanesljivosti).

Faktor zanesljivosti je verjetnost, s katero prava vrednost izmerjene vrednosti pade v interval zaupanja.

Interval zaupanja je numerični interval, v katerega z določeno verjetnostjo pade prava vrednost merjene količine.

Tako je Studentov koeficient število, s katerim je treba pomnožiti povprečno kvadratno napako, da se zagotovi določena zanesljivost rezultata za dano število meritev.

Večja kot je zahtevana zanesljivost dano številko meritev, večji je Studentov koeficient. Po drugi strani pa večje kot je število meritev, manjši je Studentov koeficient za določeno zanesljivost. Pri laboratorijskem delu naše delavnice bomo predpostavili, da je zanesljivost podana in enaka 0,9. Številske vrednosti Studentovi koeficienti za to zanesljivost za različno število meritev so podani v tabeli 1.

Tabela 1

Število meritev N

Študentski koeficient

5). Izračunano skupna absolutna napaka. Pri vsaki meritvi so tako naključne kot sistematične napake. Izračun skupne (totalne) absolutne merilne napake ni lahka naloga, saj so te napake različne narave.

Za inženirske meritve je smiselno sešteti sistematične in naključne absolutne napake

.

Zaradi enostavnosti izračunov je običajno oceniti skupno absolutno napako kot vsoto absolutnih naključnih in absolutnih sistematičnih (instrumentalnih) napak, če so napake istega reda velikosti, in zanemariti eno od napak, če je več kot red velikosti (10-krat) manj kot drugi.

6). Napaka in rezultat sta zaokrožena. Ker je merilni rezultat predstavljen kot interval vrednosti, katerih vrednost je določena s skupno absolutno napako, je pomembno pravilno zaokroževanje rezultata in napake.

Zaokroževanje se začne z absolutno napako!!!Število pomembnih številk, ki ostanejo v vrednosti napake, je na splošno odvisno od koeficienta zanesljivosti in števila meritev. Vendar tudi pri zelo natančnih meritvah (na primer astronomskih), pri katerih je pomembna točna vrednost napake, ne puščajte več kot dveh pomembnih številk. Večje število številk ni smiselno, saj ima že sama definicija napake svojo napako. Naša ordinacija ima razmeroma majhen koeficient zanesljivosti in majhno število meritev. Zato se pri zaokroževanju (s presežkom) skupna absolutna napaka prepusti eni pomembni številki.

Števka pomembne števke absolutne napake določa števko prve dvomljive števke v vrednosti rezultata. Posledično je treba vrednost samega rezultata zaokrožiti (s popravkom) na tisto pomembno števko, katere števka sovpada s števko pomembne števke napake. Formulirano pravilo je treba uporabiti tudi v primerih, ko so nekatera števila ničle.

Če je rezultat, dobljen pri merjenju telesne teže, je treba na koncu števila 0,900 napisati ničle. Posnetek bi pomenil, da o naslednjih pomembnih številkah ni bilo nič znanega, medtem ko so meritve pokazale, da so nič.

7). Izračunano relativna napaka.

Pri zaokroževanju relativne napake je dovolj, da pustite dve pomembni številki.

R rezultat niza meritev določene fizikalne količine je predstavljen v obliki intervala vrednosti, ki označuje verjetnost, da prava vrednost pade v ta interval, to pomeni, da mora biti rezultat zapisan v obliki:

Tukaj je skupna absolutna napaka, zaokrožena na prvo pomembno mesto, in je povprečna vrednost izmerjene vrednosti, zaokrožena z upoštevanjem že zaokrožene napake. Pri zapisu merilnega rezultata morate navesti mersko enoto vrednosti.

Oglejmo si nekaj primerov:

1. Recimo, da smo pri merjenju dolžine segmenta dobili naslednji rezultat: cm in cm Kako pravilno zapisati rezultat merjenja dolžine segmenta? Najprej zaokrožimo absolutno napako s presežkom in pustimo eno pomembno števko, glej Pomembna števka napake na mestu stotink. Nato s popravkom zaokrožimo povprečno vrednost na najbližjo stotino, to je na pomembno mesto, katerega mesto sovpada s številom pomembnega mesta napake. glejte Izračun relativne napake

.

cm; ; .

2. Predpostavimo, da smo pri izračunu upora prevodnika dobili naslednji rezultat: in . Najprej zaokrožimo absolutno napako in pustimo eno pomembno številko. Nato povprečje zaokrožimo na najbližje celo število. Izračunajte relativno napako

.

Rezultat meritve zapišemo takole:

; ; .

3. Recimo, da smo pri izračunu mase tovora prejeli naslednji rezultat: kg in kg. Najprej zaokrožimo absolutno napako in pustimo eno pomembno številko kg. Nato povprečje zaokrožimo na najbližje desetice kg. Izračunajte relativno napako

.

.

Vprašanja in naloge o teoriji napak

1. Kaj pomeni meriti fizikalno količino? Navedite primere.

2. Zakaj prihaja do napak pri merjenju?

3. Kaj je absolutna napaka?

4. Kaj je relativna napaka?

5. Kakšna napaka je značilna za kakovost merjenja? Navedite primere.

6. Kaj je interval zaupanja?

7. Opredelite pojem »sistematska napaka«.

8. Kaj so vzroki za sistemske napake?

9. Kakšen je razred točnosti merilne naprave?

10. Kako se določijo absolutni pogreški različnih fizikalnih instrumentov?

11. Katere napake imenujemo naključne in kako nastanejo?

12. Opišite postopek za izračun srednje kvadratne napake.

13. Opišite postopek izračuna absolutne naključne napake neposrednih meritev.

14. Kaj je "faktor zanesljivosti"?

15. Od katerih parametrov in kako je odvisen študentov koeficient?

16. Kako se izračuna skupna absolutna napaka neposrednih meritev?

17. Napišite formule za določanje relativne in absolutne napake posrednih meritev.

18. Oblikujte pravila za zaokroževanje rezultata z napako.

19. Poiščite relativno napako pri merjenju dolžine stene z merilnim trakom z vrednostjo delitve 0,5 cm. Izmerjena vrednost je bila 4,66 m.

20. Pri merjenju dolžine strani A in B pravokotnika sta nastala absolutna pogreška ΔA oziroma ΔB. Napišite formulo za izračun absolutne napake ΔS, dobljene pri določanju površine iz rezultatov teh meritev.

21. Meritev dolžine roba kocke L je imela napako ΔL. Napišite formulo za določitev relativne napake prostornine kocke na podlagi rezultatov teh meritev.

22. Telo se je iz stanja mirovanja gibalo enakomerno pospešeno. Za izračun pospeška smo izmerili prehojeno pot S telesa in čas njegovega gibanja t. Absolutne napake teh neposrednih meritev so bile ΔS oziroma Δt. Iz teh podatkov izpeljite formulo za izračun relativne napake pospeška.

23. Pri izračunu moči grelne naprave po merilnih podatkih so bile pridobljene vrednosti Pav = 2361,7893735 W in ΔР = 35,4822 W. Rezultat zabeležite kot interval zaupanja in ga po potrebi zaokrožite.

24. Pri izračunu vrednosti upora na podlagi merilnih podatkov so bile pridobljene naslednje vrednosti: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Rezultat zabeležite kot interval zaupanja in ga po potrebi zaokrožite.

25. Pri izračunu koeficienta trenja na podlagi merilnih podatkov so bile pridobljene vrednosti μav = 0,7823735 in Δμ = 0,03348. Rezultat zabeležite kot interval zaupanja in ga po potrebi zaokrožite.

26. Tok 16,6 A je bil določen z napravo z razredom točnosti 1,5 in lestvico 50 A. Poiščite absolutne instrumentalne in relativne napake te meritve.

27. V seriji 5 meritev obdobja nihanja nihala so bile pridobljene naslednje vrednosti: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Poiščite absolutno naključno napako pri določanju obdobja iz teh podatkov.

28. Poskus padca bremena z določene višine smo ponovili 6-krat. V tem primeru so bile pridobljene naslednje vrednosti časa padanja bremena: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Poiščite relativno napako pri določanju časa padca.

Vrednost razdelka je izmerjena vrednost, ki povzroči odstopanje kazalca za en razdelek. Vrednost delitve se določi kot razmerje med zgornjo mejo merjenja naprave in številom razdelkov lestvice.